第13章《三角形》13.2.1《三角形的边》学案 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 三角形 第二节 与三角形有关的线段 第1课时 三角形的边 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三边关系定理及推论 1.三边的关系： 内容 数学表达式（设三边为a,b,c，且a>b>c） 理论依据 定理：两边之和大于第三边 b+c>a（只需验证最短两边和＞最长边） 两点之间线段最短 推论：两边之差小于第三边 a-b<c（只需验证最长边 - 最短边＜第三边） 不等式性质推导 2.核心应用公式： 1.第三边取值范围：已知两边长a,b（a>b），则第三边c满足：a-b < c < a+b； 2.周长取值范围：已知两边长a,b（a>b），则周长L满足：2a < L < 2(a+b)； 3.等腰三角形边长验证：分 “已知边为腰” 和 “已知边为底边” 两类讨论，需同时满足三边关系。 知识点2 三角形的稳定性 三角形的三边一旦确定，三角形九确定，三角形的形状再不发生改变，这就是三角形的稳定性。即三角形具有稳定性。 二、易错点辨析 误区1：“验证三边关系时需逐一检查所有组合”（实际只需验证最短两边和＞最长边）； 误区2：“等腰三角形周长计算直接相加”（需先验证分类后的边长是否符合三边关系，排除无效解）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三角形概念的理解 【例1】（2024・广州荔湾期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，4cm，8cm C. 5cm，6cm，10cm D. 5cm，6cm，11cm 【变式练习1】（2024・杭州西湖期中）三条线段的长度比为 3:4:5，且总长为 36cm，则这三条线段（　　） A. 能组成锐角三角形 B. 能组成直角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 考点二：等腰三角形的边长计算 【例2】（2024・武汉洪山期中）已知等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 11cm，则该三角形的周长为（　　） A. 21cm B. 27cm C. 21cm 或 27cm D. 16cm 【变式练习2】（2024・南京鼓楼期中）等腰三角形的周长为 20cm，设腰长为xcm，则腰长x的取值范围是（　　） A. 0＜x＜10 B. 5＜x＜10 C. x＞5 D. x＜10 考点三：第三边范围与周长计算 【例3】（2024・成都锦江期中）已知△ABC 的两边长分别为 4 和 7，第三边的长为整数，则△ABC 的周长的最小值为（　　） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【变式练习3】（2024・北京海淀期中）下列说法正确的是（　　） ① 三边分别为 5、5、6 的三角形是等腰三角形； ② 若三条线段满足a+b>c，则一定能组成三角形； ③ 等边三角形是特殊的等腰三角形； ④ 三角形的两边之差一定小于第三边。 A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 考点四：三角形的稳定性 【例4】1．如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　） A． 稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【变式练习4】双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 一、选择题（本大题共8小题，总分32.0分） 1．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的理由是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两直线平行，内错角相等 2．已知△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝x，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜12 B．3＜x＜9 C．5＜x＜7 D．无法确定 3．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，那么第三边的长可能是（　　） A．11cm B．4cm C．2cm D．3cm 4．一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝26米，OB＝18米，则A，B间的距离不可能是（　　） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 6．已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 7．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 8．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分） 9．一个三角形的三边长分别为2、9、x，则x的取值范围是　 　 ． 10．△ABC的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 　 　 ． 11．已知三角形的三边长为3，5，a+1，则化简|a﹣1|+|a﹣9|的化简结果为 　 　 ． 12．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上　 　 根木条． 13．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分45.0分） 14．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数m的最大值． 15．若△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a和c满足，求最长边b的最大整数值． 16．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由． 18．如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算的值； （2）嘉淇认为：当﹣2≤x＜0时，PO+PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形，若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 第二节 与三角形有关的线段 第1课时 三角形的边 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三边关系定理及推论 1.三边的关系： 内容 数学表达式（设三边为a,b,c，且a>b>c） 理论依据 定理：两边之和大于第三边 b+c>a（只需验证最短两边和＞最长边） 两点之间线段最短 推论：两边之差小于第三边 a-b<c（只需验证最长边 - 最短边＜第三边） 不等式性质推导 2.核心应用公式： 1.第三边取值范围：已知两边长a,b（a>b），则第三边c满足：a-b < c < a+b； 2.周长取值范围：已知两边长a,b（a>b），则周长L满足：2a < L < 2(a+b)； 3.等腰三角形边长验证：分 “已知边为腰” 和 “已知边为底边” 两类讨论，需同时满足三边关系。 知识点2 三角形的稳定性 三角形的三边一旦确定，三角形九确定，三角形的形状再不发生改变，这就是三角形的稳定性。即三角形具有稳定性。 二、易错点辨析 误区1：“验证三边关系时需逐一检查所有组合”（实际只需验证最短两边和＞最长边）； 误区2：“等腰三角形周长计算直接相加”（需先验证分类后的边长是否符合三边关系，排除无效解）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三角形概念的理解 【例1】（2024・广州荔湾期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，4cm，8cm C. 5cm，6cm，10cm D. 5cm，6cm，11cm 【分析】利用 “最短两边和＞最长边” 的简便方法判断，避免逐一验证三边。 【解答】A：2+3=5，不满足 “和＞第三边”，排除； B：3+4=7＜8，排除； C：5+6=11＞10，满足条件； D：5+6=11，不满足 “和＞第三边”，排除。 故选：C． 【方法总结】判断时优先找出最长边，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可快速得出结论。 【变式练习1】（2024・杭州西湖期中）三条线段的长度比为 3:4:5，且总长为 36cm，则这三条线段（　　） A. 能组成锐角三角形 B. 能组成直角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 【分析】先根据比例求出实际边长，再验证三边关系并判断三角形类型。 【解答】•每份长度 = 36÷(3+4+5)=3cm，三边长为 9cm、12cm、15cm； •验证三边关系：9+12=21＞15，满足构成条件； 又∵9²+12²=81+144=225=15²，故为直角三角形。 故选：B． 【方法总结】掌握三角形三边之间的关系即可。 考点二：等腰三角形的边长计算 【例2】（2024・武汉洪山期中）已知等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 11cm，则该三角形的周长为（　　） A. 21cm B. 27cm C. 21cm 或 27cm D. 16cm 【分析】先求第三边的整数取值范围，再找最小整数解计算周长。 【解答】•设第三边为c，由三边关系得：7-4＜c＜7+4，即 3＜c＜11； •第三边为整数，最小取值为 4； •周长最小值 = 4+7+4=15。 故选：A。 【方法总结】先通过三边关系确定第三边范围，再结合 “整数”“最小 / 最大” 等限制条件取值，最后计算周长。 【变式练习2】（2024・南京鼓楼期中）等腰三角形的周长为 20cm，设腰长为xcm，则腰长x的取值范围是（　　） A. 0＜x＜10 B. 5＜x＜10 C. x＞5 D. x＜10 【分析】三角形的分类及相关定义。 【解答】解：用腰长表示底边长，结合 “底边长＞0” 和三边关系列不等式组。 故选：B． 【方法总结】熟练掌握三角形三边之间的关系即可。 考点三：第三边范围与周长计算 【例3】（2024・成都锦江期中）已知△ABC 的两边长分别为 4 和 7，第三边的长为整数，则△ABC 的周长的最小值为（　　） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 分析】先求第三边的整数取值范围，再找最小整数解计算周长。 【解答】解：•设第三边为c，由三边关系得：7-4＜c＜7+4，即 3＜c＜11； •第三边为整数，最小取值为 4； 周长最小值 = 4+7+4=15． 答案：A 【方法总结】方法总结：先通过三边关系确定第三边范围，再结合 “整数”“最小 / 最大” 等限制条件取值，最后计算周长。。 【变式练习3】（2024・北京海淀期中）下列说法正确的是（　　） ① 三边分别为 5、5、6 的三角形是等腰三角形； ② 若三条线段满足a+b>c，则一定能组成三角形； ③ 等边三角形是特殊的等腰三角形； ④ 三角形的两边之差一定小于第三边。 A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【分析】利用等腰三角形的定义和性质及三角形三边关系解决问题。 【解答】① 有两边相等（5=5），是等腰三角形，正确； ② 缺少 “a+c>b且b+c>a”，如 2+3>4，但 2+4>3 和 3+4>2 需同时满足，错误； ③ 等边三角形满足 “两边相等”，是特殊等腰三角形，正确； ④ 符合三边关系推论，正确。。 故选：B。 【方法总结】掌握等腰三角形的定义及性质，熟练应用三角形三边关系。 考点四：三角形的稳定性 【例4】1．如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　） A． 稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【分析】利用三角形的稳定性。 【解答】这是利用了三角形的稳定性． 故选：A。 【方法总结】掌握等腰三角形的稳定性即可。 【变式练习4】双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】利用三角形的稳定性。 【解答】解：∵双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：A。 【方法总结】掌握等腰三角形的稳定性即可。 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 1、 选择题（本大题共8小题，总分32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B A D C C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 9．7＜x＜11． 10．4（答案不唯一）． 11．8． 12．3． 13．15． 三、解答题（本大题共5小题，总分48分） 14．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数m的最大值． 解：由三角形的三边关系可知：7﹣3＜m＜7+3， 即4＜m＜10， 因此整数m的最大值是9． 15．若△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a和c满足，求最长边b的最大整数值． 解：∵由题意得，， ∴， ∴a﹣4＝0且c﹣2＝0， ∴a＝4，c＝2， 又∵在△ABC中，根据三角形的三边关系可得，a﹣c＜b＜a+c， ∴2＜b＜6， ∵b为最长边， ∴4＜b＜6， ∴最长边b的最大整数值为5． 16．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜2+5， ∴3＜c＜7； （2）∵3＜c＜7，第三边为奇数， ∴第三边c＝5， ∴该三角形为等腰三角形； （3）∵a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣3c． 17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由． 解：AB+AC＞BD+DE+EC成立，理由如下： 延长DE交AB于点F、延长DE交AC于G， 在△AFG中：AF+AG＞FG①， 在△BFD中：FB+FD＞BD②， 在△EGC中：EG+GC＞EC③， ∵FD+ED+EG＝FG， ∴①+②+③得： AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC， 即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC， AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC， ∴AB+AC＞BD+ED+EC． 18．如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算的值； （2）嘉淇认为：当﹣2≤x＜0时，PO+PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形，若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围． 解：（1）由题意，得 a＝﹣2，b＝1， ． （2）由题意知PO＝﹣x，AB＝3， ∵﹣2≤x＜0， ∴点P始终在线段AB上， ∴PA+PO＜AB， ∴以PA，PO，AB的长为边不能构成三角形； ∵x＜0，以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形， ∴点P在点A的左侧， ∴PA＝﹣2﹣x， ①当AB为最大边时，PA+PO＞AB， ∴﹣2﹣x+（﹣x）＞3， ∴． ②当PO为最大边时，PA+AB＞PO， ∴﹣2﹣x+3＞﹣x， 此不等式恒成立， 综上，． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $