1.3 正方形的性质与判定同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•岚山区期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S3，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1，S2．已知BE＝3，DF＝5，且S1+S2＝60，则S3为（　　） A．15 B．22 C．28 D．30 2．（2024秋•衡东县期末）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝9，CE＝3，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．（2024秋•达州期末）如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，则∠ABE的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．30° 4．（2024秋•赫章县期末）如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方ADEF．若BC＝12，则正方形ADEF的面积为（　　） A．6 B．144 C．36 D．12 5．（2025•太原开学）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AC＝BD，AC⊥BD B．AC＝BD，AB＝BC C．AC⊥BD，AB⊥BC D．AC⊥BD，AB＝BC 6．（2024秋•凤城市期末）某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为a cm，长方形的长和宽分别为b cm和c cm．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是（πa+3b+2c）cm； ②窗户的面积是（πa2+2bc+b2）cm2； ③b+2c＝2a； ④b＝3c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 7．（2024秋•滨城区校级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 8．（2025春•温州期中）如图，在正方形ABCD中，向内作四个全等的三角形，其中AE＝BF＝CG＝DH．以DG，CG为邻边作▱CGDP．若点B，F，G在同一直线上，∠GCP＝45°，点P到CD的距离为1，则图中阴影面积为（　　） A．6 B．9 C．15 D．18 二．填空题（共5小题） 9．（2025•徐州校级模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，有一动点M满足MA⊥MB，连接DM，E，F分别是DM，DC的中点，随着点M在正方形内位置的变化，EF长度的最小值是　 　 ． 10．（2024秋•铜川期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、BF，若DF+EC＝2，则AE+BF的最小值为 　 　 ． 11．（2025•福山区一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，以AE，BE为边分别作等腰△AEM和等腰△BEN，其中AE＝ME，BE＝NE，∠MEN＝90°，延长AM，BN交于点F，连结FE，则线段FE的最大值是 　 　 ． 12．（2025•西城区校级开学）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长为　 　 ． 13．（2024秋•榕城区校级期末）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S1的值为 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•赫章县期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为BC上任意一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G．求证：EF+EG＝OC． 15．（2024秋•昆明期末）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG． （1）求证：∠ADG＝90°； （2）如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由． 1.3正方形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•岚山区期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S3，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1，S2．已知BE＝3，DF＝5，且S1+S2＝60，则S3为（　　） A．15 B．22 C．28 D．30 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，得到CE＝CF+2，设CF＝x，得到CE＝x+2，进而得到，进而得到x2+（x+2）2＝60，利用完全平方公式变形计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD， ∴CE+BE＝CF+DF， ∴CE＝CF+2， 设CF＝x，则CE＝x+2， ∴， ∴x2+（x+2）2＝60， ∵x+2﹣x＝2， ∴（x+2﹣x）2＝（x+2）2﹣2x（x+2）+x2＝4， ∴x（x+2）＝28， 即：CE•CF＝28， ∴S3＝28． 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 2．（2024秋•衡东县期末）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝9，CE＝3，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝9，CE＝CG＝GF＝3，AD∥BC，GF∥CF，得到AB∥GF，可证△ADH∽△FGH，得到，计算即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝9，CE＝CG＝GF＝3，AD∥BC，GF∥CF， ∴DG＝CD﹣CG＝9﹣3＝6， ∵AB∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2024秋•达州期末）如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，则∠ABE的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．30° 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】由正方形和等边三角形的性质可得AE＝AD，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，进而即可求解，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键． 【解答】解：在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 4．（2024秋•赫章县期末）如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方ADEF．若BC＝12，则正方形ADEF的面积为（　　） A．6 B．144 C．36 D．12 【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AD＝6，然后根据正方形的面积求出即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，BC＝12， ∴， ∵以AD为边作正方ADEF， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 5．（2025•太原开学）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AC＝BD，AC⊥BD B．AC＝BD，AB＝BC C．AC⊥BD，AB⊥BC D．AC⊥BD，AB＝BC 【考点】正方形的判定；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故选项A正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， 故选项B正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是正方形， 故选项C正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 6．（2024秋•凤城市期末）某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为a cm，长方形的长和宽分别为b cm和c cm．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是（πa+3b+2c）cm； ②窗户的面积是（πa2+2bc+b2）cm2； ③b+2c＝2a； ④b＝3c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【考点】正方形的性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，圆的面积公式，圆的周长公式即可得到结论． 【解答】解：①窗户外围的周长＝2b+2c+b2aπ＝（3b+2c+aπ）cm，故①符合题意； ②窗户的面积＝（a2π+2bc+b2）cm2；故②不符合题意； ③根据矩形的性质得b+2c＝2a，故③符合题意； ④无法求得b＝3c，故④不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，圆的面积，正确地识别图形是解题的关键． 7．（2024秋•滨城区校级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】B 【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE＝S△BCP+S△BEP求出h＝PN+PM，再根据正方形的性质求出h即可． 【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h， 则S△BCE＝S△BCP+S△BEP， 即， ∵BE＝BC， ∴h＝PN+PM， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， ∴， 在Rt△BCD中，， ∴ ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 8．（2025春•温州期中）如图，在正方形ABCD中，向内作四个全等的三角形，其中AE＝BF＝CG＝DH．以DG，CG为邻边作▱CGDP．若点B，F，G在同一直线上，∠GCP＝45°，点P到CD的距离为1，则图中阴影面积为（　　） A．6 B．9 C．15 D．18 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】C 【分析】连接GF，作GJ⊥PC于点J，由题意可知△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，根据四边形CGDP为平行四边形，可得△CDG≌△DCP，从而△DCP≌△BCF，∠DCP＝∠BCF，导角可证∠GFC＝45°，∠BGC＝90°．设GC＝a，则GC＝GF＝BF＝a，BG＝2a，BC，FC.由△GJC为等腰直角三角形，可得GJ，S△DGC，再根据S▱CGDP＝GJ×PC＝2S△DGC列方程即可求解a的值，最后根据图中阴影面积＝S正方形ABCD﹣4S△DGC即可计算得答案． 【解答】解：如图1所示，连接GF，作GJ⊥PC于点J， 由题意可知△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH， ∵四边形CGDP为平行四边形， ∴△CDG≌△DCP， 从而△DCP≌△BCF，∠DCP＝∠BCF， 又∠GCD＝∠FBC， ∵∠GCP＝45°， ∴∠GCD+∠BCF＝45°， ∴∠GCF＝90°﹣45°＝45°． ∴∠FBC+∠BCF＝∠GCD+∠DCP＝45°， 即∠GFC＝45°． 故∠BGC＝90°． 设GC＝a，则GC＝GF＝BF＝a， ∴BG＝2a， 由勾股定理可得BC，FC． ∵△GJC为等腰直角三角形， ∴GJ， ∵点P到CD的距离为1， ∴S△DGC， 又∵S▱CGDP＝GJ×PC＝2S△DGC， 即2，解得a． 故图中阴影面积＝S正方形ABCD﹣4S△DGC＝2515． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025•徐州校级模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，有一动点M满足MA⊥MB，连接DM，E，F分别是DM，DC的中点，随着点M在正方形内位置的变化，EF长度的最小值是　　 ． 【考点】正方形的性质；三角形中位线定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】． 【分析】根据动点M满足MA⊥MB可得点M在以AB为直径的半圆上运动．由此得出取AB的中点O，连接CO，则当点M为OC与半圆的交点时，CM长取最小值．再根据中位线定理可知．由此即可得出结论． 【解答】解：如图，连接CM． ∵E，F分别是DM，DC的中点， ∴EFCM， ∵动点M满足MA⊥MB，点M在正方形ABCD内， ∴点M在以AB为直径的半圆上运动． 取AB的中点O，连接CO，则当则CM≤OC﹣OM，当且仅当O、M、C三点共线时取等， 此时CM＝OC﹣OM为最小值， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，OB＝OM＝1， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质、90°角所对的弦是直径、三角形中位线定理以及到圆上一点距离最短问题；得出点M在以AB为直径的半圆上运动是解决问题的关键． 10．（2024秋•铜川期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、BF，若DF+EC＝2，则AE+BF的最小值为 　　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】． 【分析】延长AD至点G，使得AD＝GD，连接GF，首先证明△ABE≌△GDF，易得AE＝GF，即有AE+BF＝GF+BF，故当点B、F、G在同一直线上时，GF+BF取最小值，即AE+BF取最小值，然后在Rt△ABG中，利用勾股定理求解，即可获得答案． 【解答】解：如下图，延长AD至点G，使得AD＝GD，连接GF， ∵四边形ABCD为正方形，边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴DG＝AD＝2，∠GDF＝180°﹣∠ADC＝90°＝∠ABE， ∴DG＝AB＝2，AG＝AD+DG＝4， ∵DF+EC＝2， ∴DF+EC＝BE+EC＝BC＝2， ∴DF＝BE， 在△ABE和△GDF中， ， ∴△ABE≌△GDF（SAS）， ∴AE＝GF， ∴AE+BF＝GF+BF， ∴当点B、F、G在同一直线上时，GF+BF取最小值，即AE+BF取最小值， 此时在Rt△ABG中，， ∴AE+BF的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 11．（2025•福山区一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，以AE，BE为边分别作等腰△AEM和等腰△BEN，其中AE＝ME，BE＝NE，∠MEN＝90°，延长AM，BN交于点F，连结FE，则线段FE的最大值是 　　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】1． 【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到∠EAM+∠EBN＝135°，进而得到∠AFB＝45°，即在以AB为斜边向上作等腰Rt△OBA的外接圆上运动，所以当EF过圆心O时EF最大，进而计算即可解题． 【解答】解：∵∠MEN＝90°， ∴∠AEM+∠BEN＝90°， ∴∠EAM+∠AME+∠EBN+∠ENB＝360°﹣90°＝270°， ∵AE＝EM，BE＝EN，∠EAM＝∠AME，∠EBN＝∠ENB， ∴∠EAM+∠EBN＝135°， ∴∠AFB＝45°，为定值．以AB为斜边向上作等腰Rt△OBA， ∴F在以O为圆心OA为半径的圆上， ∴当EF过圆心O时EF最大， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AE＝BE＝1， ∴OE＝AE＝1， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点评】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段EF中点E为定点且EF绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键． 12．（2025•西城区校级开学）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长为　5　 ． 【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】5． 【分析】先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，延长GE交AB于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDA＝∠DAB＝90°，∠CDB＝∠CBD＝45°， ∵EF⊥BC， ∴∠DGM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴AM＝DG， 同理得：四边形EMBF是矩形，四边形GEFC是矩形， ∴GE＝CF＝3，EF＝CG＝4， ∵∠DGM＝90°，∠CDB＝45°， ∴∠GED＝45°， ∴DG＝GE＝3， ∴BF＝EF＝4， ∴EM＝BF＝4，AM＝DG＝3， 由勾股定理可得，， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线． 13．（2024秋•榕城区校级期末）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S1的值为 　30　 ． 【考点】正方形的性质；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】30． 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴S1+S2＝S3， ∵S1+S2+S3＝60， ∴2S1＝60， ∴S1＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•赫章县期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为BC上任意一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G．求证：EF+EG＝OC． 【考点】正方形的性质；矩形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠CBO＝45°，OB＝OC， ∵EF⊥AC，GE⊥BD， ∴∠OGE＝∠OFE＝90°， ∴∠BEG＝90°﹣45°＝45°， 又∵AC⊥BD， ∴四边形OGEF是矩形； ∴EF＝OG， 又∵∠EBG＝∠BEG＝45°， ∴EG＝BG， ∴EF+EG＝OB＝OC． 【分析】根据条件可以得到四边形GEOF是矩形，因而EF＝OG，同时易证△BEG是等腰直角三角形，因而EG＝BG，则EF+EG＝OB＝OC． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠CBO＝45°，OB＝OC， ∵EF⊥AC，GE⊥BD， ∴∠OGE＝∠OFE＝90°， ∴∠BEG＝90°﹣45°＝45°， 又∵AC⊥BD， ∴四边形OGEF是矩形； ∴EF＝OG， 又∵∠EBG＝∠BEG＝45°， ∴EG＝BG， ∴EF+EG＝OB＝OC． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键． 15．（2024秋•昆明期末）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG． （1）求证：∠ADG＝90°； （2）如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由正方形的性质得∠DAB＝∠B＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，然后由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质及正方形的性质可得∠EAH＝∠GAH＝45°，然后由全等三角形的判定与性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形和四边形AEFG是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠B＝∠EAG＝90°， ∴∠EAD+∠DAG＝90，∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△BAE和△DAG中， ， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴∠ADG＝∠B＝90°； （2）解：BE+DH＝HE，理由如下： ∵△BAE≌△DAG， ∴BE＝DG，AE＝AG， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠EAH＝∠GAH＝45°， 在△EAH和△GAH中， ∴△EAH≌△GAH（SAS）， ∴EH＝GH， ∵DG+DH＝GH， ∴BE+DH＝EH． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $