1.3正方形的性质与判定同步训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．如图，已知四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（   ） A．2 B． C．3 D． 5．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 二、填空题 9．如图，是正方形内一点，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长是 ． 10．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 11．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为，，则的长度为 ． 12．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为 ． 13．在正方形中，，点是中点，点在上．连接，，若，则 ． 三、解答题 14．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 15．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 16．如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 17．如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 18．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 正方形的性质与判定 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了矩形的判断，正方形的判断，等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，据此可判断A；根据对角线相等的四边形或一组邻边相等的四边形是矩形，对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形可判断B、C、D． 【详解】解：A、由可得，则四边形不是正方形，故此选项符合题意； B、由可证明四边形是矩形，再由 可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； C、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； D、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，交于H，    ∵在正方形中，，E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了正方形的面积与对角线的关系，解题的关键是掌握“正方形面积等于对角线平方的一半”这一公式． 利用正方形面积与对角线的关系，代入对角线长度计算，即面积对角线． 【详解】设正方形的边长为 cm． 对角线长为 cm，且对角线 = ， ， cm． 面积 cm²． 故选A 6．C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键． 【详解】解：∵正方形中，点在上， ∴正方形的边长为， ∴点坐标是，点坐标是， 第一种情况：顺时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在轴上， ∵，旋转后与重合，旋转后与轴重合，且，， ∴， ∴点； 第二种情况：逆时针旋转， 绕点逆时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在第一象限， 此时横坐标等于长度，纵坐标为， ∴坐标为， 所以旋转后点的对应点的坐标是或． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据正方形的性质得出直角，确定旋转角度，根据旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 根据旋转的性质得，旋转角为，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 9． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键．根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变．即，绕点按顺时针方向旋转至，则，在中，利用勾股定理，可求出的长． 【详解】解：由旋转的性质得到旋转角，， 在中，， ， 故答案为：． 10． 【分析】过B作，垂足为F，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点B逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过B作，垂足为F，如图所示： ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将边绕点B逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴由“三线合一”可得是边上的中线，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，涉及正方形的性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：把顺时针旋转的位置， ， ， ， ， ， ， 中，， 故答案为：． 12．8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 13． 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，延长到点，使，连接，．先证明，得到，，再证明，得到，设，则，，最后在中根据列方程求出，再根据求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，． ∵正方形中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 设，则，， 中， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．见解析 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得，进而证得四边形为正方形． 【详解】证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 16．见详解 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键．先证明四边形是矩形，再证四边形是正方形． 【详解】证明：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 17．见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，进而推出，从而证明垂直． 【详解】证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 18．(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ． ． （3）解：，理由如下： 作于点 由（2）知 ， 为等腰直角三角形， ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $