专题04 解直角三角形（期中复习讲义）（知识必备+10大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题04 解直角三角形 核心考点 复习目标 考情规律 解直角三角形基本计算 能用勾股定理、边角关系求元素 基础小题，易错边角对应错 解直角三角形的常见解法 按已知条件选对应解法 小题解答题，易错记错公式 坡度、坡角实际应用 能用坡度公式解实际问题 应用题常考，易错坡度坡角混 仰角、俯角实际应用 能构造直角三角形解仰俯角题 解答题核心，易错视线画错 方位角、方向角实际应用 能定角大小并列式计算 应用题高频，易错定义混淆 知识点01 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 知识点02 解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 示例：在中，，已知，直角边，求和的长度。 解：通过边角关系，得。 通过边角关系，得。 知识点03 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 示例：某山坡的坡度，若山坡的铅直高度为5米，求山坡的水平距离。 解：由坡度定义（为铅直高度，为水平距离），得，解得水平距离米 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 题型一 锐角三角函数的定义 【例1】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 【变式1-2】在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【变式1-3】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 题型二 网格中的锐角三角函数值计算 【例3】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在网格线的交点上，则 ． 【变式2-1】如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为 ． 解｜题｜技｜巧 1.找到含目标锐角的直角三角形：可直接找网格中现成的直角；若找不到，过锐角顶点作网格线的垂线，补出直角三角形。 2.算直角边：数网格边长，水平/垂直线段长度=格数×每格边长（通常每格为1）； 算斜边：用勾股定理计算。 3.根据锐角位置，确定对边、邻边，然后根据，代入边长计算。 题型三 同角/互余两角三角函数的关系 【例5】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【例6】已知中，，，则的值为 ． 【变式3-1】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 题型四 特殊角的三角函数值计算 【例7】计算：（　　） A． B．1 C． D． 【例8】在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【变式4-1】若n为正整数，且满足，则 ． 【变式4-2】已知为锐角，且，求的度数． 【变式4-3】计算 (1) (2) (3) 解｜题｜技｜巧 熟记特殊角的三角函数：； 题型五 新定义问题 【例9】定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 题型六 解直角三角形 【例11】如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例12】如图所示，在中，，过点作，垂足为点，，，，求： (1)边的长； (2)的值． 【变式6-1】在中，，，，那么长为 ． 【变式6-2】如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【变式6-3】已知：如图，在菱形中，于，求此菱形的周长． 题型七 构造直角三角形解直角三角形（作垂线） 【例13】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【例14】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【变式7-1】如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【变式7-2】在中，若，，，则 ． 【变式7-3】如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    题型八 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题） 【例15】如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【例16】小凯沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是 ． 【变式8-1】如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【变式8-2】有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【变式8-3】如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） (1)求斜坡的长； (2)求这座山的高度． 题型九 解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 【例17】如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【例18】某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【变式9-1】如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【变式9-2】在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    【变式9-3】如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 题型十 解直角三角形的应用（方位角问题） 【例19】中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【例20】如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【变式10-1】在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【变式10-2】如图，海中有两个小岛、，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50海里，又测得点B与小岛D相距海里． (1)求的值； (2)求小岛、之间的距离． 【变式10-3】如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） (1)求的长度（结果精确到1千米）； (2)小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，，则的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接、，则的值为 ． 4．在中，为线段上一点，且，则的值为 5．如图，在中，，则 6．计算：． 7．如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 8．如图是一个正六边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（   ） A．10 B． C．20 D． 9．如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 10．共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，与的长分别为，，，的长为，点A，C，E在同一条直线上，且，如图2． (1)求的长； (2)求点E到的距离（结果精确到，参考数据：，，） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为10，“边长正度值”为6，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于 ． 2．如图，在矩形中，，，将它绕着点C顺时针旋转得到矩形，与交于点H．当时，则的长是 ． 3．等腰三角形中，，点D为三角形的重心，则 ． 4．如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是 ． 5．在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 6．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 7．如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形 核心考点 复习目标 考情规律 解直角三角形基本计算 能用勾股定理、边角关系求元素 基础小题，易错边角对应错 解直角三角形的常见解法 按已知条件选对应解法 小题解答题，易错记错公式 坡度、坡角实际应用 能用坡度公式解实际问题 应用题常考，易错坡度坡角混 仰角、俯角实际应用 能构造直角三角形解仰俯角题 解答题核心，易错视线画错 方位角、方向角实际应用 能定角大小并列式计算 应用题高频，易错定义混淆 知识点01 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 知识点02 解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 示例：在中，，已知，直角边，求和的长度。 解：通过边角关系，得。 通过边角关系，得。 知识点03 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 示例：某山坡的坡度，若山坡的铅直高度为5米，求山坡的水平距离。 解：由坡度定义（为铅直高度，为水平距离），得，解得水平距离米 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 题型一 锐角三角函数的定义 【例1】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 【例2】直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 【变式1-1】如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 【答案】或 【详解】解：， ， ，， ，， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或． 【变式1-2】在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 题型二 网格中的锐角三角函数值计算 【例3】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 在中， ∴ ， 故选：A 【例4】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在网格线的交点上，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作于点， 由网格可知，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】如图： 在中， ， ， 故选：B． 【变式2-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【变式2-3】如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1.找到含目标锐角的直角三角形：可直接找网格中现成的直角；若找不到，过锐角顶点作网格线的垂线，补出直角三角形。 2.算直角边：数网格边长，水平/垂直线段长度=格数×每格边长（通常每格为1）； 算斜边：用勾股定理计算。 3.根据锐角位置，确定对边、邻边，然后根据，代入边长计算。 题型三 同角/互余两角三角函数的关系 【例5】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 【例6】已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 【变式3-2】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴， 设AC＝4a，AB＝5a， ∴BC＝， ∴tanB＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，根据已知可设AC＝4a，AB＝5a，利用勾股定理求出BC的长是解题的关键． 【变式3-3】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型四 特殊角的三角函数值计算 【例7】计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 【例8】在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】若n为正整数，且满足，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式4-2】已知为锐角，且，求的度数． 【答案】或 【详解】解：设，则，即， 解得，即或． 为锐角， 或． 【变式4-3】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 解｜题｜技｜巧 熟记特殊角的三角函数：； 题型五 新定义问题 【例9】定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 【例10】如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能构成三角形，三角形不存在； 当时，,能构成三角形， 过A作于D， 则， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义——“倍长三角形”．熟练掌握新定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，余弦定义，分类讨论，是解题的关键． 【变式5-3】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据正对定义可得： 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形， 底边腰长， 故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图： 在中，， 令，则，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴， ，， ． 题型六 解直角三角形 【例11】如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 【例12】如图所示，在中，，过点作，垂足为点，，，，求： (1)边的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 在中，， ， ， ， 在中, ． （2）， ， ， 又， ， 在中， ， ． 【变式6-1】在中，，，，那么长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ， 解得， ∵ ∴ 故答案为：． 【变式6-2】如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴； （2）解：作，垂足为， 在中，，令，， 则， 又在中，， 则， 于是 ，即， 解得， ∴． 【变式6-3】已知：如图，在菱形中，于，求此菱形的周长． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 题型七 构造直角三角形解直角三角形（作垂线） 【例13】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【例14】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【答案】30 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 【变式7-1】如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式7-2】在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 【变式7-3】如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 题型八 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题） 【例15】如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 【例16】小凯沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是 ． 【答案】10米 【详解】解：设坡度的高为x米，则水平距离为米， 由题意可得：，解得：． 所以他上升的高度是10米． 故答案为：10米． 【变式8-1】如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【答案】18 【详解】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 【变式8-2】有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】2.6 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 【变式8-3】如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） (1)求斜坡的长； (2)求这座山的高度． 【答案】(1)斜坡的长约为 (2)这座山的高度约为 【详解】（1）解：，， ， ． 答：斜坡的长约为． （2）解：如图，过点C作于点N，交于点F． 则四边形为矩形， ． ，， ， 则． 答：这座山的高度约为． 题型九 解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 【例17】如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 【例18】某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 【变式9-1】如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    【答案】54.3 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：54.3． 【变式9-3】如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 【答案】米 【详解】解：由已知，得，，米，，于点， ，， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， （米）． 答：建筑物、间的距离为米． 题型十 解直角三角形的应用（方位角问题） 【例19】中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 【例20】如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 【变式10-1】在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【答案】(1)该轮船航行的速度为千米/小时 (2)轮船能正好行至码头靠岸，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵1小时分钟小时， ∴． 故该轮船航行的速度为； （2）能；理由如下： 作于R，作于S，延长交l于T． ， ∴． ∵， ∵， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得：． ∴， 又∵长为， ∴， ∵， 故轮船能够正好行至码头靠岸． 【变式10-2】如图，海中有两个小岛、，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50海里，又测得点B与小岛D相距海里． (1)求的值； (2)求小岛、之间的距离． 【答案】(1) (2)50海里． 【详解】（1）解：如图，过作，垂足为， 在中，海里，， ∴海里， 在中，海里， ∴； （2）解：如图，过作，垂足为， 在中，海里，海里， ∴海里， ∵四边形是矩形， ∴海里，海里， ∴海里， 在中，海里， ∴小岛、之间的距离为海里． 答：小岛、之间的距离为海里． 【变式10-3】如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） (1)求的长度（结果精确到1千米）； (2)小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 【答案】(1)的长度约为39千米； (2)小鲁先到达景区D． 【详解】（1）解：如图，过A作于点E，过B作，交的延长线于点F， 根据题意，，，，，千米，， ∴，，， ∵在中，，，千米， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵在中，， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）， ∴（千米）， ，， （千米）, 答：的长度约为39千米； （2）解：由（1）知（千米）， ∵小鲁的速度为35千米/小时， ∴小鲁从A→C→D，所用时间为（小时）， 在中，，不妨设，则，， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得（千米）， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵小能的速度为55千米/小时， ∴小能从A→B→D，所用时间为（小时）， ∵， ∴小鲁先到达景区D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图，连接，过点作轴于点， ∵点Q的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 2．在中，，若，，则的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接、，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， 根据勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴在中， 故答案为：. 4．在中，为线段上一点，且，则的值为 【答案】/ 【详解】解：如图，作于点， 中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，则 【答案】 【详解】解：作于点E，设，则，， 由题可得： ， ， 在中，由勾股定理可得： 解得：， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 6．计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 7．如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； （2）解：是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 8．如图是一个正六边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是正六边形的一个内角， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴ ∴图中空白部分的面积等于 ∴ ∴ ∵， ∴阴影部分的面积为 故选：A． 9．如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 【答案】约为323米 【详解】如图，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∴， 同理，在中，得到， 又∵米， ∴米， 即， 则≈≈323（米）． 答：观景台D到洛河西岸的距离约为323米． 10．共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，与的长分别为，，，的长为，点A，C，E在同一条直线上，且，如图2． (1)求的长； (2)求点E到的距离（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，，， ， 车架档的长是． （2）解：过点作，垂足为， ， ， 车座点到车架档的距离约为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为10，“边长正度值”为6，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于 ． 【答案】或 【详解】解：如图，在等腰三角形中，，作于，则， 由题意得， 或， 或， 或， 或， 故答案为：或． 2．如图，在矩形中，，，将它绕着点C顺时针旋转得到矩形，与交于点H．当时，则的长是 ． 【答案】 【详解】连接， ， 在的垂直平分线上， ， 也在的垂直平分线上， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．等腰三角形中，，点D为三角形的重心，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，过作于， 设等腰中，（）， ∴， ∵点为的重心， ∴，是中点． ∴平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、重心的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握重心的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取格点，连接． 由网格的特特征可知，， ∴， ∴三点共线， 由格点三角形可知：，， ∴ ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故答案为：． 5．在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】开封铁塔的高度为． 【详解】解：设塔的高度为米， 由题得， 即， ， 即， ， ， 即， 解得， 开封铁塔的高度为． 7．如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 【答案】(1) (2)所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为E，过点C作，垂足为F，连接， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴ ∴ 答：此空地的面积为． （2）解：设与墙垂直的一边为，则与墙平行的一边为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 答：所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $