专题02 一元二次方程（期中知识清单）（必备知识+10题型清单+2易错清单）九年级数学上学期冀教版

专题02 一元二次方程 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是________，只含有________未知数，并且未知数的________是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是________式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是________方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是________。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式:________，其中________叫作二次项，________是二次项系数；________叫作一次项，________是一次项系数；________叫作常数项。 注意：（1）中的．因当________时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成________，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的________。 【清单03】 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边________的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解________再进行求解. 【清单04】 解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成________的形式,那么________,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将________移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以________；④配方，即方程两边都加上________；化原方程为________的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果________，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式________的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为________；②将方程的左边转化为两个________的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个________来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到________的目的。 【清单05】 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则________，________。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如________ 【清单06】 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的________． ②设：根据题意，可以________设未知数，也可以________设未知数． ③列：根据题中的________，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的________． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和________． ⑥答：写出答案． 【题型一】—元二次方程的一般形式 例1．一元二次方程化为一般形式后二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 变式1-1．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 变式1-2．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项的系数为 ． 变式1-3．将方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为 ． 【题型二】—元二次方程的解 例2．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 变式2-1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（    ）． A．2 B． C．2或 D． 变式2-2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（   ） A． B． C．1 D．2 变式2-3．已知是方程的一个根则 ． 【题型三】平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 例3．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3-1．方程的根是 ，一元二次方程的解是 ． 变式3-2．解方程： (1)； (2)． 变式3-3．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【题型四】解一元二次方程(换元法) 例4．若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 变式4-1．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 变式4-2．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-3．若关于x的方程的解是，则关于y的方程的解是 【题型五】根的判别式与解的情况 例5．关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 变式5-1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 变式5-2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 变式5-3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【题型六】根与系数的关系 例6．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 变式6-2．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 变式6-3．关于的方程的两实数根互为倒数，则的值为 ． 【题型七】一元二次方程的应用——增长率问题 例7．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献，根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年5月新能源汽车销量约为80万辆，2025年7月新能源汽车销量约为万辆，若两个月的增长率相同，求月平均增长率． 变式7-1．某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 变式7-3．2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． (1)求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； (2)按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 【题型八】一元二次方程的应用——销售问题 例8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出200件，每件盈利40元，经调查发现如果这种衬衫的售价每降低0.1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元． (1)降价后，每件衬衫的利润为（   ）元，销量为（   ）件；（用含的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利12000元，求每件衬衫应降价多少元？ 变式8-1．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台30元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为40元时，平均每月售出600台；若每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台． (1)若每台小风扇的售价为38元，则每月可卖出___________台． (2)该商店决定降价销库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为4800元？ 变式8-2．某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个．当这种文件夹销售单价为多少元时，月销售利润是320元． 变式8-3．项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 【题型九】一元二次方程的应用——图形问题 例9．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 变式9-1．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 变式9-2．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙为）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，设的长为，依题意列方程 ． 变式9-3．如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 【题型十】一元二次方程的应用——动态几何问题 例10．如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 变式10-1．如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 变式10-2．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 变式10-3．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】判断一元二次方程及确定系数 易错点：忽略“”前提，漏看系数符号 例1．方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 变式1-1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 变式1-2．已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为 ． 变式1-3．已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【题型二】用韦达定理求代数式值 易错点：未先判断方程有实根，忽略“”前提 例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 变式2-1．已知关于的一元二次方程有两根分别为，，且满足求的值？ 变式2-2．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两根为、，若，求的值． 变式2-3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【清单03】 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【清单04】 解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 【清单05】 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【清单06】 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 【题型一】—元二次方程的一般形式 例1．一元二次方程化为一般形式后二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般形式，进而根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程化为一般形式后二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故答案为：，，． 变式1-1．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 变式1-2．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是， ∴化成的一般形式为， ∴一次项系数为， 故答案为：． 变式1-3．将方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据题意，将方程转化为一般式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴常数项为2， 故答案为：2． 【题型二】—元二次方程的解 例2．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 变式2-1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（    ）． A．2 B． C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入，据此解答即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得，， 故选：C． 变式2-2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， 故选：A． 变式2-3．已知是方程的一个根则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【题型三】平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 例3．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)没有实数解 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）先进行判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程没有实数解． 【详解】（1）， ， 所以，； （2）， ， 所以，； （3）， ， 所以； （4） 所以方程没有实数解． 变式3-1．方程的根是 ，一元二次方程的解是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 第一个方程利用直接开平方法求解可得，第二个方程利用因式分解法求解可得． 【详解】， ， 则， ， ， 或， 解得：或， 故答案为：；或． 变式3-2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了二次方程的解法（开平方法和求根公式法），熟练掌握二次方程的解法步骤和判别式计算是解题的关键． （1）通过开平方转化为两个一次方程求解，需注意符号的取舍． （2）使用求根公式求解，需准确计算判别式并代入公式． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 解得，； （2）解：， ∴， ， ∴，． 变式3-3．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 【题型四】解一元二次方程(换元法) 例4．若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案． 【详解】解：令， 则可化为， 即， ， 解得或， ， ，即的值是， 故选：D． 变式4-1．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 变式4-2．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． 变式4-3．若关于x的方程的解是，则关于y的方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程为或，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，．． 【题型五】根的判别式与解的情况 例5．关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)k的值为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）将代入得到关于k的方程求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入原方程得：，解得：． （2）证明：∵，， ∴，即， ∴关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 变式5-1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 变式5-2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程根的情况，分和两种情况讨论，求出k的取值范围即可． 【详解】解：当时，方程为是一元一次方程，有实数根； 当时，关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 综上，关于的方程有实数根，则实数的取值范围是， 故答案为：． 变式5-3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 【题型六】根与系数的关系 例6．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：D． 变式6-1．设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 变式6-2．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【详解】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 变式6-3．关于的方程的两实数根互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于a的方程是解题的关键． 根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于a的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根互为倒数， 又∵， ∴ ， ∵有两个实数根， ∴ ， ∴， ∴a的值为． 故答案为：． 【题型七】一元二次方程的应用——增长率问题 例7．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献，根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年5月新能源汽车销量约为80万辆，2025年7月新能源汽车销量约为万辆，若两个月的增长率相同，求月平均增长率． 【答案】月平均增长率为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意可得，然后解方程并选择符合题意的解即可． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意可得， 解得：或（不合题意舍弃）， 答：月平均增长率为． 变式7-1．某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选：B． 变式7-2．为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次降价后的单价为元，则第二次降价后的单价为元，再根据经过两次降价，单价由2200元降为1980元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 变式7-3．2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． (1)求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； (2)按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 【答案】(1) (2)2662人 【分析】本题主要考查了平均增长率与一元二次方程的实际应用问题，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）设出平均增长率，列出方程得到答案即可； （2）根据（1）中算出的增长率进行计算即可得到答案 【详解】（1）解：设昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为x，则 ， 解得：（舍去） ∴昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为； （2）解：由（1）可知增长率为， ∴（人）， ∴预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有2662人． 【题型八】一元二次方程的应用——销售问题 例8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出200件，每件盈利40元，经调查发现如果这种衬衫的售价每降低0.1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元． (1)降价后，每件衬衫的利润为（   ）元，销量为（   ）件；（用含的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利12000元，求每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据原来每件盈利40元，现在降价x元即可求出每件衬衫的利润为元，根据售价每降低0.1元时，平均每天能多售出2件即可求出销量为件； （2）根据“单件利润×销售件数=总利润”列出方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件； 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得， ∵要扩大销售，尽快减少库存， ∴不合题意，舍去． 答：每件衬衫应降价20元． 变式8-1．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台30元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为40元时，平均每月售出600台；若每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台． (1)若每台小风扇的售价为38元，则每月可卖出___________台． (2)该商店决定降价销库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为4800元？ 【答案】(1)700 (2)36元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台”，列式计算即可； （2）设每台小风扇的售价定为x元，根据“每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台”即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：台， 即每台小风扇的售价为38元，则每月可卖出700台； 故答案为：700 （2）解：设每台小风扇的售价定为x元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：当每台小风扇的售价定为36元时每月利润为4800元． 变式8-2．某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个．当这种文件夹销售单价为多少元时，月销售利润是320元． 【答案】12元或16元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设当这种文件夹销售单价为x元时，月销售利润是320元，根据题意，每个文件夹的利润为元，销售量为，即可列方程求解． 【详解】解：设当这种文件夹销售单价为x元时，月销售利润是320元， 根据题意，得， 化简，得， ， ，， 答：这种文件夹销售单价为12元或16元时，月销售利润是320元． 变式8-3．项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为140元/千克 【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用，涉及的知识点有一次函数的解析式求解（待定系数法）、一元二次方程的求解以及不等式的应用．运用了函数与方程思想（用一次函数表示销售量与单价的关系，用方程表示利润关系，用不等式限制成本）、待定系数法．解题关键是准确建立函数、方程和不等式模型，易错点是在解一元二次方程后，忽略成本限制的不等式对解的取舍． （1）因为销售单价x与销售数量y成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式． （2）先根据月销售成本不超过40000元，结合成本和销售量的关系列出不等式，求出销售单价的范围；再根据利润公式（利润 = （单价 - 成本）× 销售量）列出一元二次方程，求解后结合前面求出的单价范围，确定符合条件的销售单价． 【详解】（1）解：设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）． 当时，；当时，，代入函数关系式可得： ， 解得． 所以，y与x的函数关系式为． （2）设销售单价应定为x元/千克． 由题意得：，把代入得： 解得 再根据利润公式，，把代入得： 解得或． 又因为，所以． 所以月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，此时销售单价应定为140元/千克． 【题型九】一元二次方程的应用——图形问题 例9．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为， 根据题意得，， 故选：． 变式9-1．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)木栏的长为10米 (3)矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形围栏的面积为210平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据矩形围栏的面积为240平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：的长为x米，则（米）， 故答案为：； （2）由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：木栏的长为10米； （3）矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由如下： 由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 矩形围栏的面积不可能达到240平方米． 变式9-2．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙为）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，设的长为，依题意列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 设的长为，由三个垂直于墙的篱笆加上一个平行于墙的篱笆等于篱笆总长建立方程即可． 【详解】解：设的长为，依题意列方程， 故答案为：． 变式9-3．如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为列出关于S的方程． （1）根据边减少，得到的矩形面积不变，得，可解得答案； （2）根据题意得，，变形得，可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得：． 答：b的值为6． （2）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴S的值为． 【题型十】一元二次方程的应用——动态几何问题 例10．如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 【答案】或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”，得出等量关系是解决问题的关键． 根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． 【详解】设秒后，的面积等于，由题意可得： ， 整理得， 解得，． 经检验均是原方程的解． 或秒后，的面积等于． 故答案为：或． 变式10-1．如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半． 【点睛】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 变式10-2．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)，2s (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和三角形面积的计算，主要运用了勾股定理和三角形面积公式． （1）在中，根据勾股定理，，其中，，代入计算即可； （2）要判断线段是否能将分成面积相等的两部分，即判断的面积是否等于面积的一半，先求出的面积，再设运动时间为x，表示出和，计算的面积，如果的面积等于面积的一半，则能分成面积相等的两部分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， 当时， 在中， ∵， ∴， ， ， ，， ∴和时 ，的长度等于． （2）解：线段不能将分成面积相等的两部分． 理由：设运动时间为， 则，， 依题意，得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根，即线段不能将分成面积相等的两部分． 变式10-3．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或2时，的长度等于 (2)存在，t的值为1 【分析】（1）由题意得，，则，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解； （2）的面积等于，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，． 即当或2时，的长度等于． （2）解：存在t的值，使得的面积等于， 理由：由题意知，， 解得：，（舍）． 即存在t的值，使得的面积等于，t的值为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型一】判断一元二次方程及确定系数 易错点：忽略“”前提，漏看系数符号 例1．方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 变式1-1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 变式1-2．已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 变式1-3．已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ，∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或，解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 【题型二】用韦达定理求代数式值 易错点：未先判断方程有实根，忽略“”前提 例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系结合已知得出关于的一元二次方程，解方程求的值． 【详解】（1）解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； （2）解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：或， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵或， ∴的值是． 变式2-1．已知关于的一元二次方程有两根分别为，，且满足求的值？ 【答案】k的值为1 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合根的判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为 ∵， ∵ ∴ ∴， 当时，，不符合题意，应舍去； ∴的值为1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式（△=b2-4ac）与原方程的解的情况．（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根． 变式2-2．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两根为、，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，．再由，可得到关于m 的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：∵方程的两根为、， ∴， ∴ ∵ ∴， 即， 解得：或， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 变式2-3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出的取值范围． （2）根据根与系数的关系，列出计算出a的值，并结合（1）中a的范围，求解出结果． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故的取值范围是； （2）解：方程的两根为， ， 又， ， 则， 解得或， 又， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $