第二十四章 一元二次方程（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）某厂家2024年1-5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 5．（2025·河北邯郸·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 9．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 10．（2025八年级下·河北邯郸·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 12．（22-23八年级下河北沧州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 14．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（23-24九年级上·河北邯郸·期末）解方程 (1)； (2)． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 19．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 20．（9分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 21．（9分）（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 22．（9分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 24．（12分）（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含的代数式表示． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）某厂家2024年1-5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 5．（2025·河北邯郸·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 9．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 10．（2025八年级下·河北邯郸·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 12．（22-23八年级下河北沧州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 14．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（23-24九年级上·河北邯郸·期末）解方程 (1)； (2)． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 19．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 20．（9分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 21．（9分）（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 22．（9分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 24．（12分）（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含的代数式表示． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）某厂家2024年1-5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察统计图，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：， 故选：B． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 5．（2025·河北邯郸·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是一元二次方程的两实数根， ，， ； 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方法步骤正确等），从而确定完全正确的解法． 【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误； 原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误； 原方程整理为， ， ，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误； 原方程整理得，配方得， ， ， ， 丁的解法正确。 综上，只有丁的解法完全正确， 故选：D． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 9．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的应用，解方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解方程，熟练掌握增长率，解方程是解题的关键． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x，则第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 根据题意，得， 故， 又， 故， 解得，即每天遗忘约30%， 故甲，丙正确，乙，丁错误． 故选：A． 10．（2025八年级下·河北邯郸·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 11．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，解一元二次方程等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据第四象限点的坐标特征可得：，从而可得：，然后根据点到坐标轴的距离可得，再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∵点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， 故选：C． 12．（22-23八年级下河北沧州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可． 【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（23-24九年级上·河北邯郸·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四， (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，； （2）解：， ， ． 19．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，； （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9； （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为． 20．（9分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 21．（9分）（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 22．（9分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 【答案】(1)②③ (2)0 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）根据题意，求出，代入代数式进行计算即可； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； （2）∵， ∴， ∵方程是“归一方程” ∴， ∴； （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∴； 故答案为：． 24．（12分）（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含的代数式表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题关键． （1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论； （2）根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可； （3）根据，得到，即得到，再进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是关于的方程的一个正实根， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵n、t均为正实数， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B B B A B D B A C C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14．2 15．4或5 16． ①②③ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，．·······························3分 （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，．······························7分 18．（8分） 【答案】(1)四， (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，；······························4分 （2）解：， ， ．······························8分 19．（8分） 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，；······························2分 （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9；······························5分 （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为．······························8分 20．（9分） 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元；······························4分 （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，，······························6分 整理得：， 解得：或， 因为， 所以，······························8分 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元．······························9分 21．（9分） 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，．······························4分 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形．······························9分 22．（9分） 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件；······························4分 （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．······························9分 23．（11分） 【答案】(1)②③ (2)0 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）根据题意，求出，代入代数式进行计算即可； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③；······························2分 （2）∵， ∴， ∵方程是“归一方程” ∴， ∴；······························6分 （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则：，······························6分 ∴， ∴； 故答案为：．······························11分 24．（12分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题关键． （1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论； （2）根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可； （3）根据，得到，即得到，再进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是关于的方程的一个正实根， ∴， ∴， 即．······························3分 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴．······························7分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵n、t均为正实数， ∴．······························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$