专题03 垂径定理、圆周角和圆心角的关系（高效培优期中专项训练）数学苏科版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03垂径定理、圆周角和圆心角的关系 考点归纳 考点01利用垂径定理求线段长问题 考点02利用垂径定理求平行弦问题 考点03利用垂径定理求同心圆问题 考点04利用垂径定理求实际应用问题 考点05利用圆周角定理求角 考点06半圆（直径）所对的圆周角是直角 考点0790的圆周角所对的弦是直径 考点08已知圆内接四边形求角度 考点专练 考点01利用垂径定理求线段长问题 1.如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24,动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10,若点M、N分别是弦AB、 Pp的中点，则线段MW的取值范围是() ·O B A.7≤MN≤17B.14≤MN≤34 C.10≤MN≤26 D.6≤MN≤16 【答案】A 【详解】解：如图，连接OM、O、OA、OP, Q PA :⊙0的直径为26， .0A=OP=13, “点M、N分别是弦AB、PO的中点，AB=24,PQ=10, 1/37 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 M ON12 PN-P05. ..OM=AO2-AM2=5,ON=PO2-PN2 =12, 当AB∥PQ时，M、O、N三点共线， 当AB、PQ位于⊙O的同侧时，线段MN的长最短为ON-OM=12-5=7, 当AB、P9位于⊙O的异侧时，线段MW的长最长为ON+OM=12+5=17, 线段MN的取值范围是7≤MN≤17， 故选：A. 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若OD=10,BE=4,则CD的长为 () A.6 B.16 C.8 D.12 【答案】B 【详解】解：，AB是⊙O的直径，且AB⊥CD, .DE=CD, 2 :OD=10=OB,BE=4, ÷OE=OB-BE=10-4=6, 在Rt△DOE中，DE=VOD2-OE2=V10?-62=8, .CD=2DE=16 故选：B. 3.如图，若⊙O的半径为l10cm,圆心O到AB的距离为6cm,则AB=()cm. B A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】C 2/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过O作OH⊥AB于H, .AB=2AH, ,O的半径为10cm,圆心O到AB的距离为6cm, ..O4=10cm,OH =6cm, .AH=VOA2-OH2 =8(cm), .AB=2AH=16(cm). 故选C 4. ⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm,⊙O的半径为6cm,则腰AB的长 为() A.4v6cm B.2v26cm C.2√14cm或226cm D.4V6cm或4V3cm 【答案】D 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 图一 图二 如图一，假若∠BAC是锐角，△ABC是等腰三角形， 连接OA,OB,过点O作OD⊥BC于D,连接AD, :OD⊥BC, ·D为BC的中点， ~△ABC是等腰三角形，且BC为底， ÷AD⊥BC, ÷AO、D三点共线， .OD=2cm,OB=6cm, ∴.AD=8cm, .BD=VOB2-0D2=V62-22=4√2(cm, 3/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AD2+BD2 V82+42=4v6(cm: 如图二，若∠BAC是钝角，△ABC是等腰三角形， 同理可得AD=6-2=4(cm), AB=√AD2+BD2=V42+(4W22=4V5(cm), 综上可得腰长AB=4V6cm或4√3cm. 故选：D, 5.如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙0的弦，AB⊥CD于M,若CD=5cm,AB=4cm,则OM= cm. B D 【答案】1.5 【详解】解：连接OA, 为 的直径， B D CD⊙O CD=5cm :0A=1cD=2.5(cm, AB⊥CD, M2cm), 在RtAAOM中，OM=VA02-AM2=V2.52-2=1.5cm, 故答案为：1.5. 6.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2, 则EC的长为一. 4/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 7B D 【答案】2√3 【详解】解：在⊙O中，OD⊥AB, c-c-, AB=8, ÷AC=BC=4, 设OA=x,则OD=OA=x, CD=2, 40C=x-2, 在Rt△AC0中，AC2+OC2=AO2 42+x-22=x2, 解得x=5, 0A=5: 连接BE, E D :OA=OE,AC=BC, OCIBE且OC=，BE ÷∠EBA=∠OCA=90°， 0C=OD-CD=5-2=3, BE=6, 在Rt△ECB中，BC2+EB2=EC2, 42+62=EC2, EC=2N13. 5/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2V13 考点02利用垂径定理求平行弦问题 7.已知在⊙O中，半径r=13,弦AB∥CD,且AB=24,CD=10,则AB与CD的距离为(). A.7或17 B.7 C.7或12 D.12 【答案】A 【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M,延长MO交CD于N,连接OA,OC, AB∥CD,AB=24,CD=10, 则ON⊥CD, M 4w-34=12cw-cD-5 2 :.0M=VOA2-AM2=V132-122=5,0N=VOC2-CW2=V132-52=12 ∴.MN=OM+ON=5+12=17, ∴.此时弦AB与CD的距离为17： 当AB,CD在点O的同侧，作O0⊥CD于Q,交AB于P,连接OA,OC, C 同理，4P-24B=12C0-CD=5, .0P=V0A2-AP2=V132-122=5,0Q=V0C2-CQ2=V132-52=12, PQ=00-0P=12-5=7, ∴.此时弦AB与CD的距离为7， 弦AB与CD的距离为17或7. 故选：A. 8.AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD,又⊙O的直径为26，AB=10,CD=24,则AB与CD间的距离 为 【答案】7或17 【详解】解：连接OA、OC,过点O作OM⊥AB于点M, 6/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB∥CD, 直线ON⊥CD,设垂足为W点， ON⊥CD,OM⊥AB,AB=10,CD=24, .AM=BM=5,CN=DN=12, .0A=OC=13, ∴在Rt△AOM中，OM=√A0-AM2=V132-52=12, 在Rt△C0N中，ON=VC02-CW2=V132-122=5, ①如下图：当AB,CD在圆心的两侧，则它们之间的距离为MN, A B D .MN=OM+ON=12+5=17(cm) ②如下图，如果AB、CD在圆心的同侧，则它们之间的距离为MN, A B M D ∴.MN=OM-OW=12-5=7 综上所述，AB,CD之间的距离为7或17. 故答案为：7或17. 9.已知⊙O的半径为5，弦AB=6,弦CD=8,AB∥CD,则这两条平行弦AB、CD的距离为 【答案】1或7 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,连接OA,OC. ABIICD,OE⊥AB, .OF⊥CD .OA=OC=5,AB=6,CD=8, E-AB-3 CF-CD-4. 2 在RtA0AE中，OE=VOA2-AE=V5-32=4. 在Rta0CF中，OF=VOC2-CF2=V52-42=3. 7/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当AB,CD在圆心O的同侧时， A B D EF=OE-OF=4-3=1 当AB,CD在圆心O的异侧时， A B EF=OE+OF=4+3=7 故答案为：1或7. 10.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1 分米，油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为一· M… B 【答案】2V13 【详解】如图，CD=6,AB=4,过圆心O作OE⊥AB于E,交CD于F,则OF⊥CD M 4E-48-2.CF-CD-3.EF-1 设OE=x分米，则OF=(x-1)分米 由勾股定理得，OA2=AE2+0E2=22+x2,0C2=CF2+0F2=32+(x-1)2 .OA=OC .0A2=0C2 8/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .22+x2=32+(x-02 解得x=3 .0A2=22+32=13 ..04=13 圆柱形油槽的直径MN为2W13分米. 【点晴】本题考查垂径定理的应用，勾股定理能根据垂径定理分别表示两个三角形的三边，并根据勾股定 理构造方程是解决此题的关键， 11.如图，A,B,C,D在⊙O上，AB/1CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与CD交于点E,已知 ⊙0半径为5. A J (I)若AB=6,CD=8,求EF的长： (2)若CD=4N6,且EF=BF,求弦AB的长： 【答案】(1)7：(2)8 【详解】解：(1)连接AO和DO, A B D C EF⊥AB,且EF过圆心， 6F=方8=3， A0=5, 0F=VA02-AF2=4, AB//CD, :EF LCD, 同理6：c0=4, OE=OD2-DE2=3, ÷EF=OF+OE=4+3=7: 9/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，连接BO和DO, A D E :CD=4W6, DE=2√6， .0E=OD2-DE2=1, 设EF=BF=x,则OF=x-1, 在Rt△OBF中，OF2+BF2=BO2, (x-1)2+x2=25,解得x=4,x3=-3(舍去)， BF=4, ÷AB=2BF=8 【点晴】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解。 考点03利用垂径定理求同心圆问题 12.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两 点，若AC=CD=2,则小圆半径是一· C D B 【答案】 2v6 3 【详解】解：过0点作OH1AB于H点，连结OA、OC,如图，则AH=BH,CH=DH=)CD=l 设OC=r,则OA=2r, 在RtACOH中，OH2=OC2-CH2=r2-12 Rt△AOH中，AH=AC+CH=3,OH2=OA2-AH2=42-32 .r2-12=4r2-32, 3或r=、26 解得，r=2 3 10/37 专题03 垂径定理、圆周角和圆心角的关系 考点01 利用垂径定理求线段长问题 考点02 利用垂径定理求平行弦问题 考点03 利用垂径定理求同心圆问题 考点04 利用垂径定理求实际应用问题 考点05 利用圆周角定理求角 考点06 半圆（直径）所对的圆周角是直角 考点07 90°的圆周角所对的弦是直径 考点08 已知圆内接四边形求角度 考点01 利用垂径定理求线段长问题 1．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 3．如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 4．是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，为的直径，为的弦，于，若，，则 ． 6．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 考点02 利用垂径定理求平行弦问题 7．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 8．是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为 ． 9．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 10．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米,油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为 . 11．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 考点03 利用垂径定理求同心圆问题 12．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 13．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 14．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 15．如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． (1)求证：； (2)如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 16．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 考点04 利用垂径定理求实际应用问题 17．如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 18．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 19．如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 20．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 21．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 22．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 考点05 利用圆周角定理求角 23．如图，以原点为圆心的圆交轴于，两点，交轴正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 24．如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 26．如图，在中，点C为弦的中点连接、，点D是上任意一点，若，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，四边形中，，且，若，则 ． 28．如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为 ． 考点06 半圆（直径）所对的圆周角是直角 29．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 30．如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 31．如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 32．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 33．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 34．如图，线段上有一点，以为圆心，为半径作圆，A是上一点，连接交于点，连接，若，且，求的度数． 考点07 90°的圆周角所对的弦是直径 35．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 36．图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 37．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 38．如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 39．如图，四边形是的内接四边形，，，则的半径为 ． 40．如图，在中，，D是上任意一点，连接，过C作于E，连接．若，，则的最小值为 ． 41．如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 考点08 已知圆内接四边形求角度 42．如图，为内接四边形，为直径，C为中点，若，则（    ） A．128° B．116° C．154° D．126° 43．如图，点，，，在上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 45．如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为（    ） A． B．10 C． D．8 46．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则 ．        47．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 48．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若点F在上，且，求的度数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $