专题06 圆解答题压轴五大题型（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题06 圆解答题压轴五大题型 题型1 圆与四边形的综合 题型4 圆与平面直角坐标综合 题型2 四点共圆综合 题型5 圆与其他综合 题型3 圆与一次函数综合 题型1 圆与四边形的综合（共12小题） 1．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 2．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 3．如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 4．如图，在正方形中，点P，点Q分别在边和上，连接交对角线于点E，将正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，点D落在点G处，交于点H． (1)求证：； (2)求证：A，E，H三点共线； (3)设正方形的面积为，面积为，求的最小值． 5．四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 6．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 7．【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 8．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 9．如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 10．【问题提出】 （1）如图①，在中，，是上任意一点，若的半径为2，点到的距离为5，则面积的最小值为______； 【问题解决】 （2）如图②，四边形是一块平行四边形空地，经测量，， ．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 11.如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 12．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 题型2 四点共圆综合（共3小题） 1．如图，在边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），将绕点顺时针旋转到，连接、，延长，与（或延长线）交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)延长，与（或延长线）交于点，求证：． 2．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 题型3 圆与平面直角坐标综合（共4小题） 1．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为的与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D、E，直线（b为常数）交坐标轴于A、B两点． (1)如图1，若直线与有两个交点F、G，则的度数为           ． (2)如图2，若，点P在直线上移动，过P点作的两条切线，切点分别为M，N，若，求点P的坐标； (3)点P为直线上一点，过P点作的两条切线，切点分别为M、N，若存在点P，使得，直接写出b的取值范围                      ． 3．已知在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的交轴的正半轴于点，与轴交于点，，小明同学用手中的三角板进行了如下的实验操作． (1)如图1，将三角板的斜边放置于轴上，当点与点重合时，与交于另一点，求的长； (2)将图-1中摆放的三角板的顶点在上顺时针滑动． ①如图2，当点也落在上，且轴时，交轴于点，求点到的距离； ②如图3，若直角顶点恰好落在轴的正半轴上，此时边与相切于点，求点的坐标； ③若直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，且，直接写出的长． 4．【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 题型3 圆与一次函数综合（共3小题） 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． (1)已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_______，_______； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； (2)如图2，点的坐标为，以为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点关于点的“伴随点”的个数以及的纵坐标对应的取值范围． 2.【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于弦的中点的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“阳光点”． (1)如图，点． ①在点中，点 是弦的“阳光点”，其中 ； ②若直线上一点是弦的“阳光点”，则b的取值范围是 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“阳光点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 题型4 圆与其他综合（共10小题） 1．某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后，它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，则的长为____________； (2)如图2，当时，连接，求点C到桌面的距离； (3)当或垂直于时，“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2-图3）的过程中，圆心O移动的距离． 2．为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 3．【认清概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1线段组成折线段，若点P在折线段上，，则称点P是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，A为圆上的点，为直角，点B是折线段的中点．若，则 ； （2）如图3，中，，D是上一点，，垂足为H．求证：点H是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，A，P，B，C是上的四个点，，求的值． 4．如图1，的高，交于点，延长交外接圆于点，连接．    (1)求证：； (2)如图，连接，，若平分，求的值； (3)在（2）的条件下，如图，延长交于点，连接，，若，求的面积． 5．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 6．问题呈现 在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接得到且，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 【独立思考】（1）如图①，当的延长线经过点B时，求证：是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点作交正方形的对角线于点M，且经过边的中点N，判断与的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得． ①在图②中，求的长； ②绕点A旋转的过程中，直接写出点到的最大距离． 7．综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 8．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 9．【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，点是外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 10．如图，为等边三角形，在过点的射线上取一点，连接． (1)如图1，若且，交于点，，求的长； (2)如图2，若，过点作于点，证明：； (3)如图3，若且．当取最小值时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆解答题压轴五大题型 题型1 圆与四边形的综合 题型4 圆与平面直角坐标综合 题型2 四点共圆综合 题型5 圆与其他综合 题型3 圆与一次函数综合 题型1 圆与四边形的综合（共12小题） 1．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①连接，，只要证明是等边三角形即可； ②过点A作于点D，当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，由勾股定理求出，进而可得，再根据求解即可； （2）延长，交圆于点D，连接，点D在圆上，根据同弧所对的圆周角相等得，根据三角形的外角，进而可证明； （3）在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E，当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足，当时，在上恰好有两个点P满足，此时，由此不难得出结论． 【详解】（1）解：①令圆的圆心为O，连接，，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即该弧所在圆的半径长为4， 故答案为：4； ②过点A作于点D，如图， ∵， ∴当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，如图， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长，交圆于点D，连接， ∵点D在圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：解：如图，在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E， ∵在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限， ∴， ∴， 当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足， 当时，在上恰好有两个点P满足，此时， 综上所述：满足条件的m的值的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 2．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)为直角三角形，理由见详解 (3)或 【分析】本题为几何动点问题，考查了勾股定理及其逆定理，直线与圆相切等知识，综合性比较强，根据题意用含t的式子表示出各线段的长，构造方程是解题关键﹒ （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程，解方程即可求解； （2）当秒时分别求出，，，，根据勾股定理求出，，，即可得到， 从而证明为直角三角形； （3）由题意可知与、不相切；当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切；当正好与四边形的边相切，由勾股定理得方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解﹒ 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，， ∴， ∵的面积等于， ∴， 解得，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中， 由勾股定理得， ， ∵， ∴ 所以，为直角三角形； （3）解：由题意可知与、不相切； ①如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切； ②当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可得 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）﹒ 综上，当或时，与四边形的一边相切﹒ 3．如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)①见解析；②不成立，；③不成立 【分析】(1)通过平行线性质可得，，又因为，进而得到，根据圆的性质可证明点是弧的中点； (2)根据角度关系可得是等边三角形，从而得到，结合判定四边形是平行四边形，又，进而确定平行四边形是菱形； (3)利用平行线性质可得，又因为，所以，再利用三角形外角性质确定角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】（1）如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）当时，四边形是菱形， 证明如下： 如图，连接，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）证明：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ； ②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 故当在的内部时，①的结论不成立； ③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下： 如图：设与的延长线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 是的直径， ， ， ， ， 综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立． 【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、菱形的判定等知识，有一定的综合性，运用平行线的性质及三角形外角的性质（或三角形内角和定理）是解决本题的关键． 4．如图，在正方形中，点P，点Q分别在边和上，连接交对角线于点E，将正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，点D落在点G处，交于点H． (1)求证：； (2)求证：A，E，H三点共线； (3)设正方形的面积为，面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． （1）作，交于点W，结合正方形及折叠性质证明，即可证明结论； （2）作于点W，连接，设交于点，先证明，再证明，证明点A、B、F、共圆即可证明结论； （3）作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V，设，则，求出及，当A、O、V共线时a最小，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如下图，作，交于点W， ∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如下图，作于点W，设交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点A、B、F、共圆， ， 点在上，即点E与点重合， ∴A，E，H三点共线； （3）解：如下图，作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V， 设， 则正方形的面积为， ， ， ， ， ， ，即a最小值为，此时A、O、V共线， ， ∴的最小值为． 5．四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，，根据圆的性质可知，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用平行线的性质可知、，等量代换可证结论成立； 连接，，，，，设与交于点，连接，根据切线的性质可证，因为为弦切角，可证，根据圆周角定理可证，利用勾股定理可以求出圆的半径为，在中利用勾股定理求出，，在矩形中可以求出，在中，可以求出. 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ， ． 四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作于点， ，， ． ，， ， ． ， ． ． 即平分； （3）解：如下图所示，连接，，，，，设与交于点，连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， 为弦切角， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由可知平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即圆的半径为， ， ， ， 过点作于点， 则四边形为矩形． ，． ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相等的角，利用角之间的关系找边之间的关系． 6．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【答案】(1)或或或（写一个即可）； (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据幸福四边形的定义分情况讨论，将表示为，列式求解即可； （2）根据条件证明，由幸福四边形的定义即可证明结论； （3）①连接，由幸福四边形的性质，证明，由圆周角定理的推论证明结论； ②过E作于点H，在中由勾股定理求出的长． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形； （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 7．【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 【答案】（1） （2）见解析. （3）的最小值. （4）长的范围是 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围． （1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值． （2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q． （3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径． （4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为． 【详解】（1）分别为的圆心角和圆周角， ∴ 所在的圆的半径长 当点P在的中垂线上时，面积的最大， 延长交于点G，则，在等腰中，， 则 ∴ 则面积的最大值 故答案为：． （2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q； （3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，， ∴ ∴ ∴，而圆的半径为4， 则的最小值． （4）∵的面积 ∴而则， ∴ 则 即若的面积的最小值为 则长的范围是． 8．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 9．如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵ ， ， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 10．【问题提出】 （1）如图①，在中，，是上任意一点，若的半径为2，点到的距离为5，则面积的最小值为______； 【问题解决】 （2）如图②，四边形是一块平行四边形空地，经测量，， ．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）9；（2）存在， 【分析】（1）先结合垂线段最短以及三角形的三边关系分析得，得面积的最小值，结合的半径为2，点到的距离为5，得，即可作答． （2）根据平行四边形的性质得，，因为，则是定值，，故点的轨迹在以为弦，圆周角的上部分的上部分，当时，的值最小，此时的面积最小，运用垂径定理以及勾股定理算出，，再证明四边形是矩形，得出，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：（1）过点作交于一点，即，再连接，过点作，再连接，如图所示： 在中，， 当三点共线时，则， 即点运动到点时，此时与点重合， ∴ 故面积的最小值， ∵的半径为2，点到的距离为5， ∴， 则面积的最小值， 故答案为：9； （2）存在，理由如下 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， ， 是定值，， 点的轨迹在以为弦，圆周角的上部分的上部分， 如图所示，作的外接圆，点轨迹是（不包括，）， 连接，，，作于，交于，于 当点运动到时，则，且此时最小，此时的面积最小， ∵四边形是一块平行四边形空地， ∴ ∴当时，的值最小， 由题意，， ， ∴， ∴， ， ∴,， 过点作， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， 则 ∴ ， 的面积的最小值． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂径定理，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，矩形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11.如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质及判定，求动点的运动轨迹等动态几何问题，综合性强，难度较大，能正确作出辅助线并结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 12．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)5． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得，，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正方形的判定方法得菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形内接于， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）证明：连接， 由（）得， ， ， ， 是的直径， ，，三点共线； （3）解：连接，，过点作于点， 由（1）得， ， ， ． ， ，， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，， ，． 点、、、在上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ， 是的直径， ， 的半径是． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等．掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 题型2 四点共圆综合（共3小题） 1．如图，在边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），将绕点顺时针旋转到，连接、，延长，与（或延长线）交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)延长，与（或延长线）交于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】根据旋转的性质可知，，根据正方形的性质可知，根据等角的相等可证，根据可证得； 过点作于点，因为，由正方形的性质可得：，根据，可求，由勾股定理求出的长，由等腰直角三角形的性质可得，在等腰直角三角形中，用勾股定理即可求出的长度； 当在边上时，过作，则，可证，得，由、、、四点共圆，得，所以是等腰直角三角形，可证结论成立，当在的延长线上时，同理可得结论． 【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中，， ； （2）解：如下图所示，过点作于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）证明：如下图所示， 当在边上时，过作，则， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 、、、四点共圆， 连接， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当在的延长线上时，过作，则， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 、、、四点共圆， 连接， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】(1)，圆内接四边形对角互补 (2)见解析； (3)32 (4)点经过的路径为． 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； （2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； （3）解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； （4）解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】(1)28； (2)存在，； (3)当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； （3）解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型3 圆与平面直角坐标综合（共4小题） 1．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相切，理由见解析；（4） 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1），，， 在中，， ∴， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接，则线段中点为， 以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示： （3）与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， ∴， 化简得：， 同理可得：． ∴m、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为的与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D、E，直线（b为常数）交坐标轴于A、B两点． (1)如图1，若直线与有两个交点F、G，则的度数为           ． (2)如图2，若，点P在直线上移动，过P点作的两条切线，切点分别为M，N，若，求点P的坐标； (3)点P为直线上一点，过P点作的两条切线，切点分别为M、N，若存在点P，使得，直接写出b的取值范围                      ． 【答案】(1) (2)点P的坐标（1，5），（5，1） (3) 【分析】题目主要考查圆周角定理，一次函数的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的判别式等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆周角定理，可得的度数； （2）根据直线上的点满足函数解析式，可得P点坐标，根据正方形的判定与性质，可得的关系，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标； （3）根据切线的性质，可得的度数，根据直角三角形的性质，可得的长，根据勾股定理，可得关于m的一元二次方程，根据根的判别式，可得答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 根据题意得：， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∵点P为直线上移动， ∴设， 连接，如图所示： ∵过P点作的两条切线，切点分别M，N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴即， 解得：， ∴或1， ∴点P的坐标或； （3）解：∵点P为直线上一点， ∴设， 连接，如图所示： 同理得：， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴即， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的交轴的正半轴于点，与轴交于点，，小明同学用手中的三角板进行了如下的实验操作． (1)如图1，将三角板的斜边放置于轴上，当点与点重合时，与交于另一点，求的长； (2)将图-1中摆放的三角板的顶点在上顺时针滑动． ①如图2，当点也落在上，且轴时，交轴于点，求点到的距离； ②如图3，若直角顶点恰好落在轴的正半轴上，此时边与相切于点，求点的坐标； ③若直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，且，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①3；②；③或3 【分析】（1）连接，求出圆心角，根据弧长公式计算即可； （2）①根据垂径定理得到．再由勾股定理即可求出答案；②连接，过点作于点，证明四边形为矩形，则．得到，勾股定理求出，，即可得到答案；③分点在点的上方和在点的下方两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：连接，则， 的长为； （2）①轴，且轴，轴互相垂直， ， ∴． 连接， 由勾股定理可得， 点到的距离为3； ②连接，过点作于点，如图． 边与相切于点， ． ，， 四边形为矩形， ． ， ， ， ， ； ③当点在点的上方时，如图，过点作于点，连接． ， 为的直径， 经过点，． ． ， ，． ， ， ， ； 当点在点的下方时，如图． 过点作于点，连接， 同理可得，， ． ， ， ， 点，重合， 综上可知，的长为或3． 【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的性质、弧长公式、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握圆的相关定理和添加合适的辅助线是解题的关键． 4．【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 【答案】（1）点P的坐标为或； （2）线段满足的数量关系为；x，y满足的函数关系式为 （3）当点落在的边上时，的长度为2或4． 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，点的坐标的特征和矩形的判定与性质解答即可； （2）利用勾股定理得到，利用点的坐标的特征得到，，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理化简运算即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点落在的边上时，利用圆的切线的性质定理和正方形的判定与性质解答即可；当点落在的边上时，利用对称性和圆周角定理求得，，再利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）当时， ∵， ∴， ∵与x轴相切，切点为点B， ∴轴， ∴轴， ∴点P到x轴，y轴的距离为1， ∴点P的坐标为或， ∴当1时，点P的坐标为或； （2）∵， ∴， ∴线段满足的数量关系为：． ∵圆心P的坐标为， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴x，y满足的函数关系式为； （3）①当点落在的边上时，如图， ∵点A关于直线的对称点， ∴， ∴点重合，即与y轴相切， 连接，四边形为正方形， ∴， ∴； ②当点落在的边上时，如图，连接， ∵点，点A关于直线的对称，点落在的边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当点落在的边上时，的长度为2或4． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质，点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 题型3 圆与一次函数综合（共3小题） 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． (1)已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_______，_______； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； (2)如图2，点的坐标为，以为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点关于点的“伴随点”的个数以及的纵坐标对应的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为1个时，或；当“伴随点”的个数为2个时， 【分析】（1）①作轴于点，通过证明得到，，再根据点的坐标分2种情况讨论即可求解；②由①中的结论得到，，再结合图形以及点的坐标列出关于的方程组，消去整理得到与之间的关系，即可得出结论； （2）同理（1）可得，点的运动路径所对应的函数表达式为，先求出直线与相切时对应的值，观察图象，再利用直线与圆的位置关系即可解答． 【详解】（1）解：①作轴于点，则， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当，时， ，， ∴， ∴； 当，时， ，， ∴， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： 由①得，，， 又∵，，， ∴， ∴，即， ∴点的运动路径所对应的函数表达式为； （2）解：设点是点关于点的“伴随点”， ∵点的坐标为，且， ∴同理（1）可得，点的运动路径所对应的函数表达式为， 设直线与轴、轴分别交于点、， 令，则；令，则，解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 当直线与相切时，“伴随点”的个数为1个， 设切点为，过点作轴交直线于点，则，， ∴是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， 令，则，解得， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， 解得或， ∴当“伴随点”的个数为1个时，或； 由图象得，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，时； ∴综上所述，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为1个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，． 【点睛】本题考查旋转的性质、一次函数与几何综合、直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是探究点的运动路径，题目比较难，属于中考压轴题． 2.【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连，根据切线的性质，得方程，化简即可得到答案； （3）过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，过点作，延长与交于点，求得直线的表达式为；再计算得；可证，即，可得，根据，得横坐标为 ，设直线的表达式为：过点，代入即可求得纵坐标，即为所求坐标. 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）如图；连， ∵为切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 整理得：． （3）如图，过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，作点作延长与交于点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为：； 解得：， ∴直线的表达式为 ； ∴， ∴在， ∴， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴即， 则， 在中，， 过点 作轴于点， ∵ ， ∴，解得：； ∴横坐标为 ； ∵，设直线的表达式为：过点， ∴， 将横坐标为 代入得 ， ∴， 即. 【点睛】本题考查了新定义两点间的距离公式，一次函数，三角函数，勾股定理，相似三角形，圆的综合，辅助线的画法等以及对各个知识点的综合运用，题目难度较大，熟练掌握各个知识点时解题的关键. 3．在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)； 【分析】（1）①由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内．先将关于直线l对称得到，则，由图可知点，，都在上，最小为2，最大为4，故符合定义的点为，； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，所以，，所以，，设，由两点间距离公式可得方程，解之即可得Q点坐标； （2）如图3所示，作关于过的动直线l对称的，即的圆心在以为圆心、2为半径的上，则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，根据在转动过程中，会经过点Q，结合图形，分别得出和的取值范围即可． 【详解】（1）解：由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内； ①如图1所示，将关于直线l对称得到，则， ∵点P是点Q关于直线与的“反射极值点”， 则点P必在上，且的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值， ∵，，都在上，最小为2，最大为4， 故符合定义的点为，， 故答案为：；； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示， 则由定义可知，为点Q关于直线与的“反射极大值点”N的距离， 为点Q关于直线与的“反射极小值点”的距离， 所以，， 所以，， 设，由两点间距离公式可得：， 解得或4， 故或， 故答案为：或； （2）解：如图3所示，作关于过的动直线l对称的对称， 即的圆心在以为圆心、2为半径的上， 则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点， ∵，， ∴， ∴的最大值为：，最小值为：， ∴的取值范围为：； ∵在转动过程中，会经过点Q， ∴的最小值为0， 最大值为：， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题是一道为圆为背景的新定义型综合题，考查了轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理，点圆最值，其本质还是点圆最值，熟练掌握以上内容并理解新定义下的本质是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于弦的中点的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“阳光点”． (1)如图，点． ①在点中，点 是弦的“阳光点”，其中 ； ②若直线上一点是弦的“阳光点”，则b的取值范围是 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“阳光点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，确认对称点的轨迹是本题解题的关键． （1）①设点坐标，得出其横、纵坐标的不等式，以此判断哪个点是弦的“阳光点”，再根据改点的坐标求出即可； ②设点坐标，从而得到坐标，可以得到所在直线，根据对称的性质可得，由圆周角定理可得，在优弧上，所以当所在直线与优弧有交点时，是弦的“阳光点”成立，据此求出的取值范围即可； （2）作直线关于原点的对称直线，连接延长交对称直线于，取中点，连接，，根据，且不在圆外，可以得到，从而可以求得的取值范围，在根据三角形中位线定理，可以得到的取值范围，从而得到的轨迹，根据两圆有交点的条件求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， 是中点， ， 和关于对称， ， 不在外， ， ， ，， 点是弦的“阳光点”， ， ； 故答案为：，； ②设，则， 在直线上， ， ， 在优弧上， 设直线与轴交于点，则，如图： 连接，当直线与相切时，取最值，即取最值， ， ， ， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：作直线l：，连接并延长，交直线于点，取中点，连接，，如图： 在直线上， ， ， ， ； ， 在以为圆心，为半径的圆内， 两条直线平行， ， ， 且， 在以为圆心，1为半径的圆内， 当与有交点时，点存在， ， 与关于原点对称， ， 与有交点， ， 即， 解得： 题型4 圆与其他综合（共10小题） 1．某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后，它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，则的长为____________； (2)如图2，当时，连接，求点C到桌面的距离； (3)当或垂直于时，“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2-图3）的过程中，圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)点C到桌面的距离为 (3)圆心O移动的距离为 【分析】（1）连接利用等边三角形的性质，平行线的性质，切线的性质得到在同一直线上，再求出的长，利用圆的性质得到的长，即可求解； （2）过点C作于点H，作于点K．证明四边形为矩形，即可求得点C到桌面的距离； （3）利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接． 半圆与相切于点，点与点重合， ． 是等边三角形， ． ， ． 点在同一直线上． 直径， ． ． 的长为． （2）∵半圆O与相切于点． ， ． ∵半圆O的中点为， ． 如解图，过点C作于点H，作于点K． 由题意知，， ， ． ， ∴四边形为矩形， ． ∴点C到桌面的距离为． （3）解： ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心O到桌面的距离总等于半圆O的半径， ∴从滚动到的过程中，圆心O移动的距离为长度的2倍．由（2）知，， ∴圆心O移动的距离为． 圆心O移动的距离为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形性质，平行线性质，解直角三角形，弧长公式，矩形的性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮 【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系． ［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可； （2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用； ［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速． 【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个， ∵ ∴， 故答案为：，，； （2）从动轮的转速为（圈/分钟）， “惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致， ∴从动轮的转速为每分钟160圈； ［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮． 3．【认清概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1线段组成折线段，若点P在折线段上，，则称点P是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，A为圆上的点，为直角，点B是折线段的中点．若，则 ； （2）如图3，中，，D是上一点，，垂足为H．求证：点H是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，A，P，B，C是上的四个点，，求的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了圆的综合知识，掌握“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键． （1）由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案； （2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论； （3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值． 【详解】解：（1），，为直角， ， ， 点是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）如图，延长到使，连接、， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是折线段的中点； （3）如图，作于点， 由（2）可知为折线段中点，即， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 4．如图1，的高，交于点，延长交外接圆于点，连接．    (1)求证：； (2)如图，连接，，若平分，求的值； (3)在（2）的条件下，如图，延长交于点，连接，，若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据圆周角定理可证，从而可得，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立； 过点作，，延长交于点，连接，可证四边形是正方形，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可知，利用圆周角定理可知，从而可证是等腰直角三角形，所以可知，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，可得，可得：； 过点作，连接，可得和是等腰直角三角形，从而可得：，所以可得点、、在以点为圆心的圆上，所以有，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证是的垂直平分线，所以可得是等腰直角三角形且，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的高， ， ， 是的高， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ； （2）解：如下图所示，过点作，，延长交于点，连接， ， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 即；    （3）解：如下图所示，过点作，连接， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， ， ， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ．    【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【详解】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 6．问题呈现 在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接得到且，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 【独立思考】（1）如图①，当的延长线经过点B时，求证：是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点作交正方形的对角线于点M，且经过边的中点N，判断与的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得． ①在图②中，求的长； ②绕点A旋转的过程中，直接写出点到的最大距离． 【答案】（1）证明见解答；（2）．证明见解答；（3）①的长为； ②点到的最大距离为． 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，根据旋转的性质可得 ，进而可证得，即可证得结论； （2）如图（2），过点作于点于点，过点作于点，利用正方形性质可证得，得出．由，可得．根据、、三点共线，可得在边上的高与在边上的高相等，即可推出结论； （3）①在中，运用勾股定理得，可得．在 中，运用勾股定理得．再由，即可求得答案； ②如图（3），过点作于点，当点、、三点共线时，点到的距离有最大值，运用等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 如图（1），设与交于点， 则， ， ， ， ∴是直角三角形； （2）解：． 理由如下：如图（2），过点作于点于点，过点作于点． ∵， ∴， 由（1）得． ∵交正方形的对角线于点， ， ∴是的平分线， ， ， ∵点是的中点， ， ∵， ， ， 在中，， ， ， 又 ∵， ， ∵、、三点共线， ∴在边上的高与在边上的高相等， ； （3）解：①如图（2）， ∵， 由（2）得， ． 在中，， ∴． 在中，． 由（2）得． ∴， ∴， 即的长为； ②点到的最大距离为． 解：如图（3），过点作于点，当点、、三点共线时，点到的距离有最大值， 由①得，又， ∴， ∴点到的距离有最大值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质等知识，由旋转得出点的运动路径是圆是解题的关键． 7．综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【分析】探究发现：图形面积分割法得出 ，根据得出； 实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：探究发现：∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中，． ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 8．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①由圆周角定理得，等量代换得，然后根据即可证明； ②由圆周角定理得，在中，求出， 在中求出，由面积法求出，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）取的中点G，连结，根据证明得，设，，求出，进而可证结论成立． 【详解】（1）①证明：∵， ， ∵， 在和中， ； ②解：连结， 为直径， ， ， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，； （2）解：取的中点G，连结， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键． 9．【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，点是外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 【答案】[问题呈现]35；[问题解决] ；[问题拓展] 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： [问题呈现]判断点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可； [问题解决]根据直角三角形斜边上的中线性质求出，则可判断点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上，证明是等边三角形，得出，然后根据圆周角定理求解即可； [问题拓展] 过C作于G，过A作于N，过D作于M，在和中，根据勾股定理可得出，求出，进而求出，可证明四边形、都是矩形，，，在中，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：[问题呈现] 如图， ∵， ∴点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， 故答案为：35； [问题解决] 如图，连接， ∵，，点O是的中点， ∴， 又， ∴点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； [问题拓展] 如图，过C作于G，过A作于N，过D作于M， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 10．如图，为等边三角形，在过点的射线上取一点，连接． (1)如图1，若且，交于点，，求的长； (2)如图2，若，过点作于点，证明：； (3)如图3，若且．当取最小值时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用，，求得，结合为等边三角形，得出，得出，，在中利用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）在上截取，连接，，过点作于点，利用线段的垂直平分线的性质得出，，设，得出，通过结合导角可推出，则是底角为的等腰三角形，易得，即可证明； （3）已知，，利用定角定弦可得点的轨迹为以为直径的固定圆，利用点到圆上点的距离可得当、、依次共线时取最小值，过点作延长线于点，证明，求出，，证明是等腰直角三角形，即可求出和，利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 则； （2）解：如图，在上截取，连接，，过点作于点， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，作的外接圆， 由， ∴是的直径， ∵， ∴点的轨迹为以为直径的固定圆， 利用点到圆上点的距离可得当、、依次共线时取最小值，此时如图，过点作延长线于点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵把线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理的推论，点和圆的位置关系，三角形内角和定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 44 / 95 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $