专题04 切线的证明及阴影部分的有关计算（高效培优期中专项训练）数学苏科版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04切线的证明及阴影部分的有关计算 考点归纳 考点01切线的证明一有切点，连半径，证垂直 考点02切线的证明一无切点，作垂直，证半径 考点03阴影部分面积的计算 考点04阴影部分周长的计算 考点05阴影部分中的最值问题 考点专练 考点01切线的证明一有切点，连半径，证垂直 1.如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D,延长AO交⊙0于E,连 接CD,CE,若CE是OO的切线， A D B (I)求证：CD是⊙0的切线： (2)若BC=3,OC=4,求平行四边形OABC的面积. 2.如图，己知OO经过平行四边形ABCD的顶点A,B及对角线的交点M,交AD于点E且圆心O在AD边 上，∠BCD=45°. B (1)求证：BC为O0的切线： 2)连接ME,若ME=V3-1,求⊙0的半径. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，在ABC中，AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,交 CA的延长线于点F. (1)求证：DF是OO的切线； (2)若∠C=30°，EF=V3,求EB的长. 4.如图，AB是OO的直径，四边形ABCD内接于OO,D是AC的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E. (1)求证：DE是OO的切线； (2)若AB=12,BC=8,求EC的长 5.如图所示，AB=AC,AB为O0的直径，AC、BC分别交O0于E、D,连结ED、BE. 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由； (2)过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证：DF是OO的切线. 6.如图，AB是⊙0的直径，C为O0上一点，P为O0外一点，0P∥AC,且L0BP=90°，连接PC. A B (1)求证：PC与O0相切； (2)若A0=3,0P=5,求AC的长. 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作OO交AB于点D,DE=EC,连接DE并延长交 AC的延长线于点F. B D (1)求证：DE是OO的切线； (2)若CF=2,DF=4,求⊙0直径的长. 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点02切线的证明一无切点，作垂直，证半径 8.如图，AO是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，以点O为圆心，OC为半径画圆，过点B作AO的垂 线，交AO的延长线于点D.求证：AB是⊙O的切线. B C 9.如图，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙0于点E,⊙0与 AC相切于点D. B (I)求证：BC是O0的切线； (2)延长C0交O0于点G,连接AG交00于点F,若AC=4√2，求FG的长. 10.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，BC与以O为圆心，OA长为半径的O0相切于点M. 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B M (1)求证：CD与⊙0相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙0的半径. 11.如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C,过点A作 AD⊥BO交BO的延长线于点D,且LAOD=LBAD, B C (1)求证：AB为O0的切线； (②)若BC=6AC=4 BC3,求AD的长 12.如图，ABC中，LABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,以点D为圆心，BD为半径作QD交 AB于点E. A D B 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：OD与AC相切； (2)若AC=10,BC=6,试求AE的长. 13.在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=∠D=90°，E为AD中点，连接BE、CE,且BE⊥CE. B (I)直接写出AB、CD、BC三条线段之间的数量关系. (②)以点E为圆心，EA长度为半径画圆，判断BC与⊙E是否相切，并说明理由. (3)若AD=6,设AB=x,DC=y,利用(2)的结论，求y与x的函数关系式. 考点03阴影部分面积的计算 14.如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积 为() D A.12π B.6π C.108元 D.10.8π 15.如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心 都为点O,那么阴影部分的面积为() 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A.π B.2π D.2π-2 16.如图，有一圆形纸片，其圆心为O,弦BC∥AD,将纸片沿BC,AD折叠交于点O,若O0的半径为 1,则图中阴影部分的面积为() A.2π5 B.25 32 32π a D.2π+5 3+2 17.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，分别以点A,D为圆心，以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形 DCE,则图中阴影部分的面积是一；阴影部分的周长为】 D 18,如图，AB是O0的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E, E D B (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若AD=2CE,0A=3,求阴影部分的面积. 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.如图，BE是O0的直径，点C是⊙0上的一点，点F是EC的中点，连接FO并延长至点D,交⊙0于 点A,连接BD,∠D=∠E. D (1)证明：DB为OO的切线； (2)若∠D=30°，AF=6. ①求BF的长； ②求阴影部分的面积. 考点04阴影部分周长的计算 20.扇文化有着丰富的文化底蕴，一把折扇的尺寸是指扇骨大边的长度，扇肩在折扇上板和下板分界的位置. 清代至民国期间最流行的是一种扇肩五五开（九寸约为30cm)的折扇，九寸折扇打开的角度为140度，则 山水画的面积为」 cm2,扇面的周长为 cm. 上板 下板 扇骨大边 扇肩 21.如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，E是BC的中点，连接OD,OE,若OA=2√5，则图中 两个阴影部分的周长和为」 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C A B 22.如图，在口ABCD中，∠D=120°，CD=2,以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E,以点B 为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F,则阴影部分图形的周长为（结果保留刀） B 23.如图所示，在扇形A0B中，∠A0B=90°，半径0A=6,点F位于弧AB的处且靠近点A的位置，点 31 C、D分别在线段OA,OB上，CD=6,E为CD的中点，连接EF,BE,在CD滑动过程中(CD长度始 终保持不变)，当EF取最小值时，阴影部分的周长为 D 24.如图，圆心角为135°的扇形减去直径为12厘米的半圆，求阴影部分的周长和面积（结果保留刀）. 12厘米 25.如图，六边形ABCDEF是⊙0的内接正六边形，连接OA,OB. D B 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)填空：∠A0B的度数为 (2)若正六边形ABCDEF的边心距为2√3，求图中阴影部分的周长. 考点05阴影部分中的最值问题 26.如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB=80°，OP平分∠AOB交AB于点P,点C是半径OB上一 动点，则阴影部分周长的最小值为() B A.22+5r 6 B.23+4n c22+8 D.2V3+2 27.如图，点C为扇形的弧AB上一个动点，连接AC、BC,若0B=4,LA0B=60°，则阴影部分面积的 最小值为() B.-46 c- D.5-46 28.如图，在Rt△ABC中，∠A=30,BC=2V5,点0为AC上一点，以0为圆心，OC长为半径的圆与 AB相切于点D,交AC于另一点E,点F为优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 B 29.如图，半圆O的直径AB=3,AC=3BC,E是BC上一个动点，弦DE∥AB,OF⊥AB,交DE于点 F.OH=EF,则图中阴影部分周长的最大值为一· 10/11品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04切线的证明及阴影部分的有关计算 考点归纳 考点01切线的证明一有切点，连半径，证垂直 考点02切线的证明一无切点，作垂直，证半径 考点03阴影部分面积的计算 考点04阴影部分周长的计算 考点05阴影部分中的最值问题 考点专练 考点01切线的证明一有切点，连半径，证垂直 1.如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D,延长AO交⊙0于E,连 接CD,CE,若CE是⊙O的切线， A D B (1)求证：CD是O0的切线： (2)若BC=3,OC=4,求平行四边形0ABC的面积. 【答案】()见解析 (2)3√7 【详解】(1)解：~CE是00的切线， ∠0EC=90°， 连接OD,如图， A D B ~四边形OABC是平行四边形， OC∥AB, ·∠EOC=∠A,∠COD=∠ODA, 1/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ×0D=0A, ∠A=∠ODA, .∠E0C=∠DOC, 在△EOC和△D0C中， OE=OD w∠EOC=∠DOC, OC=OC .△E0C≌△D0C(SAS ∠0DC=∠0EC=90°， .OD⊥CD, “CD是OO的切线： (2)解：过D作DF⊥OC于F,如图2， E A D B ~四边形OABC是平行四边形， 0A=BC=3, 由(1)得OD⊥CD 在Rt△CD0中，0C=4,OD=OA=3, CD=V0C2-0D2=√万， xCDxOD-5.xCxDF. ∴DF=CD0D3V万 oc 4 平行四边形0ABC的面积=OC×DF=4x3V =3V7. 4 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确 掌握相关性质内容是解题的关键。 2.如图，已知OO经过平行四边形ABCD的顶点A,B及对角线的交点M,交AD于点E且圆心O在AD边 上，∠BCD=45°. 2/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 E B C (1)求证：BC为O0的切线： (②)连接ME,若ME=√3-1，求O0的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)√2 【详解】(1)证明：连接OB, B 四边形ABCD是平行四边形， ∠BAD=∠BCD=45°，AD∥BC, .∠B0D=2∠BAD=90°， AD∥BC, .∠D0B+∠0BC=180°， ∠0BC=90°， 0B⊥BC, OB是⊙0的半径， BC为O0切线； (2)解：连接OM,连接EM,过M作MF⊥AE于F,则∠OFM=90°， 四边形ABCD是平行四边形， 六BM=DM, ×∠B0D=90°， ∴.0M=BM, 0B=OM ∴OB=OM=BM, “△OBM是等边三角形， ∠0BM=60°， ∠ADB=90°-60°=30°， OM DM .∠MOF=∠MDF=30°， 3/37 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设0M=OE=r,则FM=OM=, ∴EF=OE-OF=r EF2+FM2=ME2, j-- 解得r=√2， “00的半径为√2 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角 形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键， 3.如图，在ABC中，AB=AC,以AC为直径作OO交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,交 CA的延长线于点F. (1)求证：DF是OO的切线： (2)若LC=30°，EF=V3,求EB的长. 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】(1)证明：连接OD,如图， D :AC为O0的直径， B E ∠ADC=90°， 又：AB=AC, :ZB ZC .C0=0D, 4/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠C=∠CD0, ∠CD0=∠B, .OD∥AB, :DE⊥AB, .OD⊥DF, 又：0D为00的半径， DF是O0的切线： (2)解：：∠C=30°， .∠A0D=60°， 在Rt△ODF中，∠0DF=90°， ∠F=30°， ∴.OD=-OF, 2 :AF=0A=OD, 在RtaAEF中，∠AEF=90°， EF=3, ·AE= EF=1, 3 ∴.AF=2AE=2, .AC=20A=4, :AB=AC=4, .BE=AB-AE=4-1=3. 4.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于O⊙O,D是AC的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E. (I)求证：DE是O0的切线； (2)若AB=12,BC=8,求EC的长. 【答案】()证明见解析 (2)2 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 5/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B “D是AC的中点， ·AD=CD, ∠ABD=∠CBD, 0B=0D, ∠ODB=∠ABD, LODB=∠CBD, OD∥BE, DE⊥BC, OD⊥DE, 又OD是⊙0的半径， DE是OO的切线. (2)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F, E D B “D是AC的中点， ·AD=CD, ∴.∠ABD=∠CBD,AD=CD, ·DB平分∠ABC, DE⊥BC,DF⊥AB, DE DF, 在Rt△BDF和Rt△BDE中， BD=BD DF=DE RtABDF≌RtABDE(HL), 6/37 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.BF =BE, 在RtAADF和Rt△CDE中， AD=CD DF=DE ∴RtAADF≌RtACDE(HL, .AF=EC, 设EC=AF=x, BC=8, BE=BC+EC=8+x, ..BF=8+x, AF +BF=AB=12, x+8+x=12, x=2, EC的长为2. 5.如图所示，AB=AC,AB为OO的直径，AC、BC分别交OO于E、D,连结ED、BE. (I)试判断DE与BD是否相等，并说明理由； (2)过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证：DF是⊙O的切线. 【答案】(1)相等，见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：DE=BD,理由如下： 证明：连接AD, A D B AB为OO的直径， AD⊥BC, AB=AC, .∠CAD=∠BAD, 7/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ED BD, .DE BD (2)证明：连接OD, D DF⊥AC, ∠DFA=90°， ~AB是直径， ∠AEB=90°， ·∠AEB=∠DFA, BE∥DF, 由(1)得ED=BD· ~D0为半径， ∴OD⊥BE, 0D⊥DF, ∴DF是⊙O的切线： 6.如图，AB是⊙0的直径，C为O0上一点，P为O0外一点，OP∥AC,且∠0BP=90°，连接PC. B (1)求证：PC与O0相切； (2)若A0=3,0P=5,求AC的长 【答案】（①）见解析 哈 【详解】(1)证明：如图，连接OC, A P:0C=0A, B 8/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠0AC=L0CA, :OP∥AC, ·∠OAC=LB0P,∠OCA=∠C0P, :∠COP=∠BOP, 在△COP和△B0P中， OC=OB ∠COP=∠BOP OP=OP :aCOP≌△BOP(SAS), ·∠0CP=L0BP=90°， :0C⊥PC, :PC与00相切： (2)解：如图，连接BC交OP于点D, A P:AC0P≌aBOP, ·PC=PB,OB=OC, ·OP垂直平分BC, :A0=B0=3,0P=5,∠0BP=90°， :BP=V0P2-0B2=V52-32=4, S.o=10B-BP=1OP.BD, 2 :BD=OB:BP_3×412 OP 55 24 BC=2BD= :AB是OO的直径， AB=20A=6,∠ACB=90°， :AC=AB2-BC2 【点晴】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等， 正确作出辅助线是解题的关键 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作OO交AB于点D,DE=EC,连接DE并延长交 9/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC的延长线于点F. B D (1)求证：DE是O0的切线； (2)若CF=2,DF=4,求⊙0直径的长. 【答案】（①证明见解析 (2)6 【详解】(1)证明：如图，连接OD,CD, :DE=EC, ∴.∠CDE=∠DCE, :0D=0C, .∠0DC=∠0CD, :∠ACB=90°， :.∠OCD+∠DCE=90°， ∠0DC+∠CDE=90°， 即OD⊥DE, DE是⊙O的切线： D (2)解：设⊙O的半径为r,则OF=r+2, :∠0DF=90°， ∴.OD2+DF2=OF2, 即r2+42=(r+22, 解得：r=3, 00的直径为6. 考点02切线的证明一无切点，作垂直，证半径 8.如图，AO是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，以点O为圆心，OC为半径画圆，过点B作AO的垂 线，交AO的延长线于点D.求证：AB是⊙O的切线 10/37