精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三适应性测试（五）数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（五） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 3. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可. 【详解】因为向量，所以. 所以向量在向量上的投影向量为： . 所以，解得. 故选：B. 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程求出公比，然后可解. 【详解】设等比数列的公比为，， 依题意，，， 即，∴，， 解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A 5. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解． 【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次， 基本事件总数， 记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件包含的基本事件有9个，分别为： ，，，，，，，，， ， ，事件、是相互独立事件，故正确； 事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误； ，故正确； 包包含的基本事件有9个，分别为： ，，，，，，，，， ．故错误． 故选：． 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断D． 【详解】正方体中由平面，平面，可得， 又，是平面内两相交直线，从而得平面， 平面，因此有， 同理，， ∴平面，又平面，∴平面平面，A正确； 正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面， ∴平面，同理平面，，都在平面内， ∴平面平面，平面，∴平面，B正确； 与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角为，C错误； 由 B选项，知平面，∴到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，D正确． 故选：ABD． 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的方法即可求函数的单调递增区间，注意函数的定义域. 【详解】由对数函数的定义域可得，解得或， 由于是单调递增函数，所以要求的递增区间， 只需求二次函数的递增区间即可， 由二次函数的性质可得的递增区间为， 结合函数定义域可得的递增区间为， 故答案为：. 13. 一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析蚂蚱跳动4次后染色的点数，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的可能取值为， 表示蚂蚱在或者之间来回跳动， 则； 表示蚂蚱由向右最远跳到， 可以为“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共种， 由对称性知由向左最远跳到，也有种， 由向左最远跳到，最右跳到，可能为“左右右左”，“右左左右”有种， 故一共有种， 则； 表示蚂蚱跳动为“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共种， 则； 表示蚂蚱跳动为“右右右右”，“左左左左”，共种， 则； 则， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是开始在处也是一个点，因为不能原地跳动，因此的最小值为. 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知变形为，用两角和（差）的正弦公式得到，进而得到与的关系，代入用基本不等式即可求最小值. 【详解】， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵为锐角，∴ ∴ , 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题关键是化“弦”为“切”，通过代入减元运用基本不等式求和的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 得，所以， 由，得. 【小问2详解】 如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推关系，利用作差法构造等比数列，进而求解； （2）结合（1）的结论得到，然后利用错位相减法得到，然后根据题意即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， 两式作差得，∴， 当时，，∴， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴，① ，② 两式作差得， 化简得， ∵恒成立，∴，， 当时，； 当时，； 当时，，，所以， 综上所述，． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； 【小问3详解】 由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 19. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）要证， 只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中， 由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切， 所以，即 联立，消去y并整理得， 所以， 从而线段的中点横坐标为 又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为， 所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以， 由题意知，， 所以 ， 即为定值 【解析】 【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可； （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点； （2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（五） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 7. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件 C. D. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是_____________. 13. 一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望________. 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $