专题07 直角三角形章末易错必刷题型专训（54题18个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题07 直角三角形章末易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图 ，点 A 表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可． 【详解】解：点 A 表示的实数是1-． 故答案为C． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点A在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出点A表示的数． 【详解】解：根据题意得：OA=OB=， 则点A在数轴上所表示的数是-， 故答案为：-． 【点睛】此题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中） 在数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是 【答案】见解析 【分析】以1和3为直角边构建直角三角形，再在数轴上截取斜边的长度即可． 【详解】解：在数轴上画出点B表示3，作AB垂直于x轴，截取AB=1，根据勾股定理得，，在数轴上截取OC=OA，点C表示的数就是． 【点睛】本题考查了勾股定理和在数轴上表示无理数，解题关键是树立数形结合思想，通过构建直角三角形，利用斜边长表示无理数． 【易错必刷二 直角三角形的两个锐角互余】 4．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到，解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据直角三角形的两个锐角互余，得到， 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，，若，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海金山·课前预习）如图，，交于点O，与有什么关系？ 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，对顶角的性质，根据已知结合对顶角相等，利用直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 【易错必刷三 用HL证全等（HL）】 7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】（或者） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 9．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 【易错必刷四 斜边的中线等于斜边的一半】 10．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，是的中点， ， 故选：D． 11．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，．若是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，，是的中点， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【易错必刷五 角平分线的性质定理】 13．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，，平分，于F，则面积为（   ） A．15 B． C．27 D．42 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：平分，，， ， ， 故选：B． 14．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 连接，作于点，作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到的距离都相等（即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：连接，作于点，作于点， ∵分别平分和，， ∴， ∵的周长是于，且， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】考查了角平分线的性质和判定．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；如果一条射线是一个角的平分线， 那么在这条射线上任意取一点，过该点分别向角的两边作垂线，这两条垂线段的长度(即点到两边的距离)相等．欲证平分，可考虑证明点到两边距离相等，故过点作于点，于点，于点，证明即可． 【详解】解：证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴， 同理可证：， ∴ 又∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分． 【易错必刷六 以直角三角形三边为边长的图形面积】 16．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为即可． 【详解】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母 所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．那么所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．因为，所以所代表正方形的边长为．故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； 故选：C． 17．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键． 由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直角三角形． 【详解】解：∵，，， ∴且，，， ，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 18．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示的阴影部分是两个正方形，图中还有一个大正方形和两个直角三角形．求两个阴影正方形面积的和． 【答案】64 【分析】题目主要考查勾股定理与正方形面积，结合图形利用勾股定理求解是解题关键． 【详解】解：由勾股定理得：大正方形的面积为， ∵大正方形的面积等于两个阴影正方形面积的和， ∴两个阴影正方形面积的和为64． 【易错必刷七 勾股定理的证明】 19．（2025八年级上·上海松江·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 20．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 21．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【易错必刷八 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级上·宝山·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 是四个全等的直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 23．（25-26八年级上·上海松江·单元测试）新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解． 【详解】解： 由勾股定理可得：， ， …… 可知， ，． 故答案为：． 24．（2025八年级上·上海松江·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）当时，求出大正方形的边长即可求其面积． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 故答案为：； （2）解：当时，大正方形的边长， ∴大正方形的面积． 故答案为：17 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键． 【易错必刷九 用勾股定理解三角形】 25．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是边长为1的正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，顶点A到最远的顶点之间距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先画出图形（见解析），则可得，，再利用勾股定理可得的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，在这个正方体中，，， ∴， ∴， 即折叠成正方体后，顶点到最远的顶点之间距离是， 故选：C． 26．（2025八年级上·上海松江·专题练习）如图，在直角三角形中，斜边的长为，一条直角边的长为，则直角三角形的面积为 ． 【答案】/6平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵斜边的长为，一条直角边的长为， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，先连接，根据题意可知是直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接， 由已知可得，，米，米， ∴， ∴（米）， 答：商场P到超市B的距离为1200米． 【易错必刷十 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 28．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的高，若AB=10cm，AC=6cm，则CD长(      ) A．10 B．4.8 C．5 D．7 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求出直角边BC的长，进而可根据直角三角形面积的不同表示方法求出CD的长． 【详解】Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm， 由勾股定理得：BC= =8cm； 而△ABC的面积S=AC⋅BC=AB⋅CD， ∴CD= =4.8cm. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握计算公式. 29．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个面积为144的正方形中，阴影部分中的小直角三角形的斜边长是 ； 【答案】 【分析】根据正方形的面积和勾股定理求出正方形的对角线长，结合图形可得答案． 【详解】解：设该正方形的边长为a，则， ∴该正方形的对角线长为：， ∴由图形得，阴影部分中的小直角三角形的斜边长是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据正方形的面积和勾股定理求出正方形的对角线长是解题的关键． 30．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 【答案】． 【分析】延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：延长相交于点， 中， 中， 设 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷十一 角平分线的判定定理】 31．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，于点，于点．若，则的度数为（   ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的判定， 先根据角平分线的判定得平分，再根据角平分线的定义解答即可. 【详解】解：∵， ∴平分. ∵， ∴. 故选：B. 32．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】首先根据条件由AAS就可以得出，就有，进而就有，就可以得出，就有，得出点在的平分线上．从而得出答案． 【详解】解：∵于，， ∴． 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时寻找三角形全等的条件是关键． 33．（24-25八年级上·上海松江·课后作业）（1）角平分线上的点到 相等． 如图，点在的平分线上， ， ， ． （2）角的内部到 相等的点在角的平分线上． 如图， ， ， ， 点在的平分线上． 【答案】 角两边的距离 角两边距离 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）本题考查角平分线的性质定理，需要依据该定理，结合图形中线段的垂直关系，填写出角平分线上的点到角两边的距离关系及相应线段． （2）本题考查角平分线的判定定理，要根据定理，结合图形中线段的垂直与相等关系，完成角内部到角两边距离相等的点与角平分线的关联填空． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等． 如图，点在的平分线上，，， ． （2）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 如图，，，， 点在的平分线上． 【易错必刷十二 用勾股定理构造图形解决问题】 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 35．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 【易错必刷十三 判断三边能否构成直角三角形】 37．（25-26八年级上·上海崇明·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和构成三角形的条件，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形； B、，故能组成直角三角形； C、，故不能组成直角三角形； D、，故不能组成直角三角形； 故选：B． 38．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为9，12，15，则三角形零件的面积是 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求三角形的面积， 先说明这个三角形是直角三角形，再根据面积公式得出答案. 【详解】解：因为， 所以这个三角形是直角三角形. 因为， 所以这个三角形的面积. 故答案为：54. 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，，，，，．求：四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴，   ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，     ∴． 【易错必刷十四 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 40．（2025·上海松江·模拟预测）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论． 【详解】 解：分三种情况考虑（如图所示）： 当∠OAB＝90°时，m＝0； 当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5； 当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 综上所述：m的值可以为0，5，1，4． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键． 41．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 42．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【答案】为直角三角形，理由详见解析. 【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可. 【详解】解：如图所示. 如图1，在中， ，， 因为， 所以， 即为直角三角形. 如图2，在中， . 在中，. 在中，. 所以， 所以，即为直角三角形. 【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键. 【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 作于D，如图， 则， ∴； 故选：C.    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，正确判定是直角三角形是关键. 44．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． 45．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 【易错必刷十六 作角平分线(尺规作图)】 46．（2025·上海虹口·模拟预测）图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（   ） A． B． C． D．若连接，则 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 47．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，    由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 48．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，小小家有一块形状为的花田，为了灌溉方便，现计划在边上找一点D，沿修建一条水渠，且保证，请你用尺规作图的方法，帮助小小作出这条水渠．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线； 根据尺规作角平分线的方法作出的角平分线即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【易错必刷十七 勾股定理的实际应用】 49．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【答案】至少要走的路程 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，将图展开，连接， 图形长度增加，原图长度增加，则， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴，负值舍去， 即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 50．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 51．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 【易错必刷十八 勾股定理逆定理的实际应用】 52．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，从帐篷支撑杆的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度为，固定点到帐篷支撑杆底部的距离是．现有一根高为的支撑杆，它能否做帐篷的支撑杆？请说明理由． 【答案】不能做帐篷的支撑杆，理由见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：不能做帐篷的支撑杆， 理由：在中，，， ， ， 不能做帐篷的支撑杆． 53．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出：，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据该饰品部件平面图的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴该饰品部件平面图的面积 ， 答：该饰品部件平面图的面积为． 54．（24-25八年级上·上海静安·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据题意得：这个三角形的三边长分别为，然后再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的三边长分别为 ， ∵ ∴以为边长的三角形是直角三角形，其直角在第4个结处． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直角三角形章末易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图 ，点 A 表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点A在数轴上表示的数是 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中） 在数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是 【易错必刷二 直角三角形的两个锐角互余】 4．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，，若，且，则的度数为 ． 6．（25-26八年级上·上海金山·课前预习）如图，，交于点O，与有什么关系？ 【易错必刷三 用HL证全等（HL）】 7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 9．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【易错必刷四 斜边的中线等于斜边的一半】 10．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 11．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，．若是的中点，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【易错必刷五 角平分线的性质定理】 13．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，，平分，于F，则面积为（   ） A．15 B． C．27 D．42 14．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 15．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 【易错必刷六 以直角三角形三边为边长的图形面积】 16．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 17．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 18．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示的阴影部分是两个正方形，图中还有一个大正方形和两个直角三角形．求两个阴影正方形面积的和． 【易错必刷七 勾股定理的证明】 19．（2025八年级上·上海松江·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 21．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【易错必刷八 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级上·宝山·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 23．（25-26八年级上·上海松江·单元测试）新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为 ． 24．（2025八年级上·上海松江·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【易错必刷九 用勾股定理解三角形】 25．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是边长为1的正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，顶点A到最远的顶点之间距离是（ ） A． B． C． D． 26．（2025八年级上·上海松江·专题练习）如图，在直角三角形中，斜边的长为，一条直角边的长为，则直角三角形的面积为 ． 27．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？ 【易错必刷十 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 28．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的高，若AB=10cm，AC=6cm，则CD长(      ) A．10 B．4.8 C．5 D．7 29．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个面积为144的正方形中，阴影部分中的小直角三角形的斜边长是 ； 30．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 【易错必刷十一 角平分线的判定定理】 31．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，于点，于点．若，则的度数为（   ） A．30° B．35° C．40° D．45° 32．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是 （填序号）． 33．（24-25八年级上·上海松江·课后作业）（1）角平分线上的点到 相等． 如图，点在的平分线上， ， ， ． （2）角的内部到 相等的点在角的平分线上． 如图， ， ， ， 点在的平分线上． 【易错必刷十二 用勾股定理构造图形解决问题】 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 36．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【易错必刷十三 判断三边能否构成直角三角形】 37．（25-26八年级上·上海崇明·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．，， 38．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为9，12，15，则三角形零件的面积是 ． 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，，，，，．求：四边形的面积． 【易错必刷十四 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 40．（2025·上海松江·模拟预测）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 41．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 42．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 44．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ． 45．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【易错必刷十六 作角平分线(尺规作图)】 46．（2025·上海虹口·模拟预测）图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（   ） A． B． C． D．若连接，则 47．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 48．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，小小家有一块形状为的花田，为了灌溉方便，现计划在边上找一点D，沿修建一条水渠，且保证，请你用尺规作图的方法，帮助小小作出这条水渠．（不写作法，保留作图痕迹） 【易错必刷十七 勾股定理的实际应用】 49．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 50．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 51．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【易错必刷十八 勾股定理逆定理的实际应用】 52．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）如图，从帐篷支撑杆的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度为，固定点到帐篷支撑杆底部的距离是．现有一根高为的支撑杆，它能否做帐篷的支撑杆？请说明理由． 53．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出：，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 54．（24-25八年级上·上海静安·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 学科网（北京）股份有限公司 $