专题01 直角三角形重难点题型专训（2个知识点+6大题型+8大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 直角三角形重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+8大拓展训练+自我检测） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 题型四 含30度角的直角三角形 题型五 用HL证全等（HL） 题型六 全等的性质和HL综合（HL） 拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度 拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度 拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积 拓展训练四 根据30度角直角三角形的性质求最值 拓展训练五 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 拓展训练六 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 拓展训练七 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 拓展训练八 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 知识点一：直角三角形的性质定理 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 知识点二：直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 在中，， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【经典例题一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，，是上的高线，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在等腰中，，，分别是的中线和高．若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【经典例题二 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果那么”的形式： ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为 ． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，已知锐角三角形，用尺规作图法在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题三 斜边的中线等于斜边的一半】 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）如图所示，在中，． (1)【实践与操作】用尺规作图法确定的中点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、的长为半径作．求证：点C在上． 【经典例题四 含30度角的直角三角形】 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，，，，，则的面积为 ． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，，沿对折后，点B刚好落在边上的点E处，若，则的长是 ． 4．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，中，是斜边上的高，，，求的长． 【经典例题五 用HL证全等（HL）】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，，能直接根据“”判定，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等． 3．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【经典例题六 全等的性质和HL综合（HL）】 【例6】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 2．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，点，，C，在一条直线上，，，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则边的长 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，， (1)的长 (2)的度数． (3)的度数． (4)是多少？ 【拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，OP平分， ，，于点D，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，交的延长线于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的面积． 【拓展训练四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，把两个大小相同的含角的直角三角尺如图放置，使点、、在同一条直线上，且直角顶点重合，连接，经测得． (1)求的长； (2)连接，求的周长； (3)若点是边上一点，连接，直接写出的最小值． 【拓展训练五 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 【拓展训练六 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 1．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在中，点分别为边的中点，是高．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【拓展训练七 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）在中，，D为斜边上的中点．已知，，则的周长为（   ） A．12 B．9.5 C． D．8 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求度数及的周长． 【拓展训练八 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）在中，斜边上的中线和高分别是6和5，则的面积 ．    3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，． (1)求证：； (2)已知，求的面积． 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 4．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）在中，和是它的两个锐角且，则的度数为 ． 7．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，．若是的中点，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，将绕点A旋转得到，若，则 ． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是 ． 10．（25-26八年级上·上海虹口·课前预习）如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是 ； （2）若，则的依据是 ； （3）若，，则的依据是 ； （4）若，，则的依据是 ； （5）若，，则的依据是 ． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）仅用无刻度直尺及圆规，将分成四个等腰三角形． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 13．（24-25八年级上·上海奉贤·开学考试）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：． 14．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    15．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直角三角形重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+8大拓展训练+自我检测） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 题型四 含30度角的直角三角形 题型五 用HL证全等（HL） 题型六 全等的性质和HL综合（HL） 拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度 拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度 拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积 拓展训练四 根据30度角直角三角形的性质求最值 拓展训练五 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 拓展训练六 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 拓展训练七 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 拓展训练八 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 知识点一：直角三角形的性质定理 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含度角的直角三角形的性质，根据含度角的直角三角形的性质进行求解即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点二：直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 在中，， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是掌握HL判断直角三角形全等的方法. 本题要判定，已知故添加或后可根据判定三角形全等. 【详解】解：若添加. 在和中， 若添加. 在和中， 故答案为：或． 【经典例题一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据一个直角三角形，两个锐角度数的比是，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个直角三角形，两个锐角度数的比是， ∴， 即这个三角形最小的内角是， 故选：B． 1．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，，是上的高线，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余可得，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在等腰中，，，分别是的中线和高．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质， 由直角三角形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，是的中线， ∴平分， ∴， 故答案为． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题二 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果那么”的形式： ． 【答案】如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 【详解】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形， 故答案为：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，直角三角形的判断，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，进而求出，，再进行计算即可． 【详解】解：过点B作交于点F，如图， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，已知锐角三角形，用尺规作图法在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点作于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 理由：， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题三 斜边的中线等于斜边的一半】 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：为边上的高， ， 的周长为24， ， ， 在中，点为的中点， 的周长． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 【详解】在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 3．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中位线定理，斜边上的中线，根据三角形的中位线定理，求出的长，进而求出的长，根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）如图所示，在中，． (1)【实践与操作】用尺规作图法确定的中点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心、的长为半径作．求证：点C在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质， （1）作线段的垂直平分线即可； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半解答即可 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D， 则点D即为所求． （2）证明：连接， 点D为的中点， ， 为直角三角形的斜边上的中线， ， 为的半径， 点C在上． 【经典例题四 含30度角的直角三角形】 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， 点D到的距离为3， ， 在中，， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键． 过点作于点，根据求出，然后在中求出的长，再在中求出的长，利用已知条件证得，根据相似三角形对应边成比例即可求出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，，沿对折后，点B刚好落在边上的点E处，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．利用，，可得，根据折叠性质，可得，，，从而得到，计算出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠性质有：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，中，是斜边上的高，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先求出，，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴在中，， 在中，． 【经典例题五 用HL证全等（HL）】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，，能直接根据“”判定，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要依据“HL”判定直角三角形全等，已知两个三角形是直角三角形且有公共直角边，需找斜边相等的条件．本题主要考查直角三角形全等的“HL”判定定理，熟练掌握“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ）及准确识别直角三角形斜边、直角边是解题关键． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形，且（公共边）． 根据“HL”，需斜边相等．在与中，斜边为和． 当时， ∵， ∴． 选项A，，结合，是“SAS”条件，非“HL”； 选项B，，结合已知角与公共边，是“AAS”条件，非“HL”； 选项D，，无法直接判定全等． 故选： ． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等． 【答案】2或4/4或2 【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， ∵，， ∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL）， ∴t=4÷2=2秒； 当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL）， ∴t=8÷2=4秒， 综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键． 3．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据可证． 【详解】解：，，， 在和中， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当运动到或点与重合时，才能和全等 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答． 首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等． 【经典例题六 全等的性质和HL综合（HL）】 【例6】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质．先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答． 【详解】解：平分，，， ，故A结论正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ∴平分，故B结论正确，不符合题意 根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，点，，C，在一条直线上，，，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由知，根据证明，从而得出结论； （2）由得，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为12． 【拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则边的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，进而可得，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，进而可知，根据等角对等边证明即可； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一可知，根据角平分线的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，进而可知． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：过点作于， ， ， 是的角平分线，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，结合含30度角的直角三角形的性质以及点到直线的距离定义，可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵点到OA的距离为3， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，， (1)的长 (2)的度数． (3)的度数． (4)是多少？ 【答案】(1)6 (2) (3) (4)3 【分析】本题考查三角形的中线，角平分线，和高线，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关定义和性质，是解题的关键： （1）根据含30度角的直角三角形的性质，求解即可； （2）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数； （3）根据三角形的外角结合三角形的内角和定理进行求解即可； （4）直接利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵，， ∴； （2）∵在中，是角平分线，，， ∴， ∴； （3）由（1）（2）知：，， ∴， ∴； （4）∵在中，是中线，是高，， ∴， ∴． 【拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质得出，根据即可解答． 【详解】解：过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，OP平分， ，，于点D，，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； 过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，交的延长线于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，然后根据等角对等边即可得证； （2）过点D作于点G，根据三线合一的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解： 如图，过点D作于点G ∵，，是的中线， ∴， 又平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 【拓展训练四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明三角形全等，用转化的思想思考问题． 取中点，连接，，先根据直角三角形的性质求解，再由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短，可知：当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ，，， ， ， 点是的中点， ， ， 将线段绕点A按顺时针方向旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短，可知：当时，有最小值， 此时，，， ，即的最小值为1， 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，把两个大小相同的含角的直角三角尺如图放置，使点、、在同一条直线上，且直角顶点重合，连接，经测得． (1)求的长； (2)连接，求的周长； (3)若点是边上一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质； （1）在等腰中利用勾股定理计算即可； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后算周长即可； （3）过作于，连接，由，可得，则，当、、三点共线时，最小，此时，在根据求出的长度即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 在中，，， 由勾股定理，得， ； （2）解：如图， 在中，， ，， ， 在中，， 由勾股定理，得， ， 的周长； （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【拓展训练五 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形的应用，掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题关键．根据题意得到是的中位线，从而得出，则，由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边一半，得到，再利用特殊角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理的应用、直角三角形斜边的性质等知识点，灵活运用三角形中位线的性质和直角三角形斜边的性质是解题的关键． 利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ∵，是的中点，， ， ∵， ， ． 【拓展训练六 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 1．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在中，点分别为边的中点，是高．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质是解题关键． 根据题意得出，是的中位线，即可得，证出四边形是平行四边形，得出，根据直角三角形的性质得出，，根据等腰三角形得出，同理可得：，证出，即可得． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是高， ∴，点分别为边的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /52度 【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）依据△是等腰三角形，，即可得到的度数； （2）如图所示，连接，过作于，过作于，依据，即可得到，进而得出，再根据勾股定理，即可得到中，的长，即可得到的长． 【详解】解：（1）为斜边的中点， ， 由折叠可得， ，即△是等腰三角形， 在中，为斜边的中点， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）如图所示，连接，过作于，过作于， 在中，， 由折叠可得，，， 垂直平分， ， ，， 又， ， ∴， ， 是的中线， ， 即， ， ， 中，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， 是边上的中线， ∴点E为的中点， ∴ ， ， 为中点， ； （2）解：， ， ∴ ， ，点是的中点， ∴， ∴， ∵． 【拓展训练七 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）在中，，D为斜边上的中点．已知，，则的周长为（   ） A．12 B．9.5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用这一性质可求出斜边的长度，再结合勾股定理求出另一条直角边，最后计算周长即可． 【详解】解：如图： D为斜边上的中点，，， ， 在中，，， ， 三边长度分别为， 因此的周长为：， 综上，的周长为12， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，三角形中位线定理，掌握相关性质和定理是解题关键．由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，，由三角形中位线定理，得到，即可求出的周长． 【详解】解：， ， 在和中，点、分别是、的中点，，， ，， 是的中位线，， ， 的周长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求度数及的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 使得周长为9． 【拓展训练八 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由是等腰斜边中点，则，证明，，设，，由可得，故面积． 【详解】解：连接， ∵是等腰斜边中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， 由，得， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）在中，斜边上的中线和高分别是6和5，则的面积 ．    【答案】30 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边长为，再根据三角形的面积公式可得答案； 【详解】∵ 中，斜边上的中线为 6 ， ∴斜边长为 ， ∵斜边上的高为 5 ， ∴的面积为： ， 故答案为：30 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，． (1)求证：； (2)已知，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为22 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用勾股定理求出，从而求出的面积，最后根据线段中点的性质，可得的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）由（1）可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积， ∴的面积为22． 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据得出，再由可知，故，再由可知，由此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点，， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，根据，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴这棵树在折断前的高度为（米）． 故选：A． 4．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 证出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）在中，和是它的两个锐角且，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 7．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，．若是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，，是的中点， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，将绕点A旋转得到，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，由含30度角的直角三角形的性质可得的长，再由旋转的性质即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到和的长，即可求得答案． 【详解】解：，M为的中点， ， ，M为的中点， ， 的周长是． 故答案为：10． 10．（25-26八年级上·上海虹口·课前预习）如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是 ； （2）若，则的依据是 ； （3）若，，则的依据是 ； （4）若，，则的依据是 ； （5）若，，则的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据条件选择合适的判定方法是关键． （1）利用证明即可； （2）利用证明即可； （3）利用证明即可； （4）利用证明即可； （5）利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）∵，， ∴； 故答案为： （4）∵，， ∴； 故答案为： （5）∵，， ∴； 故答案为： 11．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）仅用无刻度直尺及圆规，将分成四个等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作垂线和等腰三角形，先过点A作边上的垂线将这个三角形分成两个直角三角形，再作两条斜边的垂直平分线继而找出中点，作出斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知分出的四个三角形是等腰三角形．通过构造两个直角三角形，并利用斜边上的中线等于斜边的一半将两个直角三角形各自分成两个等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：如下图所示：，，，即为所分出的等腰三角形． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 13．（24-25八年级上·上海奉贤·开学考试）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据已知条件直接利用证明即可求解． 【详解】证明∶ ，， ． 是的中点， ． 在与中， 14．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    【答案】10 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据于D，M、N分别是、的中点， 可知，，那么，从而得出答案． 【详解】解：∵在中，于D，M、N分别是、的中点， ∴，， ， ∴， ∴四边形的周长为10． 15．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 【答案】不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明即可解答． 【详解】解：不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程： ， ． 在和中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $