第十九章 几何证明章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

第十九章 几何证明章末重点题型复习 题型一、判断命题真假 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．圆的任何一条直径都是它的对称轴 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 根据三角形内角和定理对A进行判断；根据对顶角的性质对B进行判断；根据对称轴的定义对C进行判断；根据平行线的判定方法对D进行判断． 【详解】A、三角形的内角和等于，所以A选项为真命题； B、对顶角相等，所以B选项为真命题； C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以C选项为假命题； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，所以D选项为真命题． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称 B．周长相等的两个等边三角形全等 C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】分别根据全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义判断即可． 【详解】解：A．两个全等的三角形不一定关于某点成中心对称，原命题是假命题； B．周长相等的两个等边三角形边长相等，故全等，真命题． C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，真命题． D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【详解】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 题型二、写出命题的逆命题 4．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 5．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：如果，那么，真命题，不符合题意； C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D. 两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补； B．直角三角形的两个锐角互余； C．两个全等三角形的对应角相等； D．两内角相等的三角形是等腰三角形； 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 先写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，故A不符合题意； B、逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，故B不符合题意； C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，故C符合题意； D、逆命题为等腰三角形的两个内角相等，正确，是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 题型三、线段垂直平分线的性质 7．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，逆命题，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，原说法错误； B. 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，说法正确； C. 以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段的中点除外），原说法错误； D. 有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误； 故选B． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 【答案】40 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的角平分线定义、线段垂直平分线的判定、三角形的外角性质、全等三角形的判定，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和这个顶点确定的线段是三角形的角平分线，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； B、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故此选项结论正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 题型五、角平分线的性质定理 13．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 15．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 题型六、角平分线的判定定理 16．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线性质及判定，内角和定理，全等性质及判定，等边三角形性质． （1）过点作，，，利用角平分线性质即可得到，，再利用角平分线判定即可得到本题答案； （2）作于，利用等边三角形性质得，，即可得到本题答案； （3）设，作于，于，于，利用三角形内角和定理得，再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为， ， ∵在的平分线上， ∴， ∵在的平分线上， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵为等边三角形，平分， ∴，同理， 作于， ， ∵平分，， ∴，同理， ∴， ∴； （3）解：成立，理由如下： 设，作于，于，于，则点在线段上，点在线段上， ， ∵和的平分线，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 题型七、作角平分线（尺规作图） 19．（23-24八年级上·上海·阶段练习）作图： (1)已知线段a、b，求做直角，使得，，； (2)已知，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到的距离相等，且．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握垂线的作法和角平分线的作法是解答本题的关键． （1）过点C作a的垂线，以点B为圆心，以b为圆心画弧，交于点A，连接即可； （2）作的平分线，以点P为圆心，以a为半径画弧，交于点点，，点，即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点，即为所求．    20．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知中，点D在的平分线上，且点D到点B、C的距离相等 (1)请在图中作出点D的位置（保留作图痕迹）； (2)过点D作于点M，，交的延长线于点N．求证： 【答案】(1)见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质： （1）根据题意先作角平分线，然后再作线段的垂直平分线，交点即为所求； （2）根据角平分线的性质可得角平分线上一点到两边距离相等，垂直平分线上一点到线段两点的距离相等，再根据两个三角形全等，对应边相等，即可得到结果． 【详解】（1）解：以点A为圆心，以适当长为半径画圆，交和于点E和点F， 再分别以点E和点F为圆心，大于长为半径画圆，两圆交点为一点G，连接并延长，此时为的平分线， 作的垂直平分线，交的延长线于一点D， 此时点D即为所求，如图所示： ； （2）证明：由题可得如图所示： ， 由（1）可得为的平分线， ∵，， ∴， ∵点D到点B、C的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，根据点P满足，得到点 P在线段的垂直平分线上， 又P到两边的距离相等 ，得到点P在的角平分线上，作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型八、全等的性质和HL综合 （HL） 22．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和外角性质可证，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知和上各有一点． (1)求作点，使到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，正确画出图形是解题的关键． （）分别作的平分线，线段的垂直平分线，两条线相交于点，点即为所求； （）连接，过点作，，证明，得到，由等量代换即可求证； 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点； （2）解：如图，连接，过点作，，垂足分别为， ∵平分，，， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 题型九、含30度角的直角三角形 25．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 26．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，设与相交于点，由等腰直角三角形的性质可得，设，，则，，由可求得，进而可得，由直角三角形的性质即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，进而可得，，，得到，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 27．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形性质等知识，掌握这两个性质是关键；由，，得；再由得，从而可得；由30度直角三角形性质得，则可求得． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴． 故答案为：． 题型十、斜边的中线等于斜边的一半 28．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在中，点D在边上（点D不与点A、点B重合），连接． ①如果，是边上的中线，那么． ②如果，，那么是边上的中线． ③如果是边上的中线，，那么． 下列说法正确的是（　　） A．①②是真命题，③是假命题； B．①③是真命题，②是假命题； C．②③是真命题，①是假命题； D．①②③都是真命题． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质及判定方法，难度不大．根据直角三角形的性质和判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半可以判断①正确； 故①正确，是真命题； 如果，，那么是边上的中线， 当45°＜∠B＜60°时，以C为圆心，以AB的一半为半径的圆与斜边会有两个交点 故②错误，假真命题； 根据一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形可以判定③正确， 故③是真命题． 综上分析可知，①③都是真命题． 故选：B． 29．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：． 30．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，即垂直平分． 题型十一、用勾股定理解三角形 31．（23-24八年级下·上海金山·期末）在中，（），，点D、E分别在边、上，连接，，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点处，那么线段 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形性质，折叠的性质，根据题意作图，利用折叠的性质得到，，进而得到，结合直角三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：根据题意作图如下： 连接， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 32．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 33．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当边上是高在形内时，当边上是高在形外时，根据勾股定理和旋转的性质求解即可． 【详解】解：当边上是高在形内时， ，，， ； 当边上是高在形外时，根据旋转可得，， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 题型十二、已知两点坐标求两点距离 34．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、， ∴点和点的距离， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 根据两点间的距离公式解答即可． 【详解】∵直角坐标平面内两点和， ∴A、B两点间的距离等于． 故答案为：． 36．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则是直角三角形，由点和可得，从而，，根据根据定理即可求得线段的长． 【详解】过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴在中，． 故答案为：5． 题型十三、勾股定理与折叠问题 37．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 38．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得； （2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵等腰直角，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 如图1，记的交点为， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图2，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为； （3）解：由翻折的性质可知，，， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴， 同理（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 题型十四、求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 40．（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯子底端将向左滑动米， 故答案为：． 41．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 42．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 题型十五、判断三边能否构成直角三角形 43．（23-24八年级上·上海崇明·期末）具有下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度即可判断A、C；根据三角形三边中，两较小边的平方等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； B、设， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； D、设， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据三角形的内角和，勾股定理逆定理即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及三角形的内角和定理的应用． 【详解】、设三角形的三角分别为，，，，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由得，， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由，设，，，则， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：． 45．（23-24八年级上·上海静安·期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】A．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． B．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型十六、利用勾股定理的逆定理求解 46．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 47．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：，点是边中点， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 取的中点F，连接， ， ∴， ，即的度数为 48．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明章末重点题型复习 题型一、判断命题真假 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．圆的任何一条直径都是它的对称轴 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称 B．周长相等的两个等边三角形全等 C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 题型二、写出命题的逆命题 4．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 5．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补； B．直角三角形的两个锐角互余； C．两个全等三角形的对应角相等； D．两内角相等的三角形是等腰三角形； 题型三、线段垂直平分线的性质 7．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五、角平分线的性质定理 13．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 14．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 15．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 题型六、角平分线的判定定理 16．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 17．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 18．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 题型七、作角平分线（尺规作图） 19．（23-24八年级上·上海·阶段练习）作图： (1)已知线段a、b，求做直角，使得，，； (2)已知，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到的距离相等，且．    20．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知中，点D在的平分线上，且点D到点B、C的距离相等 (1)请在图中作出点D的位置（保留作图痕迹）； (2)过点D作于点M，，交的延长线于点N．求证： 21．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 题型八、全等的性质和HL综合 （HL） 22．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 23．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知和上各有一点． (1)求作点，使到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论） (2)连接，求证：． 题型九、含30度角的直角三角形 25．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 26．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 27．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，，若，那么 ． 题型十、斜边的中线等于斜边的一半 28．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在中，点D在边上（点D不与点A、点B重合），连接． ①如果，是边上的中线，那么． ②如果，，那么是边上的中线． ③如果是边上的中线，，那么． 下列说法正确的是（　　） A．①②是真命题，③是假命题； B．①③是真命题，②是假命题； C．②③是真命题，①是假命题； D．①②③都是真命题． 29．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 30．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 题型十一、用勾股定理解三角形 31．（23-24八年级下·上海金山·期末）在中，（），，点D、E分别在边、上，连接，，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点处，那么线段 ． 32．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 33．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 ． 题型十二、已知两点坐标求两点距离 34．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 35．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 36．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 ． 题型十三、勾股定理与折叠问题 37．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 38．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 题型十四、求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 40．（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    41．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 42．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 题型十五、判断三边能否构成直角三角形 43．（23-24八年级上·上海崇明·期末）具有下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·上海静安·期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 题型十六、利用勾股定理的逆定理求解 46．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 47．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 48．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$