第二十二章 直角三角形 重难点检测卷 -2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

第二十二章 直角三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各组线段中，能组成一个直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，2 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 6．（25-26八年级上·上海普陀·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025八年级上·上海普陀·专题练习）请写出一组包含12的勾股数： ． 8．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，，，，则 9．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）在中，为直角边，c为斜边，若，则 ． 10．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，于点D，于点，且．若要根据证明，则还应添加的条件是 ． 12．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 13．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，一木杆高，在离地处折断，则木杆顶端会落在离木杆底端 m处． 14．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，点D是的中点，则 ． 15．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ． 16．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ． 17．（25-26八年级上·上海普陀·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 18．（25-26八年级上·上海静安·开学考试）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 20．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？ 21．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 22．（24-25八年级上·上海松江·期末）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 24．（24-25八年级上·上海宝山·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 25．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 直角三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各组线段中，能组成一个直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，2 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A中的三条线段不能构成三角形，不合题意； B、，故选项B中的三条线段不构成直角三角形，不符合题意； C、，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意； D、，故选项D中的三条线段不构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的计算，准确计算是解题的关键． 直接利用勾股定理计算即可； 【详解】在中，直角边，斜边， （）． 故选：． 3．（25-26八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的作法、全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用作法得到，，则根据全等三角形的判定方法可判断，然后根据全等三角形的性质得到，进而得到就是所求作的的角平分线． 【详解】解：如图所示，连接、， 由题可得，，， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线（角平分线定义）． ∴作图依据是“”， 故选：D． 5．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 【详解】证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海普陀·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025八年级上·上海普陀·专题练习）请写出一组包含12的勾股数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义即可求出． 【详解】解：∵， ∴是一组包含12的勾股数； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，，，，则 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，由垂直的定义得，继而得到．解题的关键是掌握：直角三角形两锐角互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）在中，为直角边，c为斜边，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先根据勾股定理得，则此题可解. 【详解】解：根据勾股定理，得， 解得. 故答案为：4. 10．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，于点D，于点，且．若要根据证明，则还应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明，只需要添加斜边相等，即可求解． 【详解】根据证明，只需要添加斜边相等， ∴需要添加的条件是， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等判定的方法，“”指的是一直角边一斜边． 12．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 13．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）如图，一木杆高，在离地处折断，则木杆顶端会落在离木杆底端 m处． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用；利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，， 由勾股定理得：， 即木杆顶端会落在离木杆底端处， 故答案为：4． 14．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，点D是的中点，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线定理即可求出． 【详解】解：在中，，点D是的中点， ， 故答案为：4． 15．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，如图，过点作于，根据角平分线的性质得，再根据三角形面积公式可得结论．解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 即的面积是． 故答案为：． 16．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据图形得出，的长度． 根据图形分别得出，的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由图可知：，， 根据勾股定理可得：． 故答案为：150． 17．（25-26八年级上·上海普陀·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的逆应用．根据证明，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海静安·开学考试）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，小虫的爬行路径为最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由于平分，所以点到距离相等， 即为边上的高，等于，由此可求面积． 【详解】解：过点作于点，即为边上的高，如图所示， ∵， ∴， 平分， ， 的面积为． 20．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，先连接，根据题意可知是直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接， 由已知可得，，米，米， ∴， ∴（米）， 答：商场P到超市B的距离为1200米． 21．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质的应用．利用证明，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴E到水房D的距离就是点A到点B的距离． 22．（24-25八年级上·上海松江·期末）在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 【答案】，，证明见详解． 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．第一步根据题意补全填空即可，第二步先判定，再利用全等三角形性质得出对应角相等即可得证． 【详解】解：已知：，，， 求证：平分． 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分 故答案为：，， 利用证明三角形全等即可． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 24．（24-25八年级上·上海宝山·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）4或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）由角平分线的性质可解答； （2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即可解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为4或2． 25．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 学科网（北京）股份有限公司 $