专题05 整式的加减章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题05 整式的加减章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算问题 题型二 整式加减中的化简求值问题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 整式加减的新定义问题 题型五 整式的加减规律探究问题 题型六 整式加减中的整体思想求值问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算问题】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示， (1)用、填空___________ (2)请化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，绝对值的几何意义． （1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据题意判断出，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，，， ∴． 故答案为：； （2）由各点在数轴上的位置可知，， ∴，， ∴． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 【答案】A与B是“关于1的单位数”．理由见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 利用整式的加减运算法则得出，进而得出答案． 【详解】解：A与B是“关于1的单位数”．理由如下： ， ， ， 所以A与B是“关于1的单位数”． 3．（24-25七年级上·全国·期中）某商场1月份的销售额是m万元，2月份的销售额比1月份的2倍多1万元，3月份的销售额比1月份的3倍少4万元．该商场第一季度的销售额是多少万元？计算当时，该商场第一季度的销售额． 【答案】万元；57万元． 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值． 根据题意表示出2月份和3月份的销售额，求出三个月的和，进而将代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：2月份的销售额为万元， 3月份的销售额为万元， 则商场第一季度的销售额为 万元， 当时，原式（万元）． 4．（24-25七年级上·河南漯河·期末）要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题整式的加减运算，掌握作差法是解题的关键： （1）求出的符号，即可得出结果； （2）求出的符号，即可得出结果． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第二步；去括号时没有变号 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则；去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号； （1）根据去括号法则判断第二步出错； （2）正确去掉括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； （2）原式 ． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 原式 ． 7．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 【答案】(1) (2) (3)这五个数之和还是中间数的5倍 (4)能为2025，不能为2045 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案； （2）用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （4）分别计算出2025和2045除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵，且个位数字为9的数字都在第最右边一列， ∴中间的数字为409，此时不满足题意， ∴十字框中五个数之和不能为2045． 8．（24-25七年级上·全国·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【答案】（1）15（2）见详解（3）（4）15 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）根据题意，先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）理解题意，进行作图即可． （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （4）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）依题意，如图所示： 6 7 2 1 5 9 8 3 4 （3）由题意得： ， ， ； （4）由题意得： ， ， ， ∵幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． ， ， ， ． 【经典例题二 整式加减中的化简求值问题】 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【答案】，，， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是求出多项式，准确熟练的进行计算． 根据整数的混合运算法则计算，再将代入计算，再求出多项式即可． 【详解】解：， 把代入上式，得：， 其中． 故答案为：，，， 10．（24-25七年级上·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值； （1）根据已知得出，，则，进而根据整式的加减计算，即可求解． （2）由（1）得出，先计算，再将代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴ （2）解：，， ∴ 当时， 12．（24-25七年级上·福建莆田·期中）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)不正确，正确过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则并正确化简是解题的关键； （1）根据解答过程可知，去括号时，有对应项没有乘以系数，以及对应项没有变号，根据整式的加减计算法则写出正确的过程即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小睿同学的解答过程错误，原因是第一步去括号时，第一个括号里面的没有乘以3，第二个括号没有变号，没有乘以2， 正确过程如下： ； （2）解：当时，原式． 13．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请尝试： (1)合并同类项：____________； 把看成一个整体，合并的结果是____________； (2)已知，先化简再求值：． 【答案】(1)； (2)7 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）利用合并同类项的计算法则求解即可；把看成一个整体，然后利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）先对所求式子去括号，然后合并同类项化简，然后变形为，然后整体代入到化简结果中求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵， ∴ ． 14．（24-25七年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 【答案】(1)分配律 (2)三；第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数 (3)；30 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则，和化简求值的步骤是解本题的关键． （1）观察第一步变形过程，确定出依据乘法分配律即可； （2）找出出错的步骤三，分析其原因合并同类项符号问题即可； （3）原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：分配律； （2）以上化简步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数． 故答案为：三，第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数（答案不唯一）； （3）． ， 当，时，原式 ． 15．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 16．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． （3）根据，，列式由（1）得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 17．（24-25七年级上·江西吉安·期末）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”．比如3和是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知A=3a2b-2ab2+abc，小明同学错将“2A-B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b-3ab2+4abc． （1）求出2A-B的结果； （2）小强同学说（1）中的结果的大小与c的取值无关，正确吗？若a=，b=，求（1）中式子的值． 【答案】（1）；（2）小强说的正确，因为化简后与c无关；0 【分析】根据2A+B=4a2b-3ab2+4abc，求出B，然后求解； 将原式进行化简，结果与c无关. 【详解】解：(1)∵2A+B=4a2b-3ab2+4abc ∴B=4a2b-3ab2+4abc-2A=4a2b-3ab2+4abc-2(3a2b-2ab2+abc) =4a2b-3ab2+4abc-6a2b+4ab2-2abc = 2A-B=2(3a2b-2ab2+abc)-( ) =6a2b-4ab2+2abc = (2)小强说的正确，因为化简后与c无关； a=，b=时，原式= 【点睛】正确掌握整式加减法的化简法则是本题的解题关键. 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 19．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 20．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）李老师在黑板上写了一个含m，n的整式：． (1)化简上式； (2)老师告诉同学们当m，n互为倒数时，式子的值为0，请你计算此时m，n的值； (3)李老师又将这个题进行了改编，当m取一个特殊的值时，式子的结果与无关，那么此时的值为多少？ 【答案】(1) (2)， (3)的值为 【分析】本题考查了整式的加减，倒数，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据m，n互为倒数时，式子的值为0，即可求出m，n的值． （3）根据式子的结果与n无关，所以，即可求出m的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为m，n互为倒数，所以， 所以原式． ∴， 解得， 所以，． （3）解：原式． 当，即时，式子的结果与无关， 所以的值为． 22．（2025七年级上·全国·专题练习）数学课上，李老师给同学们出了一道整式化简求值的练习题： ． 李老师看着题目对同学们说：“大家任意给出x、y、z的一组值，我能马上说出答案．”同学们不相信，小刚同学立刻站起来，但他刚说完“”后，李老师就说出了答案是，同学们都感到不可思议，计算速度也太快了吧，何况是这么复杂的一组数值呢！但李老师却信心十足地说：“这个答案准确无误．” 同学们，你知道李老师为什么算得这么快吗？ 【答案】见解析 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，原式去括号合并得到结果为常数，与的值无关，故李老师的答案是正确的． 【详解】解：原式， 化简后的结果不含字母，与的取值无关， 故李老师算得这么快． 23．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，解得， 当时，值与字母的取值无关， 知识应用： 已知，， 用含，的式子表示； 若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值． 【答案】知识应用：   知识拓展： 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． 知识应用：把与代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； 把的化简结果变形后，根据的值与字母的取值无关，确定出的值即可； 知识拓展：根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：知识应用：， ， ； 的值与字母的取值无关，， ， ； 知识拓展： 设购进甲种羽绒服件，则购进乙种羽绒服件， 则甲种羽绒服利润为：元， 乙种羽绒服利润为：元， 总利润为：， 销售完这件羽绒服的利润与的取值无关， ， 解得：． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 【经典例题四 整式加减的新定义问题】 25．（2025七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确理解题意，正确化简计算是解题的关键．根据新定义得到，再化简计算即可． 【详解】原式 ． 26．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。 （1）由“友好数”的定义可得答案； （2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证． 【详解】（1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，， 故答案为：，； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数为：， 它的“友好数”为：， 这两个数的和为：， 因为，为正整数， 所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 27．（24-25七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)新运算“”不满足交换律，见解析 (3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键． （1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：新定义运算律：， 故答案为：； （2）解：新运算“”不满足交换律， 理由：∵，， ∴； （3）解： ， 当时，原式． 28．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”． (1)若，，求、的“鸿蒙数”； (2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据“鸿蒙数”将，代入即可求出结果； （2）根据“鸿蒙数”将，代入即可求出，通过计算得到，即可比较大小． 【详解】（1）根据“鸿蒙数”的定义可知， 将，代入得： ； （2）根据“鸿蒙数”的定义可知， 将，代入， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解以及整数、整式的计算；解题的关键是理解新定义． 29．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，直接作答即可． （2）先分别表示，，再列式，结合，进行作答即可． （3）先整理得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干各式，得 故答案为：； （2）解：依题意，，， 则， ∵ ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：依题意， 当，时，原式． 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求a的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、整式加减运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据题意可知，结合新定义运算将化简，然后将代入求值即可； （3）首先根据新定义运算计算与的差，结合知与的差中不含项可知，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知 ； （2）∵a，b互为相反数，x是最大的负整数 ∴， ∴ ； （3）根据题意，可知与的差为 ， ∵与的差中不含项， ∴，得解． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数中，，所以，是半和数；又如中，，所以，也是半和数．… 任务： (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 ；这个数为 ；(用含a的代数式表示）； (2)任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据半和数的定义求得十位数字，即可得到三位正整数 （2）根据半和数的定义求得两个三位数，然后将两个数相加即可得到结果 【详解】（1）∵三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1， ∴十位数字为：， ∴这个数为：， ∵百位数字为a，个位数字为0， ∴十位数字为：， 这个数为：， 故答案为：，，； （2）结论正确，下面说明理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和整式的加减，读懂新定义、熟练掌握整式的加减运算是解决问题的关键． 32．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读材料】在某数学兴趣小组集中学习时，碰到如下新定义：对于给定的两个大小不等的整数a、b，若，则记表示与之间（包括和）所有整数的和．如，． 【知识应用】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8， (1)直接写出的值是______； (2)若点A、B均以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动（为正整数）秒后，点到达所在位置的点表示的数为，点到达所在位置的点表示的数为，试计算的值；（用含的代数式表示） (3)将（2）中的点改为向左运动，其余条件不变，计算的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减运算，有理数的加法运算，新定义问题，解题的关键是掌握新定义运算法则． （1）根据题干中新定义的运算法则求解即可； （2）首先表示出，，然后根据题干中新定义的运算法则求解即可； （3）首先表示出，，然后根据题干中新定义的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵ ∴ ； （2）解：根据题意得，， ∵ ∴ ； （3）解：根据题意得，， ∵ ∴ ． 【经典例题五 整式的加减规律探究问题】 33．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减； （1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）总结以上式子的规律求解即可． 【详解】（1）解：；（答案不唯一） （2）解： ． 34．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【答案】(1)原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式进行总结即可； （2）由（1）规律表示新的两位数，再利用整式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， …， ∴把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； 故答案为：原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； （2）解：∵原来两位数的十位数字为，个位数字为， ∴由（1）中规律得新两位数可表示为：； ． 35．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)当能被5整除时，即或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把四位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【详解】（1）解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； （2）解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 36．（2025·安徽·模拟预测）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能 【分析】本题主要考查图形规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，找出规律即可求解； （2）结合（1）中的规律分别算出，第n个图和第个图中（★）的数量，再根据整式的计算即可求解； （3）根据题意，假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗，得到，则，由此判定假设的情况，即可求解． 【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列， 第2个图有6颗（★），二行三列，， 第3个图有12颗（★），三行四列，， 第4个图有20颗（★），四行五列，， ∴第5个图有30颗（★），五行六列，， 第6个图有42颗（★），六行七列，， 第8个图有72颗（★），八行九列，， ∴第8个图形比第6个图形多颗星（★）， 故答案为：，； （2）根据上述计算得到，第n个图，行列，，有颗（★） 第个图，行列，，有颗（★） ∴， 故答案为：； （3）假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗， ∴， 解得，， ∵不是正整数， ∴假设不成立， ∴第个图形不能比第个图形中的星恰好多颗． 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】(1)15；2 (2) (3)①；②成立，理由见解析 【分析】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中数表的规律即可得到答案； （2）由题中数表的规律即可得到答案； （3）①由“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计算即可猜想出关系；②设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为；分别计算即可验证关系． 【详解】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)一个多位数，各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数一定能被9整除 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）按要求写出数字即可 （2）根据整式加减法则，进行填空即可； （3）根据（2）中的证明，进行作答即可． 【详解】（1）解：能被 9 整除的三位数为：，； （2）解： ① 因为能被 9 整除，并且是 9 的倍数，也能被 9 整除， 所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． （3）解：由（2）可得：一个多位数，各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数一定能被9整除． 39．（2025·安徽亳州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)见解析． 【分析】本题考查了整式的加减运算，数字规律类探索，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法即可解答； （2）根据题意给出的规律即可解答； （3）由题意得，得到，由，则，当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ∴能被整除； （2）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数， ∴也是的倍数，能被整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 40．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)， (3)①，② 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得的值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 【经典例题六 整式加减中的整体思想求值问题】 41．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了合并同类项、整式的加减一化简求值，关键是掌握整体思想，注意去括号时符号的变化． （1）利用合并同类项进行计算即可； （2）把的前两项提公因式3，再代入求值即可； （3）把变形后，整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为，，， 所以 ． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)尝试应用：把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用整体法的思想进行求解即可得； （）利用整体法可得，代入即可求解； （）将原式整理成，然后代入式子的值即可求解； 本题考查了整式的加减，合并同类项，代数式求值，熟练掌握运算法则及理解整体法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴； （3）解： ， ∵，，， ∴原式 ． 43．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键掌握整式的运算法则以及整体代入法求值． （1）根据合并同类项的法则进行求解即可； （2）把看作一个整体，再对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可； （3）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 44．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简： ， “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将 合并的结果______； (2)【简单应用】①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2022；② (3)13 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：①， ， 故答案为：2022； ②， ； （3）解：，， ． 45．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则__________； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）2026；（2）57；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减，利用整体思想解题是关键． （1）由已知得到，再整体代入求值即可； （2）将变形为，再整体代入求值即可； （3）将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵，， ． 46．（24-25七年级上·四川德阳·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小郭同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【简单运用】 （1）若，则______； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则及整体代入的思想方法是解决本题的关键． （1）先变形要求值的代数式，再整体代入求解即可； （2）先变形要求值的代数式，再整体代入求解即可； （3）先变形要求值的代数式，再整体代入求解即可． 【详解】解：（1）， ． 故答案为：4； （2） ， 当， 时， 原式 ； （3）∵， ∴ ． 47．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 48．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式：的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为 所以原式＝． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则＝______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）若，，则代数式：______． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是阅读型题目，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键． （1）将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可； （2）去括号，合并同类项，再利用整体代入的方法解答即可； （3）将第一个等式两边同乘以2，将第二个等式两边同乘以3，再加个两个新等式的左右两边分别相减即可． 【详解】解：（1）∵， ∴原式； 故答案为：； （2）原式， ∵， ∴原式； （3）把的两边同乘以2得：， 把的两边同乘以3得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题七 整式加减的综合应用】 49．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）材料：“作差法比较大小”． 根据不等式和等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则；若，则；若，则．反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．根据材料解答下列问题： (1)若，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)若，，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减混合运算、整式加减的应用． （1）利用作差法进行判断即可； （2）利用作差法和整式的加减混合运算法则可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， ∵ ∵，， ∴， ∴． 50．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：如果一个三位数为（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），我们可以将其表示为：； 材料2：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“谷数”．例如：427；515；109均为“谷数”； 材料3：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“峰数”．例如：285；687，121均为“峰数”； (1)已知：三位数可表示为 ；三位数可表示为 ；= ； (2)已知：三位数比三位数小284，求这两个三位数； (3)求三位数是峰数的一共有多少个，三位数是谷数的一共有多少个（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)142，426 (3)三位数是峰数的有240个，三位数是谷数的有285个 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算的应用，解题的关键是读懂题意，根据新定义进行解题． （1）根据材料1即可表示出和，再根据整式的加减运算法则可计算出的值； （2）根据材料1即可表示出和，再结合已知得出，由，且x为整数，，且y为整数，经试值可知，，进而即可求出这两个三位数； （3）结合材料2和材料3，表示出所有的峰数和谷数，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，三位数可表示为； 三位数可表示为； ； 故答案为：． （2）表示的数为，表示的数为， 三位数比三位数小284， ， ， 即， ，且x为整数，，且y为整数， 经试值可知，， ， ， 故这两个三位数分别是142和426； （3）由峰数的定义可知，一个三位数的十位上的数字大于个位和百位上的数字，它们是120，121，230，231，232，，890，891，，898，符合条件的三位数共有240个； 由谷数的定义可知，一个三位数的十位上的数字小于个位和百位上的数字，它们是101，102，，901，902，，989，符合条件的三位数共有285个， 故答案为：峰数有240个，谷数有285个． 51．（24-25七年级上·四川成都·期中）理解与思考． 整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用．例如：，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______． （2）如果，求的值． （3）若，，求的值． 【答案】（1）-2019；（2）10；（3）-19 【分析】（1）根据整体法代入即可求解； （2）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （3）根据已知的式子求出，再把原式变形为即可整体代入求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ． （3）∵①，②， ∴①-②得： ∴， ∴===-16-3=-19． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． 52．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由个等边三角形（注：等边三角形就是三条边都相等的三角形）拼成的六边形． (1)已知中间最小的等边三角形的边长是，若设图中最大等边三角形的边长是米，请用含的代数式分别表示出等边三角形和的边长分别为： ， ， ． (2)再（）的条件下，观察图形的特点可知，六边形广场的周长（最外面一圈的长）可以用含的代数式表示为 ． (3)因城市规划的需要，市政府设想把这个六边形广场改建为一个正方形广场，改建之后让这两个广场的周长保持不变，若等边三角形的边长为米，此时你能求出改建之后的正方形广场边长为多少米吗？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据已知并结合图形依次求出等边三角形的边长即可求解； （）根据（）中各个等边三角形的边长列式求出六边形的周长即可； （）先求出的值，进而求出六边形的周长，得出正方形广场的边长，即可求解； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵图中最大等边三角形的边长是米，中间最小的等边三角形的边长是， ∴等边三角形的边长分别为：， 故答案为：； （2）解：由（）得，六边形的周长， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 解得， ∴原六边形的周长为米 ， ∴改建之后正方形广场的周长为米， ∴正方形广场的边长为米． 53．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)不是 (2)，不是 【分析】本题考查了整式的加减，正确理解新定义和熟练进行整式运算是关键． （1）根据对称式的定义判断，即可求解； （2）将整式化简后，按照对称式定义进行验证即可． 【详解】（1）解：根据对称式的定义：因为，所以不是对称式． 故答案为：不是； （2）解： ； 根据对称式的定义，，结果不是对称式． 54．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【答案】(1)C (2)①；② (3)正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积 【分析】本题考查了整式的加减，读懂题意理解求差法，并会运用是解答本题的关键． （1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论； （2）①用分别表示出正方形和圆的周长，利用求差法进行比较即可； ②①用分别表示出正方形和圆的面积，利用求差法进行比较即可； （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【详解】（1）解：“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较， 体现出的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：①，， ， ； ②，， ， ； （3）解：正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 55．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个完全相同的小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示． (1)图3中新的长方形的长为______厘米，宽为______厘米； (2)求图3中新的长方形的周长； (3)如果正方形纸片的边长为11厘米，剪去的小长方形的宽为1厘米，求图3的周长． 【答案】(1) (2)厘米 (3)厘米 【分析】本题考查了整式的加减，列代数式，找到图形变化中的相应量是解本题的关键． （1）新长方形的长为正方形的边长减去即可；宽为正方形的边长减去即可； （2）根据长方形的周长公式列式并化简即可； （3）求出的值，再代入（2）即可求解． 【详解】（1）解：新的长方形的长为厘米，宽为厘米， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：新的矩形的周长为：厘米． （3）解：根据题意，可知，得． ∴图3的周长为：厘米． 56．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用作差法可以比较两个数或代数式的大小．如为有理数，且，则．当时，；当时，，． (1)已知，直接写出的大小关系，则_______． (2)已知正方形的边长为2，、、、分别是、、、上的点，且．图1中，点是的中点，四边形的面积记为，图2中，点不是的中点，四边形的面积记为． ①直接写出的值___________； ②设，用含的代数式表示； ③比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②；③，见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、列代数式、整式的大小比较等知识点，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （1）依据题意，运用作差法进行判断即可； （2）①根据图1，根据图形的面积列代数式即可；②根据图2，根据图形的面积列代数式即可；③依据题意运用作差法进行判断即可解答． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①由题意：． 故答案为：2． ②由题意∶ =2x2-4x+4． ③，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的加减章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算问题 题型二 整式加减中的化简求值问题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 整式加减的新定义问题 题型五 整式的加减规律探究问题 题型六 整式加减中的整体思想求值问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算问题】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示， (1)用、填空___________ (2)请化简． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 3．（24-25七年级上·全国·期中）某商场1月份的销售额是m万元，2月份的销售额比1月份的2倍多1万元，3月份的销售额比1月份的3倍少4万元．该商场第一季度的销售额是多少万元？计算当时，该商场第一季度的销售额． 4．（24-25七年级上·河南漯河·期末）要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 7．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 8．（24-25七年级上·全国·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【经典例题二 整式加减中的化简求值问题】 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 10．（24-25七年级上·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 12．（24-25七年级上·福建莆田·期中）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 13．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请尝试： (1)合并同类项：____________； 把看成一个整体，合并的结果是____________； (2)已知，先化简再求值：． 14．（24-25七年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 15．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 16．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 17．（24-25七年级上·江西吉安·期末）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”．比如3和是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，求的值． 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知A=3a2b-2ab2+abc，小明同学错将“2A-B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b-3ab2+4abc． （1）求出2A-B的结果； （2）小强同学说（1）中的结果的大小与c的取值无关，正确吗？若a=，b=，求（1）中式子的值． 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 19．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 20．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）李老师在黑板上写了一个含m，n的整式：． (1)化简上式； (2)老师告诉同学们当m，n互为倒数时，式子的值为0，请你计算此时m，n的值； (3)李老师又将这个题进行了改编，当m取一个特殊的值时，式子的结果与无关，那么此时的值为多少？ 22．（2025七年级上·全国·专题练习）数学课上，李老师给同学们出了一道整式化简求值的练习题： ． 李老师看着题目对同学们说：“大家任意给出x、y、z的一组值，我能马上说出答案．”同学们不相信，小刚同学立刻站起来，但他刚说完“”后，李老师就说出了答案是，同学们都感到不可思议，计算速度也太快了吧，何况是这么复杂的一组数值呢！但李老师却信心十足地说：“这个答案准确无误．” 同学们，你知道李老师为什么算得这么快吗？ 23．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，解得， 当时，值与字母的取值无关， 知识应用： 已知，， 用含，的式子表示； 若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【经典例题四 整式加减的新定义问题】 25．（2025七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 26．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 27．（24-25七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 28．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”． (1)若，，求、的“鸿蒙数”； (2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小． 29．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求a的值． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数中，，所以，是半和数；又如中，，所以，也是半和数．… 任务： (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 ；这个数为 ；(用含a的代数式表示）； (2)任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 32．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读材料】在某数学兴趣小组集中学习时，碰到如下新定义：对于给定的两个大小不等的整数a、b，若，则记表示与之间（包括和）所有整数的和．如，． 【知识应用】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8， (1)直接写出的值是______； (2)若点A、B均以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动（为正整数）秒后，点到达所在位置的点表示的数为，点到达所在位置的点表示的数为，试计算的值；（用含的代数式表示） (3)将（2）中的点改为向左运动，其余条件不变，计算的值．（用含的代数式表示） 【经典例题五 整式的加减规律探究问题】 33．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 34．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 35．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 36．（2025·安徽·模拟预测）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 39．（2025·安徽亳州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 40．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【经典例题六 整式加减中的整体思想求值问题】 41．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)尝试应用：把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 43．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 44．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简： ， “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将 合并的结果______； (2)【简单应用】①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知，，求代数式的值． 45．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则__________； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）若，，求的值． 46．（24-25七年级上·四川德阳·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小郭同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【简单运用】 （1）若，则______； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求代数式的值． 47．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 48．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式：的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为 所以原式＝． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则＝______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）若，，则代数式：______． 【经典例题七 整式加减的综合应用】 49．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）材料：“作差法比较大小”． 根据不等式和等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则；若，则；若，则．反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．根据材料解答下列问题： (1)若，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)若，，试比较，的大小，并说明理由． 50．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：如果一个三位数为（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），我们可以将其表示为：； 材料2：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“谷数”．例如：427；515；109均为“谷数”； 材料3：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“峰数”．例如：285；687，121均为“峰数”； (1)已知：三位数可表示为 ；三位数可表示为 ；= ； (2)已知：三位数比三位数小284，求这两个三位数； (3)求三位数是峰数的一共有多少个，三位数是谷数的一共有多少个（直接写出答案）． 51．（24-25七年级上·四川成都·期中）理解与思考． 整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用．例如：，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______． （2）如果，求的值． （3）若，，求的值． 52．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由个等边三角形（注：等边三角形就是三条边都相等的三角形）拼成的六边形． (1)已知中间最小的等边三角形的边长是，若设图中最大等边三角形的边长是米，请用含的代数式分别表示出等边三角形和的边长分别为： ， ， ． (2)再（）的条件下，观察图形的特点可知，六边形广场的周长（最外面一圈的长）可以用含的代数式表示为 ． (3)因城市规划的需要，市政府设想把这个六边形广场改建为一个正方形广场，改建之后让这两个广场的周长保持不变，若等边三角形的边长为米，此时你能求出改建之后的正方形广场边长为多少米吗？ 53．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 54．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 55．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个完全相同的小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示． (1)图3中新的长方形的长为______厘米，宽为______厘米； (2)求图3中新的长方形的周长； (3)如果正方形纸片的边长为11厘米，剪去的小长方形的宽为1厘米，求图3的周长． 56．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用作差法可以比较两个数或代数式的大小．如为有理数，且，则．当时，；当时，，． (1)已知，直接写出的大小关系，则_______． (2)已知正方形的边长为2，、、、分别是、、、上的点，且．图1中，点是的中点，四边形的面积记为，图2中，点不是的中点，四边形的面积记为． ①直接写出的值___________； ②设，用含的代数式表示； ③比较和的大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $