专题01 整式重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 整式重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 写出满足某些特征的单项式 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 拓展训练一 整式中的规律探究问题 拓展训练二 单项式的规律问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于单项式的是（　　） A．7 B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）下列代数式：，，，0，，中，单项式有 ． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）多项式的常数项是（  ） A．1 B．2 C． D．3 2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）多项式 是 次 项式． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）下列各式不是整式的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在代数式中，整式有 个． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）代数式中单项式的个数是（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·北京昌平·期中）在代数式，，，，，中，单项式有 个，多项式有 个． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①② ③ ④ ⑤0⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （1）单项式　 　 （2）多项式　 　 （3）整式　 　 （4）二项式　 　． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的次数是3 D．系数是，次数是4 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，2 C．，3 D．，3 2．（24-25七年级上·广东·阶段练习）单项式−的系数是 次数是 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）单项式-()2a2b3c的系数是 ，是 次四项式． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·全国·期末）当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在代数式，，，，，0，，中有（  ） A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式 C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式 2．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列各式①2x2+y；②0；③；④3mn；⑤中，属于多项式的是 . 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子中是代数式 ；是单项式 ；是整式 ；是多项式 ． ，，，，，，，，，，，． 4．（24-25七年级上·山西晋城·期中）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是-1 B．是二次单项式 C．的常数项是6 D．的次数是8 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）多项式的二次项系数是 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期末）对于多项式－x2yz＋2xy2－xz－1是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 ． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在代数式中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25七年级上·全国·单元测试），，，，，中不是整式的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·福建宁德·期末）在“整式”章节复习时，某学习小组绘制了如图知识结构图，其中知识点A是 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）代数式，，，中，整式有 个． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【经典例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例6】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）写出一个系数是，且只含x，y两个字母的三次单项式是 ． 2．（24-25七年级上·广东·期中）请写出一个只含有字母m、n，且系数为2π，次数为3的单项式 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某单项式的系数为，只含字母，，且次数是次，写出一个符合条件的单项式可以是 ． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【经典例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例7】（24-25七年级上·广西梧州·期末）若多项式不含项，则＝（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025九年级·全国·专题练习）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，则 ， ， ． 4．（24-25七年级上·河南开封·期末）已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同． （1）求m、n的值； （2）求多项式各项的系数和． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（   ） A．4分 B．6分 C．8分 D．10 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将多项式按字母的降幂排列是 ； 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列多项式：；；；；…则第n个多项式为 . 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【做一做】列代数式 （1）已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为　 　； （2）某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，则比山脚高x米处的温度为　 　℃； （3）已知某礼堂第1排有18个座位，往后每一排比前一排多2个座位．则第n排共有座位数　 　个． 【数学思考】 （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的　 　； （5）请你任意写一个关于x的这种类型的数字系数的二次式　 　； （6）用字母表示系数，写一个关于x的二次三项式，并注明字母系数应满足的条件　 　； 【问题解决】 （7）若代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，求m的值． 【拓展训练一 整式中的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子， 第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）阅读并思考 观察并找出规律：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和（S） 1 2 3 4 … … (1)当时，和S的等式为________ (2)按此规律计算： ①值； ②值． 【拓展训练二 单项式的规律问题】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1） ； （2） ． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）单项式的系数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 3．（24-25七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）按一定规律排列的单项式：， ， ，   ， ， ，…则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 6．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 8．（24-25七年级上·广东阳江·阶段练习）多项式的次数是 ，二次项系数是 ． 9．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 10．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）如图所示的9个圆圈，在4个小的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点处，在图上将这9个数字填入圆圈，要求这7个三角形中每个三角形3个顶点上的数字之和都相等．请将正确数字按顺序填写在空格中：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 12．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 写出满足某些特征的单项式 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 拓展训练一 整式中的规律探究问题 拓展训练二 单项式的规律问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于单项式的是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式：只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．熟记单项式的定义是解题关键．根据单项式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、7是单项式，则此项符合题意； B、分母中含有字母，不是单项式，则此项不符合题意； C、，不是单项式，则此项不符合题意； D、分母中含有字母，不是单项式，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）下列代数式：，，，0，，中，单项式有 ． 【答案】，0， 【分析】本题考查的是单项式的定义，熟练掌握单项式的定义“数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式”是解题的关键．根据单项式的定义，逐个分析即可得出答案． 【详解】解：由题意得，单项式有：，0，； 故答案为：，0，． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）多项式的常数项是（  ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，解题的关键在于熟知多项式中不含字母的项叫作常数项． 根据多项式的的常数项的概念即可得到答案． 【详解】解：多项式的常数项是3． 故选：D 2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）多项式 是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，多项式中的单项式的个数是多项式的项数，多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：多项式是三次三项式． 故答案为：三，三 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）下列各式不是整式的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的定义，解决此题的关键是熟记整式的定义． 单项式与多项式统称为整式，根据整式的定义解答即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、，不是整式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在代数式中，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了整式的定义，整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：在代数式中，整式有，共4个， 故答案为：4． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，直接利用了单项式的定义逐个判断即可．掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式成为解题的关键． 【详解】解：是多项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项符合题意； C、是多项式，故本选项不符合题意； D、不是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）代数式中单项式的个数是（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此可作出判断． 【详解】解：所给式子中单项式有，共6个． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式的概念，解答本题的关键是熟练掌握单项式的定义． 2．（24-25七年级上·北京昌平·期中）在代数式，，，，，中，单项式有 个，多项式有 个． 【答案】 3 2 【详解】单项式有：3xy2，m，12，共3个，多项式有：6a2-a+3，4x2yz-xy2，共2个. 故答案为3，2. 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①② ③ ④ ⑤0⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （1）单项式　 　 （2）多项式　 　 （3）整式　 　 （4）二项式　 　． 【答案】（1）④⑤⑩；（2）①③⑥；（3）①③④⑤⑥⑩；（4）③⑥ 【分析】根据多项式、单项式、整式、二项式的定义进行分类． 【详解】解：（1）单项式有：④⑤⑩； （2）多项式有：①③⑥； （3）整式有：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式有：③⑥． 故答案为（1）④⑤⑩；（2）①③⑥；（3）①③④⑤⑥⑩；（4）③⑥． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式和整式的概念，解题关键是理解整式相关概念． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 【答案】见解析 【分析】根据单项式的定义以及单项式次数与系数的定义分别分析得出即可． 【详解】，，，，，，是单项式，其中 的系数是，次数是3；的系数是－1，次数是1；的系数是，次数是4；的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；的系数为－3×108，次数是3；只含有字母因数，系数是1，次数为3． 【点睛】本题考查单项式的定义、单项式的系数和次数，熟练掌握相关的定义是解题关键． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的次数是3 D．系数是，次数是4 【答案】D 【分析】本题考查单项式与多项式的有关概念，解题的关键是掌握单项式的系数、次数，多项式的次数、项．根据相关概念“数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项”逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、的常数项是，选项说法错误，不符合题意； B、0是单项式，选项说法错误，不符合题意； C、的次数是2，选项说法错误，不符合题意； D、系数是，次数是4，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，2 C．，3 D．，3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式的系数为， 单项式的次数为：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东·阶段练习）单项式−的系数是 次数是 【答案】 4 【分析】单项式的数字因式是单项式的系数，单项式中所有字母指数的和是单项式的次数，根据定义解答. 【详解】单项式−的系数是，次数是4 故答案为：，4. 【点睛】此题考查单项式的次数及系数的定义，熟记定义即可解决问题，关键是正确计算单项式的次数. 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）单项式-()2a2b3c的系数是 ，是 次四项式． 【答案】 ； 五． 【分析】利用单项式的定义以及多项式的定义分别判断得出即可． 【详解】单项式-()2a2b3c的系数是-()2=， 是五次四项式． 故答案为：，五． 【点睛】本题考查了单项式与多项式的定义，正确把握单项式和多项式的定义是解题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 【详解】（1）∵单项式与的次数相同， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·全国·期末）当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解本题的关键．将代入已知式子求出的值，把代入所求代数式，将代入计算即可． 【详解】解：当时，多项式的值为2024； ∴， ， 当时， ． 故选：D 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在代数式，，，，，0，，中有（  ） A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式 C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式 【答案】A 【分析】根据单项式和多项式的定义逐一判断可得答案． 【详解】解：在所列代数式中，单项式有3a，xyz，0，π这4个， 多项式有x-y，，这3个，共7个整式， 故选A． 【点睛】本题考查了多项式与单项式，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，几个单项式的和是多项式． 2．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列各式①2x2+y；②0；③；④3mn；⑤中，属于多项式的是 . 【答案】①⑤   【详解】试题解析：①2x2+y；②0；③；④3mn；⑤中， 属于多项式的是：①⑤． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列式子中是代数式 ；是单项式 ；是整式 ；是多项式 ． ，，，，，，，，，，，． 【答案】 ，，，，，，，，，; ，4a2b，-6，a，，-x，0； ，a-5，4a2b，-6，a2+3ab+b2，a，，-x，0； ， 【分析】根据代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式；单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式进行分析即可． 【详解】解：代数式，，，，，，，，，; 单项式，4a2b，-6，a，，-x，0； 整式，a-5，4a2b，-6，a2+3ab+b2，a，，-x，0； 多项式a-5，a2+3ab+b2． 故答案为，，，，，，，，，;，4a2b，-6，a，，-x，0；，a-5，4a2b，-6，a2+3ab+b2，a，，-x，0；a-5，a2+3ab+b2． 【点睛】此题主要考查了整式、代数式、单项式、多项式，关键是掌握整式、代数式、单项式、多项式的定义． 4．（24-25七年级上·山西晋城·期中）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 【答案】(1)③⑤⑦；①② (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次五项式的定义即可求解 【详解】（1）解：单项式有：③；⑤；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）解：选①②， 则是三次五项式．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是-1 B．是二次单项式 C．的常数项是6 D．的次数是8 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，多项式的项和次数等知识．根据单项式的系数和次数，多项式的项和次数的定义进行判断即可． 【详解】A. 的系数是，故选项正确，符合题意； B. 是六次单项式，故选项错误，不符合题意； C. 的常数项是，故选项错误，不符合题意；     D. 的次数是4，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号），次数最高的项的次数即为该多项式的次数，多项式通常说成几次几项式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵代数式关于，的五次三项式， ∴且， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）多项式的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先确定单项式的二次项是，即可确定二次项系数为-1． 【详解】解：多项式有三项，分别是三项，其中二次项是， 所以多项式的二次项系数是-1． 【点睛】本题考查了多项式的项，熟知相关知识是解题关键． 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期末）对于多项式－x2yz＋2xy2－xz－1是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 ． 【答案】 四 四 -1 -1 【分析】根据多项式的项和次数的定义，确定最高次项和常数项，注意要带有符号． 【详解】解：多项式－x2yz＋2xy2－xz－1是四次四项式，最高次项的系数是-1，常数项是-1． 故答案为：四，四，-1，-1． 【点睛】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，代数式求值，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据题意得出，，求出的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再代入，，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴原多项式为：， 当，时， 原式 ． 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在代数式中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整式的定义进行解答． 【详解】分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式. 故选C. 【点睛】此题考查整式，解题关键在于掌握整式的定义. 1．（24-25七年级上·全国·单元测试），，，，，中不是整式的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据整式的概念进行判断，即可求出答案． 【详解】∵，，，，，中， 不是整式的有：，，． 故选B． 【点睛】本题考查了整式的知识点，在解题时要根据整式的概念，进行选择是本题的关键. 2．（24-25七年级上·福建宁德·期末）在“整式”章节复习时，某学习小组绘制了如图知识结构图，其中知识点A是 ． 【答案】单项式 【分析】根据整式的分类解答即可． 【详解】解：整式分为单项式和多项式， 所以A指的是单项式， 故答案为：单项式． 【点睛】此题考查整式的概念，关键是根据整式的分类解答． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）代数式，，，中，整式有 个． 【答案】 【分析】根据整式的概念分析判断各个式子． 【详解】根据整式的概念可知，整式有x2−x−，，共2个. 故答案为2. 【点睛】本题考查了整式的概念，解题的关键是熟练的掌握整式的概念. 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积 【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算； (2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：(1)由题意可得： ； (2)由(1)可知,， ， 矩形的面积， 正方形的面积， 矩形的面积=正方形的面积， 则矩形的面积=正方形的面积。 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可. 【经典例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例6】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）写出一个系数是，且只含x，y两个字母的三次单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据数或字母的积组成的式子叫做单项式可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了单项式，掌握单项式的定义是关键． 2．（24-25七年级上·广东·期中）请写出一个只含有字母m、n，且系数为2π，次数为3的单项式 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：解：根据单项式系数和次数的定义，一个只含有字母m、n，且系数为2π，次数为3的单项式可以写为． 故答案为(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了单项式系数、次数的定义，解题的关键是正确理解单项式的次数是所含字母的指数和． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某单项式的系数为，只含字母，，且次数是次，写出一个符合条件的单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了写出符合题意的单项式，根据题意，写出一个系数为，只含字母，，且次数是次的单项式即可求解． 【详解】解：依题意，符合条件的单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 【经典例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例7】（24-25七年级上·广西梧州·期末）若多项式不含项，则＝（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】不含xy项，即令xy项前面的系数为0即可求出答案. 【详解】∵多项式不含xy项 ∴2m=0，求得m=0，故答案选择A. 【点睛】本题考查的是多项式的系数中不含哪一项和缺项的问题，不含哪一项和缺项只要令不含和缺的那一项的系数为0即可求出答案. 1．（24-25七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤． 【详解】解：＝ ＝， ∵是关于x的三次三项式，， ∴， 解得，故①正确； ＝， ∵中不含， ∴， ∴，故②正确； ∵时，；当时，， ∴， 解得，，故③正确； 在中，令得： ， ∴，故④正确； 在中，令得： ， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 2．（2025九年级·全国·专题练习）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【答案】8． 【分析】根据多项式是三次多项式，得m-n+1=3，且n-2=0，规范求解即可． 【详解】∵多项式是关于x，y的三次多项式， ∴m-n+1=3，且n-2=0， ∴m=4， n＝2， ∴mn＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多项式的次数，熟练掌握多项式次数的确定，灵活运用系数为零原则消除高次项，是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，则 ， ， ． 【答案】 -3 1 2 【分析】先化简多项式，然后再根据两个多项式相等得到对应项的系数相等，从而求出a、b、c的值． 【详解】解：， ∵与多项式相等， ∴， ∴a=-3，b=1，c=2， 故答案为：-3；1；2． 【点睛】本题考查多项式的化简，理解两个多项式相等的含义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·河南开封·期末）已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同． （1）求m、n的值； （2）求多项式各项的系数和． 【答案】（1），；（2）-13 【分析】（1）根据多项式是六次四项式，可求m，根据的次数也是6可求n； （2）把各项系数相加即可． 【详解】解：（1）∵多项式是六次四项式， ∴， 解得，， 5-m=5-3=2， 的次数与多项式的次数相同， ， 解得，． （2）各项的系数之和为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数与项，单项式的次数，解题关键是依据多项式的次数和单项式的次数的意义建立方程；注意：多项式每一项的系数包括前面的符号． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【答案】A 【分析】根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】多项式3-2xy+6y-5-4y中，x的次数依次为1,2,3,4，y的次数依次为1,1,2,1， 故选A. 【点睛】此题考查多项式，解题关键在于掌握其定义. 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（   ） A．4分 B．6分 C．8分 D．10 【答案】C 【详解】根据两个负数，绝对值大的反而小，可得-3>-3.1，（1）正确，符合题意； （2）倒数等于本身的数是±1，（2）正确，符合题意； （3）多项式按字母x的降幂排列为，（3）正确，符合题意； （4）多项式的次数是2，（4）错误，不符合题意； （5）代数式-（m-n）去括号后是-m+n，（5）正确，符合题意． 所以该同学做对了4题，得8分， 故选C． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将多项式按字母的降幂排列是 ； 【答案】． 【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答． 【详解】多项式的各项是，，， 按x降幂排列为． 故答案为． 【点睛】此题考查的多项式的次数排列，本题降幂排即从x的最高次幂排到最低次幂． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列多项式：；；；；…则第n个多项式为 . 【答案】（n+1）a+bn 【分析】观察发现，每个多项式都是二项式，字母a的系数从2开始依次增加1，字母b的指数从1开始依次增加1，所以根据此规律可求出答案. 【详解】；；；；…则第n个多项式为(n+1)a+bn. 【点睛】本题考查根据多项式找规律，学生们认真分析各项找到规律即可. 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【做一做】列代数式 （1）已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为　 　； （2）某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，则比山脚高x米处的温度为　 　℃； （3）已知某礼堂第1排有18个座位，往后每一排比前一排多2个座位．则第n排共有座位数　 　个． 【数学思考】 （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的　 　； （5）请你任意写一个关于x的这种类型的数字系数的二次式　 　； （6）用字母表示系数，写一个关于x的二次三项式，并注明字母系数应满足的条件　 　； 【问题解决】 （7）若代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，求m的值． 【答案】（1）100c+10b+c；（2）（﹣0.007x+28）；（3）（2n+16）；（4）多项式；（5） x2+1；（6）ax2+bx+c（a、b、c均不为0）；（7）-2． 【分析】（1）根据题意，用含a、b、c的代数式表示出这个三位数即可； （2）根据题意，用含x的代数式表示出比山脚高x米处的温度即可； （3）根据题意，用含n的代数式表示出第n排的座位数即可； （4）根据前三个小题的结果判断即可； （5）根据整式的相关概念按要求写出即可； （6）根据多项式的相关概念按要求写出即可； （7）根据多项式的相关概念可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 【详解】解：（1）由题意可得， 这个三位数可表示为100c+10b+a， 故答案为：100c+10b+c； （2）由题意可得， 比山脚高x米处的温度为：28﹣×0.7＝﹣0.007x+28， 故答案为：（﹣0.007x+28）； （3）由题意可得， 第n排共有座位18+2（n﹣1）＝18+2n﹣2＝2n+16， 故答案为：（2n+16）； （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的多项式， 故答案为：多项式； （5）关于x的这种类型的数字系数的二次式可以是：x2+1， 故答案为：x2+1； （6）由题意可得，满足条件的多项式可以是：ax2+bx+c（a、b、c均不为0）， 故答案为：ax2+bx+c（a、b、c均不为0）； （7）∵代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式， ∴|m|＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2， 即m的值是﹣2． 【点睛】本题考查整式的相关概念以及列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【拓展训练一 整式中的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化规律，观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数的是从3开始的第个数，即可得出答案， 观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键．还要熟练掌握求和公式． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数， ∴从到的奇数的个数为：， ∵， ∴， ∴奇数是从开始的第个奇数， ∵， ∴第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子， 第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形变化的规律，根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题，理解题意，发现规律是关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； ， 所以第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）阅读并思考 观察并找出规律：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和（S） 1 2 3 4 … … (1)当时，和S的等式为________ (2)按此规律计算： ①值； ②值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数的规律探索，正确找到变化规律是解题的关键． （1）根据，，，总结规律可得，，再利用规律解题即可． （2）①根据，确定偶数的个数为100，利用（1）中的规律计算即可； ②将变形为，再按照规律计算即可． 【详解】（1）解：根据， ， ， 归纳可得：． ∴当时， 和S的等式为：； （2）解：①∵， ∴； ② ． 【拓展训练二 单项式的规律问题】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题可知， 所给单项式的系数依次为，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：； 当时， 第个单项式为：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【答案】 【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是指数的规律：第个对应的指数是，进而解答即可． 【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律： ①系数：，得系数规律为， ②字母及其指数：，得到字母规律为， 综合起来规律为， 第个单项式是，第个单项式为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1） ； （2） ． 【答案】 2 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据（且为整数），代入即可求出答案； （2）找到这列数每三个为一个循环周期，且，进一步即可求出答案． 【详解】解：（1）因为，（且为整数）， 所以； 故答案为：2； （2），；…；由此可以看出，这列数每三个为一个循环周期， 因为，， 所以． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，数字规律． （1）直接根据题干计算即可； （2）计算的值，进而判断即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知， ， ， ； （3）解：， ． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）单项式的系数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查单项式的系数定义，熟记定义并应用解答问题是关键．单项式中的数字因数是单项式的系数，根据定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数为． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 【答案】A 【分析】本题考查整式的次数，根据多项式的次数概念即可求出答案． 【详解】解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．观察图形可知第一个图案为个窗花；第二个图案为个窗花；第三个图案为个窗花；……由此得到：第n个图案所贴窗花数，即可求解． 【详解】解：第一个图案为个窗花； 第二个图案为个窗花； 第三个图案为个窗花； …… 由此得到：第n个图案所贴窗花数为个． 故选：D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）按一定规律排列的单项式：， ， ，   ， ， ，…则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式中的规律探究，奇数位为负，偶数位为正，系数的分母为，分子为，字母为，指数为从1开始连续的整数，据此进行判断即可． 【详解】解：， ， ，   ， ， ，… 故第n个单项式是； 故选A． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个五角星，所以可得规律为：第个图形中共有个五角星，即可求解． 【详解】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 第4个图形中五角星的个数为：， 所以由规律可知：第个图形中五角星的个数为， 则第9个图形中五角星的个数为：，故选项A符合题意． 故选：A． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排列，熟练掌握确定各项中指定字母的指数并按从高到低顺序排列是解题的关键．先确定多项式中每一项的指数，然后依据指数大小从高到低重新排列各项． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东阳江·阶段练习）多项式的次数是 ，二次项系数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查多项式的次数，系数．多项式包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数．次数为2的单项式的数字因数即为二次项系数，由此可解． 【详解】解：多项式的次数，即单项式的次数，， 其中二次项为，系数为， 故答案为：5，． 9．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． 通过观察题意可得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为，由此得到答案． 【详解】解：依题意得各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 故第3个单项式的系数为，第n个单项式的系数为， 每个单项式的字母均为x，依次为, 故第3个单项式的字母为，第n个单项式的字母为， ∴第3个单项式为，第n个单项式为， 故答案为（1），（2）． 10．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）如图所示的9个圆圈，在4个小的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点处，在图上将这9个数字填入圆圈，要求这7个三角形中每个三角形3个顶点上的数字之和都相等．请将正确数字按顺序填写在空格中：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 【答案】 6 13 8 11 9 7 10 5 12 【分析】本题主要考查了数字规律探索，先根据图形中外部的三个小等边三角形三个顶点处的三个数字之和都相等，即把的和81平均分成3份，把9个数分成3组，得到相应的和相等的无次序的数，且和应该为27，则得出三组数据分别为6、8、13；5、10、12；7、9、11；再从上面的三组数据中各取一个数字使它们的和是27，且满足中间的小三角形和外部大三角形的各个顶点处的数字之和都等于27，那么其余各组的位置也基本确定，据此即可解答． 【详解】解：因为图形中外部的三个小等边三角形三个顶点处的三个数字之和都相等，即把的和81平均分成3份， 则外部每个小三角形三个顶点处数字的和应该是：， 因此应把9个数分成3组，得到相应的和相等的无次序的数，且和应该为27， 所以分别为：6、8、13；5、10、12；7、9、11； 还要满足中间的小等边三角形的三个顶点处的数字之和以及外部的大等边三角形的三个顶点处的数字之和也是27， 则从上面的三组数据中各取一个数字使它们的和是27，且满足中间的小三角形和外部大三角形的各个顶点处的数字之和都等于27，如图所示： 故答案为：①6；②13；③8；④11；⑤9；⑥7；⑦10；⑧5；⑨12． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：单项式：，，   故答案为：，； （2）解：多项式：，，， 故答案为：，，； （3）解：整式：，，，，， 故答案为：，，，，． 12．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 【答案】四次五项式；二次项为，一次项为x，常数项是 【分析】本题考查了多项式的相关定义，熟练掌握多项式的有关定义是解题的关键．根据多项式的次数，项等定义解答即可． 【详解】解：该多项式的次数是4，项数是5，因此该多项式是四次五项式，它的二次项为，一次项为x，常数项是． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   【答案】 【分析】本题考查了数字规律，找到规律是解题的关键． 观察每一行末尾的数字，发现：第1行末尾的数字；第2行末尾的数字，第3行末尾的数字；……可以总结出规律，每一行末尾的数字都是行数的平方，则第19行末尾的数是，所以第20行的第一个数是362，那么第7个数是，即可作答． 【详解】解：观察图中数字排列： 第1行末尾的数字； 第2行末尾的数字， 第3行末尾的数字； …… 以此类推：每一行末尾的数字都是行数的平方， 则第19行末尾的数是， ∴第20行的第一个数是362， 那么第7个数是， 即第20行第7个是． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $