2.2 平方根与立方根同步练习-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.2 平方根与立方根 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•射洪市期末）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 2．（2024秋•安岳县期末）已知，则（a+b）5的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 3．（2024秋•东区期末）49的平方根是（　　） A．±7 B．7 C．± D． 4．（2024秋•海州区校级期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•郴州期末）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　） A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm 6．（2024秋•淅川县期末）下列说法中正确的是（　　） A．±4 B．0.09的平方根是0.3 C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 7．（2024秋•安化县期末）下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是±8 C．立方根等于它本身的数只有1 D．正数的平方根有两个，立方根也有两个 8．（2025•裕华区校级开学）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是﹣64时，输出y的值是（　　） A．﹣4 B． C．﹣2 D． 二．填空题（共3小题） 9．（2025•成都校级开学）已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　 　 ，这个正数为　 　 ． 10．（2025•广平县校级开学）如图，已知正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9，则长方形HBCG的周长为　 　 ． 11．（2025春•龙胜县期中）如果，，那么　 　 ． 三．解答题（共2小题） 12．（2024秋•道县期末）已知实数a，b，c满足：，求： （1）a，b，c的值． （2）的算术平方根． 13．（2025春•琼海校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 2.2 平方根与立方根 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•射洪市期末）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【考点】立方根；平方根；算术平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．9的平方根是±3，不符合题意； B.，不符合题意； C．4的算术平方根是2，符合题意； D．9的立方根是，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 2．（2024秋•安岳县期末）已知，则（a+b）5的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方． 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得a+2＝0，b﹣1＝0，从而可得a＝﹣2，b＝1，然后代入计算即可得． 【解答】解：由题意可得：， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴原式＝（﹣2+1）5＝（﹣1）5＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 3．（2024秋•东区期末）49的平方根是（　　） A．±7 B．7 C．± D． 【考点】平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】A 【分析】根据平方根的定义即可得出答案． 【解答】解：49的平方根是±7． 故选：A． 【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键． 4．（2024秋•海州区校级期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】算术平方根． 【专题】常规题型． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、9，故本选项错误； D、13，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，对各选项分别计算即可判断，是基础题，难度不大． 5．（2024秋•郴州期末）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　） A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm 【考点】算术平方根． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】B 【分析】利用二次根式的运算法则计算． 【解答】解：ρ＝55， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的计算法则． 6．（2024秋•淅川县期末）下列说法中正确的是（　　） A．±4 B．0.09的平方根是0.3 C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 【考点】立方根；平方根；算术平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 【解答】解：A选项，4，故该选项不符合题意； B选项，0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C选项，1的立方根是1，故该选项不符合题意； D选项，0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 7．（2024秋•安化县期末）下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是±8 C．立方根等于它本身的数只有1 D．正数的平方根有两个，立方根也有两个 【考点】立方根；平方根；算术平方根． 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A．4的算术平方根是2，选项说法正确，符合题意； B． ，8的平方根是，选项说法错误，不符合题意； C．立方根等于它本身的数是±1和0，选项说法错误，不符合题意； D．正数的平方根有两个，立方根有1个，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，掌握算术平方根，平方根，立方根的概念是关键． 8．（2025•裕华区校级开学）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是﹣64时，输出y的值是（　　） A．﹣4 B． C．﹣2 D． 【考点】立方根；无理数；有理数． 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】根据数字转换器的流程，对输入的x值进行处理，首先去立方根，然后判断结果是有理数还是无理数，如果是有理数则再次去立方根，直到结果为无理数． 【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64， ∴﹣64的立方根是﹣4，﹣4是有理数， ∴﹣4的立方根是． 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，有理数定义，无理数定义，掌握立方根定义，有理数定义，无理数定义是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 9．（2025•成都校级开学）已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　﹣4　 ，这个正数为　81　 ． 【考点】平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】﹣4，81． 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和等于0，可得：（5﹣a）+（2a﹣1）＝0，据此求出a的值是多少，进而求出这个正数是多少即可． 【解答】解：由题意可得：（5﹣a）+（2a﹣1）＝0， a＝﹣4， ∴这个正数是：[5﹣（﹣4）]2＝81． 故答案为：﹣4，81． 【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 10．（2025•广平县校级开学）如图，已知正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9，则长方形HBCG的周长为　14　 ． 【考点】算术平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】14． 【分析】设正方形ABCD的边长为a（a＞0），正方形GCEF的边长为b（b＞0），根据题意得出a2+b2＝31，ab＝9，再根据完全平方公式得出（a+b）2＝a2+b2+2ab＝31+2×9＝49，求出a+b＝7即可得出答案． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a（a＞0），正方形GCEF的边长为b（b＞0）， ∵正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9， ∴a2+b2＝31，ab＝9， ∴（a+b）2 ＝a2+b2+2ab ＝31+2×9 ＝31+18 ＝49， ∵a+b＞0， ∴a+b＝7， ∴长方形HBCG的周长为：2（a+b）＝2×7＝14， 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握正方形、长方形的面积公式和完全平方公式． 11．（2025春•龙胜县期中）如果，，那么　13.33　 ． 【考点】立方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】13.33． 【分析】根据立方根的被开方数向右移动三位，结果向右移动一位得出结果． 【解答】解：∵，， ∴13.33， 故答案为：13.33． 【点评】本题考查立方根，掌握立方根的被开方数移动的规律是解题关键． 三．解答题（共2小题） 12.（2024秋•道县期末）已知实数a，b，c满足：，求： （1）a，b，c的值． （2）的算术平方根． 【考点】算术平方根；非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）a＝﹣4，b＝5，c＝3； （2）． 【分析】（1）原式可化为，由非负数的性质即可求解； （2）由（1）中所求a，b，c的值，代入即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵，|5﹣b|≥0，（c﹣3）2≥0， ∴，|5﹣b|＝0，（c﹣3）2＝0， ∴a＝﹣4，b＝5，c＝3； （2）由（1）知a＝﹣4，b＝5，c＝3， ∴a+b+c＝﹣4+5+3＝4， ∴2， 即的算术平方根是． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零；求算术平方根；掌握算术平方根、绝对值与平方数的非负性质是解题的关键． 13．（2025春•琼海校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【考点】算术平方根． 【专题】新定义；分类讨论；实数；运算能力． 【答案】（1）证明过程见解答，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）a的值为1或100． 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵4，6，12， ∴2，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时，可得，解得：a＝0（舍去）， ②当a≤4＜25时，可得，解得：a＝1，经检验符合题意， ③当4＜25≤a时，可得，解得：a＝100，经检验符合题意． 综上所述，a的值为1或100． 【点评】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $