2.2 第1课时 算数平方根（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学导学案聚焦算术平方根，引导学生通过正方形面积求边长的情境活动，从具体实例抽象出算术平方根概念，掌握其性质及双重非负性，为后续平方根、立方根学习搭建认知支架。 导学案以情境问题驱动探究，通过合作交流、例习题结合，培养学生抽象能力与符号意识，强化运算能力和推理意识。实际应用案例（如长方形边长、自由下落时间）提升应用意识，助力学生用数学眼光观察、思维分析现实问题。

第2章 实数 2.2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 【素养目标】 1. 通过实例了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根, 发展抽象思维, 培养符号意识. 2. 根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根, 并总结其性质,发展数感. (重点) 3. 了解并掌握算术平方根的双重非负性,并利用这一性质进行运算,培养应用能力和运算能力. (难点) 【情境导入】 活动1 : 计算下表中各正方形的边长: 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/ dm 问题1 : 各正方形的边长与面积之间有什么关系？ 问题2 : 以上数据中, 面积和边长的大小有什么特点? 【合作探究】 探究点一、算术平方根的概念和性质 活动2: (1) 结合图形完成填空: (2) 中哪些是有理数,哪些是无理数? 算术平方根:一般地,如果一个正数 的平方等于 ,即 ,那么这个正数 就叫作 的算术平方根. 特别地,我们规定: 0的算术平方根是 0 ,即 。 【思考·交流】 1. 一个正数的算术平方根有几个? 2. 0的算术平方有几个? 3. -1有算术平方根吗? 负数有算术平方根? 怎么理解 基本条件: . 数的角度: 是一个非负数. 关系的角度: 的平方是 是 的算术平方根; 形的角度: 不计入 是一个面积为正数 的正方形的边长. 算术平方根具有双重非负性. 例1 求下列各数的算术平方根: (1) 900 ; (2) 1 ； (3) ； (4) 14 . 【练一练】1. 计算: 观察例1中得到的几个式子: (1) 一些数的算术平方根的结果没有 “” 了,这些数有什么特点? (2) 在上面的式子中, ,也就是 ,一般地,当 时, 成立吗? 想一想: 时, 还成立吗? (3) 成立吗? 这里的是什么数？你是怎么理解的? 与同伴进行交流. 【要点归纳】 当 时, ;当 时, . 议一议: 如何区别 与 ? 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 例2 若 ,求的值. 【练一练】2. 填空: (1)若 ,则 ； (2) 若 ,则 ； (3) 若 ,则 ； (4)若 ,则式子 . 到目前为止,表示非负的式子有:____________________________________. 探究点二: 算术平方根的简单应用 活动3 : 用一根绳子围成一个长、宽之比为 , 面积为的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗? 问题2 : 用另一根绳子围成一个正方形(如图②), 且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积, 你能求出正方形的边长吗？ 例3 自由下落物体下落的距离 (米)与下落时间 (秒) 的关系为 . 有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间? 当堂反馈 1. 64的算术平方根是( ) A. -8 B. ±8 C. 4 D. 8 2. 一个数的算术平方根是3 , 则这个数是( ) A. B. 9 C. D. ±9 3. (1) ; (2) ; (3) 若 ,则 . 4. 填表. 25 0.16 结果 5. 有一个长方形的花坛, 长是宽的 4 倍, 其面积为 ,求该长方形花坛的长和宽各是多少. 参考答案 活动1: 计算下表中各正方形的边长: 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/ d m 2.5 1 3 4 6 问题1 : 正方形的边长的平方等于面积值。 问题2 : 面积越大,边长越大。 探究点一: 算术平方根的概念和性质 活动2: (1)结合图形完成填空: (2) 是有理数, 这些无理数又该如何表示呢? 是无理数. 【思考·交流】1. 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 2. 0 的算术平方根有一个, 是 0 . 3. 负数没有算术平方根. 例1 解:(1) 因为 , 所以 900 的算术平方根是 30, 即 ； (2) 因为 ,所以 1 的算术平方根是 1 ,即 ; (3) 因为 ,所以 的算术平方根是 ,即 ; (4) 14的算术平方根是 。 【练一练】1. 议一议: 如何区别 与 ? 从运算顺序看 先开方,后平方 先平方,后开方 从取值范围看 取任意实数 从运算结果看 例2 解: 因为 ,又 , 所以 .所以 .所以 . 【练一练】2. 填空: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 探究点二: 算术平方根的简单应用 活动3: 解: 设长方形的长为 ,宽为 . 根据边长与面积的关系得 , 即 . 由边长的实际意义,得 . 因此长方形的长为 ,宽为 . 问题2:解:由正方形的面积为 易知,正方形的边长为 . 例3 解: 将 代入公式,得19. ,即 ,所以 . 即铁球到达地面需要 2 秒. 当堂反馈 1. D 2. B 3. (1) ; (2) ; (3) . 4. 25 0.16 结果 5 0.4 5. 解: 设该长方形花坛的宽为 ,则长为 . 由题意得 , 即 ,所以 . 则 . 故该长方形花坛的长为 ,宽为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $