精品解析：江苏省南京市江宁高级中学2025-2026学年高二上学期9月调研考试数学试卷

高二年级调研考试数学试卷 试卷满分150分，时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，第小题5分，共40分） 1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为. 故选：C. 2. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为5，所以该圆锥的侧面积为. 故选：B. 3. 复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则及乘方运算得到，从而得到在复平面内对应的点坐标，所在象限. 【详解】因为， 故， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 故选：A. 4. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误. 【详解】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 6. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2， ∴截得弦长为. 故选：D 【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 8. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，第小题6分，共18分） 9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则下列不正确的是（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可． 【详解】对于选项A，讲座前问卷答题的正确率的中位数为，故A不正确； 对于选项B，在讲座后问卷答题的正确率中，1个，4个，剩下的5个大于等于， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，故B正确； 对于选项C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C不正确； 对于选项D，讲座后问卷答题的正确率的极差为， 而讲座前问卷答题的正确率的极差为，故D不正确． 故选：ACD． 10. 已知椭圆：，：，则（ ） A. ，的焦点都在轴上 B. ，的焦距相等 C. ，没有公共点 D. 离心率比离心率小 【答案】BCD 【解析】 【分析】将椭圆化成标准方程，结合椭圆的的方程，根据椭圆的焦点，焦距，离心率等概念逐项判断，即可得到结果. 【详解】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确； 因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确； 联立椭圆，的方程，消除，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确； 因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确． 故选：BCD. 11. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积计算可判断A，由共线向量的坐标表示可判断B，根据投影向量的计算公式可判断C，利用向量模的坐标表示及均值不等式、二次函数的最值可判断D. 【详解】若，，，所以， 所以，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； 因为，所以， 令，当时，则由均值不等式，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 则（或）， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出示意图，结合椭圆离心率的定义计算. 【详解】如图可知，结合题意，， 设圆柱底面半径是， 则椭圆的长轴，短轴， 故，则， 离心率. 故答案为： 13. 记的内角的对边分别为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助正、余弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则，即. 故答案为：. 14. 已知函数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式先得到，结合可判断更精确的范围，然后结合两角和的正弦公式求解. 【详解】， 由题知，，即， 由可得，， 注意到，进而， 于是， 故答案为： 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，. （1）若，求过点且与直线平行的直线方程； （2）求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程． 【答案】（1）； （2）由， 可得：， 由，可得， 即直线经过一个定点； 由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，所以， 所以直线的方程为, 即. 【解析】 【分析】（1）求出直线l的斜率为2，进而利用点斜式求出直线方程，得到答案； （2）由方程组即可求证，当时距离最大，从而求出直线的斜率，代入点斜式方程化为一般式方程即可求解. 【小问1详解】 当时，直线l的方程为，斜率为， 则过点且与直线l平行的直线方程为， 即； 【小问2详解】 略 16. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； （3）设为椭圆上任意一点，当最大时，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，设，则， 令到直线距离为，则 ， 所以到距离与到直线距离之比为定值. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的定义列式求出. （2）由（1）的结论，利用椭圆范围，结合两点间距离、点到直线距离公式计算得证. （3）利用椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆经过点，得，于是， 所以所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，， 在中，由余弦定理，得 ，当且仅当时取等号， 由余弦函数在上单调递减，得当时，取最大值， 此时， 所以当最大时，的面积为. 17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 18. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的正切值； （3）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 又因为直三棱柱中，为的中点，所以且， 所以且，故四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）构造辅助线，利用线面平行判定定理； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，求出二面角的平面角的正切值； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令，得，故， 设二面角的平面角为，则，则， 所以； 【小问3详解】 由，，，得， 设，则， ，， 由得，解得， ，，设平面的法向量为， 则，令，得，故， ， 设与平面所成角为，则 19. 在平面直角坐标系中， 已知圆和圆 . （1）若直线过点 ，且被圆截得的弦长为 ， 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足： 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和 ， 它们分别与圆和圆 相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)或，(2)点P坐标为或． 【解析】 【详解】(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－. 所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0. 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有， 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5. 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级调研考试数学试卷 试卷满分150分，时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，第小题5分，共40分） 1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，第小题6分，共18分） 9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则下列不正确的是（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 10. 已知椭圆：，：，则（ ） A. ，的焦点都在轴上 B. ，的焦距相等 C. ，没有公共点 D. 离心率比离心率小 11. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________． 13. 记的内角的对边分别为，若，则___________． 14. 已知函数，则的值为___________． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，. （1）若，求过点且与直线平行的直线方程； （2）求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程． 16. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； （3）设为椭圆上任意一点，当最大时，求的面积． 17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 18. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的正切值； （3）若，，，求与平面所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中， 已知圆和圆 . （1）若直线过点 ，且被圆截得的弦长为 ， 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足： 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和 ， 它们分别与圆和圆 相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $