精品解析：2026届四川省仁寿第一中学校（北校区）高三模拟预测数学试题

2023级高三模拟预测 数学试卷 满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，从而得到集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，根据函数奇偶性求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，. 所以. 故选：A. 3. 将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分步原理的应用求出结果． 【详解】解：根据分步原理的应用， 所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种， 故一共有种投法． 故选：C． 4. 在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件表示“第1次摸到的是红球”，事件表示“第2次摸到的是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，分别求出，，利用条件概率公式求出答案． 【详解】设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件， 则“第一次摸到红球”的概率为： “在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是 由条件概率公式有 故选：A 【点睛】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率，弄清楚事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．属于中档题． 5. 在展开式中，含的项的系数是（ ） A. 220 B. -220 C. 100 D. –100 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘法法则将，1分别与展开式的，项相乘即可计算作答. 【详解】展开式的通项为， 于是得，， 则展开式中含的项是， 所以含的项的系数是. 故选：D 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. -3或2 D. 3或-2 【答案】A 【解析】 【分析】 将已知条件转化为的形式，由此求得的值. 【详解】依题意， 两式相除得，即，即， 解得或. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 7. 习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值. 【详解】设排放前需要过滤次，则，， ， 又，，即排放前需要过滤的次数至少为次. 故选：C. 8. 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为，当x>0时，f(x)+x>0，且，则不等式(x2﹣2x)f(x)<0的解集为（ ） A. (﹣∞，﹣1)∪(1，2) B. (﹣1，1) C. (﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D. (﹣1，0)∪(0，1) 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，则g(x)为定义在R上的偶函数，求导，利用已知不等式可得g(x)在(0，+∞)上单调递增，利用奇偶性和单调性可求出结果. 【详解】因为(x2﹣2x)f(x)=x(x﹣2)f(x)， 所以记g(x)=xf(x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以g(x)为定义在R上的偶函数， 又g′(x)=f(x)+xf′(x)， 因为当x>0时，f(x)+xf′(x)>0， 所以当x>0时，g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又f（1）=0，所以g（1）=0， 不等式(x2﹣2x)f(x)<0等价于(x﹣2)g(x)<， 所以或， 所以或， 所以或， 所以或. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用的奇偶性和单调性求解是解题关键. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为20 D. 二项式系数最大的项为第3项 【答案】AB 【解析】 【分析】 由二项式系数为可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD. 【详解】解：A. 所有项的二项式系数和为，故A正确， B.令得所有项的系数和为，故B正确， C.常数项为，故C错误， D.展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误. 故选：AB. 10. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可. 【详解】解：根据题意， 由.故A正确； 因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确； 由于，故C正确； 因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数在上有1011个零点 D. 函数在上为减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误. 【详解】函数关于点对称， 关于对称，， ，关于对称， 当，时，都有， 在单调递增， 综上，可画草图， 可知，是以4为周期的函数， 则， ，故A正确； 可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，故B正确； 在的零点个数有个，故C正确； 在的图象和在的图象一致，应为增函数，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性的综合运用，属于中档题. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 计算：__________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝． 故答案为：1． 13. 在等差数列中，，若数列的前n项之和为，则__________． 【答案】100 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答. 【详解】设等差数列公差为，由得：，则， ，当n为偶数时，， 所以. 故答案为：100 14. 已知函数（e为自然对数的底数），若关于x的方程有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得当时，有两个零点，进而可得有两个正数解，利用数形结合即可求得的取值范围. 【详解】令，可得， 所以函数为偶函数， 由题意可知当时，有两个零点， 当时，，， 即当时，， 由，可得，即方程在上有两个正数解， ∵函数的导函数为在上恒成立， ∴作出函数与直线大致图象如下图 ∵方程在上有两个正数解，恒过点， ∴， 由相切，设切点为， 由可得，故切线的斜率为， 所以切线的方程为， 由切线过，可得， 解得或（舍去）， 故切线的斜率为，即， 所以当时，直线与曲线由两个交点， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： （1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） 当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的极值定义求解； （2）利用导数法求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 令得，， 当或时，， 当时，， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. 【小问2详解】 由（1）知：当时，取得极小值， 又， 所以函数在区间上的值域是. 16. 某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响. （1）求甲能通过测试的概率； （2）记X表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 ， 【解析】 【分析】（1）记表示甲第次试跳通过测试，用互斥事件和独立事件的概率计算公式计算； （2）记表示乙第次试跳通过测试，用表示取值对应的事件，计算概率得到分布列，由期望计算公式计算期望. 【小问1详解】 记表示甲第次试跳通过测试，（），则“甲通过测试”表示为 . 【小问2详解】 记表示乙第次试跳通过测试，（）， ； ； ； 所以的分布列为： 2 3 4 17. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和等比数列的基本量法求出通项即可； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以经验证满足通项，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式做差可得， 所以. 18. 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年． （1）若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？ （2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）． 参考数据：，，，， 72.65 2.25 126.25 4.52 235.48 49.16 参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）的拟合效果更好 （2），亿元 【解析】 【分析】（1）根据相关系数即可得出答案； （2）根据最小二乘法结合题中数据求出，即可求出回归方程，再根据回归方程即可求出该县2025年的乡村经济收入的估计值. 【小问1详解】 解：因为更接近1，所以的拟合效果更好. 【小问2详解】 解：根据题中所给数据得， 则， 所以回归方程为， 2025年的年份代码为14， 当时，， 所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元. 19. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，没有零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数； （3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. 【小问1详解】 ， 依题意，，解得． 【小问2详解】 的零点的根． 设， ①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数． 取，取， 所以在上有且仅有一个零点； ③当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而． 当时，没有零点； 当时，在上有且仅有一个零点； 当时，， 取，取， 所以在上有两个零点． 综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． 【小问3详解】 ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三模拟预测 数学试卷 满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件表示“第1次摸到的是红球”，事件表示“第2次摸到的是红球”，则（ ） A. B. C. D. 5. 在展开式中，含的项的系数是（ ） A. 220 B. -220 C. 100 D. –100 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. -3或2 D. 3或-2 7. 习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为，当x>0时，f(x)+x>0，且，则不等式(x2﹣2x)f(x)<0的解集为（ ） A. (﹣∞，﹣1)∪(1，2) B. (﹣1，1) C. (﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D. (﹣1，0)∪(0，1) 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为20 D. 二项式系数最大的项为第3项 10. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 11. 已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数在上有1011个零点 D. 函数在上为减函数 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 计算：__________ 13. 在等差数列中，，若数列的前n项之和为，则__________． 14. 已知函数（e为自然对数的底数），若关于x的方程有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的值域. 16. 某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响. （1）求甲能通过测试的概率； （2）记X表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量X的分布列及数学期望． 17. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 18. 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年． （1）若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？ （2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）． 参考数据：，，，， 72.65 2.25 126.25 4.52 235.48 49.16 参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $