22.2二次函数与一元二次方程讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理二次函数图象与x轴交点（由判别式决定方程根的情况）、抛物线与直线交点（转化为方程组解的问题）、利用图象求方程近似解的步骤、抛物线与不等式解集关系等知识点，构建从基础关系到综合应用的学习支架。 资料以“数学眼光”整合函数、方程、不等式，通过判别式分析根的情况培养抽象能力，结合图象解决问题发展几何直观。典型例题与分层练习设计，助力学生在推理运算中提升数学思维，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固强化，有效查漏补缺。

二次函数与一元二次方程讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程。 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点二：抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 知识点三：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点四：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数图象与坐标轴交点 【典型例题】 例1．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是 . 【巩固训练】 1.抛物线与轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 2.抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 3.抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 类型二：二次函数图象与x轴的公共点个数 【典型例题】 例2．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【巩固训练】 1．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 2.关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 3.如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型三：二次函数与一元二次方程的关系 【典型例题】 例3.二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（       ） A． B．， C．， D．， 【巩固训练】 1.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 2．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 3．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 类型四：抛物线与不等式的关系 【典型例题】 例4．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【巩固训练】 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 3．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【综合训练】 1．抛物线与y轴的交点为（　　） A． B． C． D． 2.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 4．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 5．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 7．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若它与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，图像与x轴另一个交点的坐标是___；当函数值y＜0时，x取值范围是___． 8.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 二次函数与一元二次方程讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程。 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点二：抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 知识点三：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点四：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数图象与坐标轴交点 【典型例题】 例1．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是 . 【答案】 【巩固训练】 1.抛物线与轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 2.抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 3.抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 类型二：二次函数图象与x轴的公共点个数 【典型例题】 例2．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【巩固训练】 1．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 【答案】A 2.关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 3.如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 类型三：二次函数与一元二次方程的关系 【典型例题】 例3.二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（       ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【巩固训练】 1.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 【答案】， 2．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 【答案】 3．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 【答案】x＝3 类型四：抛物线与不等式的关系 【典型例题】 例4．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【巩固训练】 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 3．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 【综合训练】 1．抛物线与y轴的交点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【答案】C 4．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 【答案】C 5．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 7．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若它与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，图像与x轴另一个交点的坐标是___；当函数值y＜0时，x取值范围是___． 【答案】    ；     8.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点坐标为， ∵该抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大； 【小问2详解】 解：由图象可知，抛物线经过点和 将点和代入抛物线中， 解得：，， 所以该抛物线解析式为：； 把代入得 故抛物线与轴的交点坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $