22.2 二次函数与一元二次方程 讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数讲义 2025-2026学年人教版九年级上册 22.2 二次函数与一元二次方程 考点一： 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数图象与x轴的交点情况): 一元二次方程ax²+bx+c=0 是二次函数 y=ax²+bx+c当函数值 y=0 时 的特殊情况. 2.抛物线 y=ax²+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c). 例题： 1. (2025·上海虹口·一模)抛物线y=(x-1)2+3与y轴的交点是_______． 2.（22-23广东江门·期中）抛物线y=x2+x-2与x轴的交点坐标为___________． 3.（2024·浙江·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的交点横坐标分别为1，4，则抛物线y=ax2+（b-m）x的对称轴为直线x=________． 4.（23-24北京西城·期中）关于二次函数y=x2-3x-1的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D.无法判断 5.（2021·河南·二模）若二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴无交点，则m的取值范围为（   ） A．m＜1 B．m＞1 C.m＞-1且m≠0 D.m＜1且m≠0 1. 【答案】（0，4） 2. 【答案】（-2，0）或（1，0） 3. 【答案】抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的交点横坐标分别为1，4， ∴抛物线y=ax2+(b-m)x必过(1,0),(4，0)两点， ∴抛物线y=ax2+(b-m)x的对称轴为直线x= 4. 【答案】A 5. 【答案】B 考点二：用二次函数的图象解一元二次方程 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)可以看成是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的函数值等于0时的特殊情况,因此抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的根. 用二次函数的图象解一元二次方程的近似根时，根的整数部分可以观察图象得到,根的小数部分的探求需用到函数的性质.当x取x1,x2时,若对应的y1，y2异号,则方程必有一根在x1 与 x2 之间,据此采用逐步逼近的方法能使得到的根的精确度越来越高. 例题： 1.（2022·甘肃·一模）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是___________ 2.（24-25广东珠海·期中）如表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程x2+3x-5=0的一个根是（   ） x 1 y A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4 3.（24-25广东深圳·期中）根据如表表格的对应值，估计关于x的方程x2+mx-3=0的一个解的范围是（） x A.0.4＜ x＜0.5 B.0.5 ＜x＜0.6 C.0.6＜x＜ 0.7 D.0.7＜x＜ 0.8 1. 【答案】x1=-1或x2=3 2. 【答案】B 3. 【答案】C 考点三：二次函数与一元二次不等式的关系 求不等式ax²+bx+c>0的解集,就是求x为何值时,二次函数 y=ax²+bx+c的 函数值 y>0;求不等式 ax²+bx+c<0 的解集,就是求x为何值时,二次函数 y= ax²+bx+c的函数值 y<0.具体如下表:(以a>0为例) b2-4ac的符号 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 y= ax²+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点 ax²+bx+c=0(a>0)的根 两不等实数根 两相等实数根 x=- 无解 ax²+bx+c>0(a>0) x<x1或x>x2 x≠- 全体实数 ax²+bx+c<0(a>0) x1<x<x2 无解 无解 由二次函数的图象确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图象与x轴的交点.图象在x轴上方的部分,所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式 ax²+bx+c>0的解集.图象在x轴下方的部分,所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集. 例题： 1.（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+h相交于（-2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx-h＞kx-c成立时，x的取值范围是_____． 2.（2024·东莞·模拟预测）如图，已知二次函数y1=ax2-2x+c经过点B（3，0）和点C（0，3），     (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数y2=kx+b经过B、C两点，直接写出不等式ax2-2x+c＜kx+b的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求三角形ABC的面积． 3.（2022·广东汕头·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为-1＜x＜2；③4a+2b+c＜0；④8a+c＜0．其中正确结论的个数为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 1.【答案】-2<x<2 解:.抛物线 y=ax2+bx+c与直线y=kx+h相交于(-2,m),(2,n)两点，由图可知，当ax2+bx+c>kx+h时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时-2<x<2,ax2+bx-h＞kx-c的解集为-2<x<2，不等式ax2+bx-h>kx-c的解集为-2<x<2. 2.【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)0<x<3 (3)6 3.【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $