22.3实际问题与二次函数第3课时教学设计 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 第三课时 “桥”见中国—拱桥问题 一、 课标分析 在2022 版义务教育数学课程标准中，对二次函数实际应用的要求是“能用二次函数解决简单的实际问题”。这突出了学生要会综合运用所学知识及能力，在真实情境中，自主完成“发现问题→建立模型→求解验证→回归实际”的完整过程，偏向核心素养层面。对于拱桥问题而言，课标要求的核心是让学生以“桥梁纵截面的抛物线特征”为载体，将“拱顶高度、水面宽度、水位变化”等实际条件，转化为二次函数“顶点坐标、图像上的点、函数解析式”，最终用函数性质解决“宽度计算、高度求解”等实际问题，本质是考查数学建模能力与应用意识。 二、教材分析 1、教材地位与作用：本节课是实际问题与二次函数的第3课时，前两课时已学习二次函数的图像、性质及在利润、面积问题中的应用，本节课聚焦“抛物线形实物模型”（拱桥、悬索桥），是二次函数“数形结合”思想的延伸，也是从“数学理论”到“实际应用”的关键过渡。其核心是引导学生将实物的几何特征（如拱顶高度、水面宽度）转化为二次函数的坐标与解析式，为后续学习二次函数与几何综合题、高中圆锥曲线奠定基础。 2、教材内容编排特点：教材以“发现问题-分析问题-解决问题”为逻辑主线，先呈现拱桥问题，通过“建立坐标系、求解析式、算宽度变化”的步骤示范建模过程。 3、教材处理建议：在教材基础上，我鼓励学生探索“不同坐标系建立方案的对比”，帮助学生理解“建模简洁性原则”；拓展悬索桥的“逆向应用”（已知钢索长度求水平距离），强化知识迁移，弥补教材中 “应用维度单一” 的不足。 3、 学情分析 1、已有知识基础：九年级学生已掌握二次函数的顶点式、一般式，能根据顶点或图像上的点求解析式；前两课时接触过“面积问题”“利润问题”的建模流程，对“实际问题→数学模型→实际解”的思路有初步认知，这是本节课学习的基础。 2、潜在困难与障碍： （1）抽象能力不足：难以将拱桥的 “拱顶、水面” 等实物特征转化为坐标系中的点，对 “坐标系建立的合理性” 缺乏判断； （2）建模逻辑模糊：不清楚 “为何要先设解析式、如何根据已知条件选函数形式”，容易机械套用公式； （3）实际意义忽略：计算出 “水面宽度变化量” 后，可能不关注 “负数值表示宽度减少” 的实际含义，仅停留于数学计算结果。 3、学习兴趣与特点：学生对 “中国桥梁” 等贴近生活的真实情境兴趣较高，喜欢小组讨论与动手探究，可借助情境激发主动性，通过 “任务单分层设计” 满足不同层次学生需求（基础薄弱生聚焦 “求解析式”，优等生挑战 “拓展应用”）。 四、教学目标 1、能根据拱桥、悬索桥的实际条件建立合适的平面直角坐标系，推导二次函数解析式，并运用解析式解决 “求宽度”“求高度” 等实际问题。 2、通过 “观察问题→建立模型→解决问题→归纳总结” 的流程，经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，提升分析和解决问题的能力。 3、结合 “桥见中国” 主题，感受二次函数在桥梁工程中的实际应用，增强民族自豪感，培养用数学眼光观察、思考、表达现实世界的意识。 五、核心素养渗透： 核心素养 具体体现 直观想象 观察拱桥、悬索桥的纵截面，抽象出抛物线图形；建立坐标系时，感知图形与坐标的对应关系。 数学建模 将拱桥 “拱顶高度、水面宽度” 等实际条件，转化为二次函数的 “顶点坐标、图像上的点”，构建数学模型。 逻辑推理 推导抛物线解析式时，根据顶点位置选择合适的函数形式（如顶点式），通过已知点验证并求解参数，形成严谨的推理链。 数学运算 计算二次函数参数（如拱桥问题中求 “a 值”）、求解线段长度（如水面下降后的宽度），确保运算准确且符合实际意义。 六、教学重难点 类别 内容 突破策略 教学重点 1. 建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数模型； 2. 根据已知条件推导抛物线解析式，并运用解析式解决实际问题。 1. 提供 “坐标系方案对比表”，让学生通过小组讨论分析不同方案的优劣，明确 “以顶点为原点、对称轴为坐标轴” 的便捷性； 2. 用 “任务单分步引导”（先确定顶点坐标，再选函数形式，最后代入求解），拆解解析式推导过程，降低难度。 教学难点 1. 如何合理建立平面直角坐标系（建系的灵活性与合理性） 2. 理解 “实物特征” 与 “坐标、解析式” 的对应关系； 1、通过“同一拱桥，不同建系方式对比”，让学生直观感受“以对称轴为 y 轴、桥面为 x 轴” 的建系优势（参数最少、计算最简单），总结“建系要让关键点（顶点、交点）坐标含0，减少未知量”的原则。 2、引导学生“画示意图 + 标坐标”，先根据建系方式画出拱桥的大致图形，在图上标注题目给出的 “特定点”，再将这些几何特征转化为具体的坐标数值（如 “拱高 3 米”→顶点纵坐标为 3） 七、教学过程 教学环节 师生活动 设计意图 1. 情境导入：“桥” 见中国（5 分钟） 1. 教师播放新华网“桥见中国”短视频，提问：“这些桥梁的纵截面像什么图形？工程师设计时，如何确定桥面宽度、拱顶高度？” 2. 引出课题：今天通过 “拱桥问题”，学习用二次函数解决这类实际问题。 1. 以 “中国桥梁” 为切入点，激发学生兴趣，渗透 “数学源于生活” 的理念，感受二次函数的魅力，同时培养民族自豪感； 2. 自然衔接 “抛物线” 与 “桥梁设计”，为后续建模铺垫 2. 探究新知：拱桥问题建模（20 分钟） ### 环节 2.1：建立坐标系（5 分钟） 1. 呈现教材问题：“抛物线形拱桥，拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 1m，宽度增加多少？” 2. 学生分组讨论：“如何建立平面直角坐标系？试写出两种方案，并标注拱顶、水面端点的坐标。” 3. 教师引导：对比方案（如 “拱顶为原点” vs “水面中点为原点”），总结 “顶点在坐标轴上时，解析式更简单”，确定最优方案（拱顶为原点，y 轴为对称轴）。 ### 环节 2.2：推导解析式（8 分钟） 1. 提问“该抛物线顶点为 (0,2)，适合用哪种二次函数形式？”（顶点式y=ax²+k） 2. 学生自主计算：将 (2,0) 代入y=ax²+2，解得a=−0.5，得到解析式y=−0.5x²+2； 3. 教师验证：代入 (-2,0) 核对，确保解析式正确。 ### 环节 2.3：解决实际问题（7 分钟） 1. 引导思考：“水面下降 1m，此时水面的 y 坐标是多少？”（y=1） 2. 学生计算： 3. 讨论： 1. 让学生自主设计坐标系，避免 “被动接受”，培养主动思考能力； 2. 从 “选形式→代点→求解→验证”，让学生完整经历解析式推导，强化数学运算与逻辑推理； 3. 聚焦 “负号的实际意义”，突破 “忽略实际意义” 的难点，落实数学建模素养。 3. 能力提升：悬索桥问题应用（10 分钟） 1、如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为___m． 2. 学生独立完成（参考任务单）： 如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔AD与桥塔BC均垂直于桥面FF’，缆索AB段与缆索AE段、缆索BE段均呈抛物线型．缆索AB段所在的抛物线与缆索AE段所在的抛物线关于AD所在的直线对称，桥塔AD与桥塔BC之间的距离DC=100m，AD=BC=17m， （桥塔的粗细忽略不计），缆索AB段的最低点P到FF’的距离PQ=2m．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1) 在你所建坐标系下，求缆索AB段所在的抛物线的函数解析式 (2) 若EF⊥FF’.EF=2.6m,FD＜DQ，求FD的长 （选做，优等生展示思路） 1. 复用 “拱桥建模” 流程，检验知识迁移能力，体现 “从简单到复杂” 的认知规律； 2. 拓展题满足优等生需求，强化 “逆向应用解析式” 的能力，深化数学建模 4. 课堂小结：梳理建模流程（5 分钟） 1. 教师引导：“解决抛物线形实际问题，我们走了哪几步？” 2. 师生共同归纳：实际问题→抽象抛物线→建立坐标系→求解析式→算线段长→回归实际解； 3. 链接核心素养：“这个过程中，我们用数学眼光观察了桥梁，用数学思维推导了模型，用数学语言表达了结论。” 1. 梳理流程，帮助学生形成结构化知识，避免碎片化记忆； 2. 点明核心素养，让学生明确 “数学能力如何应用于实际”，升华课堂主题 5. 作业布置（5 分钟） 1. 基础题：教材习题中类似拱桥问题（如 “拱顶高 3m，水面宽 6m，水面上升 1m，宽度减少多少”）； 2. 拓展题：观察生活中的抛物线形物体（如喷泉、隧道顶），记录数据（如高度、宽度），尝试建立坐标系并求解析式，下节课分享。 八、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $