3.2平面直角坐标系 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

平面直角坐标系 学习目标 1. 理解平面直角坐标系的相关概念，包括横轴、纵轴、原点、象限等。 2. 能够准确地在平面直角坐标系中确定点的位置，以及根据点的坐标描述其位置。 3. 掌握各象限内点的坐标特征以及坐标轴上点的坐标特征。 4. 学会利用平面直角坐标系解决一些简单的实际问题，培养数学应用能力。 知识点讲解 （一）平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，水平的数轴叫做 (x) 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做 (y) 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 (O) 为原点。这个平面叫做坐标平面。 （二）点的坐标 对于平面内任意一点 (P)，过点 (P) 分别向 (x) 轴、(y) 轴作垂线，垂足在 (x) 轴、(y) 轴上对应的数 (a)，(b) 分别叫做点 (P) 的横坐标、纵坐标，有序数对 ((a,b)) 叫做点 (P) 的坐标。 （三）象限 坐标平面被 (x) 轴、(y) 轴分割成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 （四）各象限内点的坐标特征 1. 第一象限内的点：横坐标 (>0)，纵坐标 (>0)，即 。 2. 第二象限内的点：横坐标 (<0)，纵坐标 (>0)，即 。 3. 第三象限内的点：横坐标 (<0)，纵坐标 (<0)，即 。 4. 第四象限内的点：横坐标 (>0)，纵坐标 (<0)，即 。 （五）坐标轴上点的坐标特征 1. (x) 轴上的点：纵坐标为 (0)，即 ((x,0))。 2. (y) 轴上的点：横坐标为 (0)，即 ((0,y))。 例题解析 （一）基础概念类 1. 题目：在平面直角坐标系中，点 在第（ ）象限。 · 答案：二 · 解析：根据各象限内点的坐标特征，横坐标 ( - 3 < 0)，纵坐标 (5 > 0)，符合第二象限内点的坐标特征 ，所以点 (A) 在第二象限。 2. 题目：点 在（ ） A. (x) 轴正半轴上 B. (x) 轴负半轴上 C. (y) 轴正半轴上 D. (y) 轴负半轴上 · 答案：D · 解析：因为点 (B) 的横坐标为 (0)，纵坐标为 ( - 4 < 0)，根据坐标轴上点的坐标特征，横坐标为 (0) 的点在 (y) 轴上，纵坐标小于 (0) 的点在 (y) 轴负半轴上，所以点 (B) 在 (y) 轴负半轴上，选D。 （二）点的坐标确定位置类 1. 题目：已知点 (M) 的坐标为 ，且点 (M) 到两坐标轴的距离相等，求点 (M) 的坐标。 · 答案：((3,3)) 或 · 解析：因为点 (M) 到两坐标轴的距离相等，所以 ( |2 - a| = |3a + 6|)。 当 时， ， ， 解得 。 此时 ，，点 (M) 的坐标为 ((3,3))。 当 时， ， ， ， 解得 。 此时 ，，点 (M) 的坐标为 。 综上，点 (M) 的坐标为 ((3,3)) 或 。 2. 题目：如果点 的横坐标与纵坐标互为相反数，那么点 (P) 一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 · 答案：D · 解析：因为点 的横坐标与纵坐标互为相反数，所以 ， ( - m = - 1)， 解得 。 则，所以点 (P) 的坐标为 。 横坐标 (1 > 0)，纵坐标 ( - 1 < 0)，符合第四象限内点的坐标特征 ，所以点 (P) 在第四象限，选D。 （三）实际应用类 1. 题目：小明家在学校正东方向 (200) 米处，小亮家在学校正北方向 (150) 米处，若以学校为原点，分别以正东、正北方向为 (x) 轴、(y) 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 (1) 米长。请画出平面直角坐标系，并在坐标系中标出小明家、小亮家的位置，写出它们的坐标。 · 答案：小明家坐标 ((200,0))，小亮家坐标 ((0,150))。 · 解析：以学校为原点 (O)，正东方向为 (x) 轴正方向，正北方向为 (y) 轴正方向建立平面直角坐标系。因为小明家在学校正东方向 (200) 米处，所以小明家在 (x) 轴正半轴上，距离原点 (200) 个单位长度，坐标为 ((200,0))；小亮家在学校正北方向 (150) 米处，所以小亮家在 (y) 轴正半轴上，距离原点 (150) 个单位长度，坐标为 ((0,150))。 2. 题目：在平面直角坐标系中，有 ，B(3,3)， 三点，求的面积。 · 答案： · 解析：因为 ，(B(3,3))，这两点纵坐标相同，所以 (AB) 平行于 (x) 轴，(AB) 的长度为 ( |3 - ( - 2)| = 5)。 点 到 (AB) 的距离就是点 (C) 与 (A)（或 (B)）纵坐标差的绝对值，即 ( |3 - ( - 2)| = 5)。 根据三角形面积公式 ，这里底为 ，高为 (5)，所以的面积为。 巩固练习 （一）选择题 1. 点 所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，点 在（ ） A. (x) 轴正半轴上 B. (x) 轴负半轴上 C. (y) 轴正半轴上 D. (y) 轴负半轴上 3. 已知点 在第二象限，则 (m) 的取值范围是（ ） A.. (m > - 7) C.. 无解 4. 如果点 在 (x) 轴上，则 (a) 的值为（ ） A. B. C. (a > 0) D. (a) 的值不能确定 （二）填空题 1. 点 到 (x) 轴的距离是______，到 (y) 轴的距离是______。 2. 若点 (M) 在第三象限且横坐标与纵坐标都为整数，到 (x) 轴距离为 (2)，到 (y) 轴距离为 (1)，则点 (M) 的坐标为______。 3. 已知点 (A(3,2))，(AB// x) 轴，且 ，则点 (B) 的坐标为______。 （三）解答题 1. 已知点 在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求 (a) 的值，并确定点 (A) 的坐标。 2. 在平面直角坐标系中，已知 ，，(O) 为原点，求的面积。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：B · 解析：横坐标 (-3 < 0)，纵坐标 (2 > 0)，符合第二象限内点的坐标特征 ，所以点 (P) 在第二象限，选B。 2. 答案：B · 解析：点 (A) 的纵坐标为 (0)，横坐标 (-2 < 0)，根据坐标轴上点的坐标特征，纵坐标为 (0) 的点在 (x) 轴上，横坐标小于 (0) 的点在 (x) 轴负半轴上，所以点 (A) 在 (x) 轴负半轴上，选B。 3. 答案：C · 解析：因为点 在第二象限，所以， 解 (2m - 1 < 0)，得 (2m < 1)，； 解 (m + 7 > 0)，得 (m > - 7)。 所以，选C。 4. 答案：B · 解析：因为点 在 (x) 轴上，所以纵坐标 ，解得 ，选B。 （二）填空题 1. 答案：(3)；(4) · 解析：点到 (x) 轴的距离为纵坐标的绝对值，；点到 (y) 轴的距离为横坐标的绝对值，( | - 4| = 4)。 2. 答案： · 解析：因为点 (M) 在第三象限，所以横、纵坐标都为负。又因为到 (x) 轴距离为 (2)，即纵坐标绝对值为 (2)，所以纵坐标为 (-2)；到 (y) 轴距离为 (1)，即横坐标绝对值为 (1)，所以横坐标为 (-1)，则点 (M) 的坐标为 。 3. 答案： 或 ((7,2)) · 解析：因为 (AB// x) 轴，所以点 (B) 的纵坐标与点 (A) 的纵坐标相同，为 (2)。 又因为 ，当点 (B) 在点 (A) 左侧时，横坐标为 ，此时点 (B) 坐标为 ；当点 (B) 在点 (A) 右侧时，横坐标为 ，此时点 (B) 坐标为 ((7,2))。 （三）解答题 1. 答案：，点 (A) 的坐标为 · 解析：因为点 在第二象限，所以。 又因为点 (A) 到两坐标轴的距离相等，所以 ( |2a - 3| = |3 - a|)。 由 (2a - 3 < 0) 得 ， ， ， 解得。 则，，所以点 (A) 的坐标为。 2. 答案：(5) · 解析：过点 (A) 作 (AD⊥ x) 轴于点 (D)，过点 (B) 作 (BC⊥ x) 轴于点 (C)。 则 ，，，。 的面积等于梯形 (ADCB) 的面积减去的面积再减去的面积。 梯形 (ADCB) 的面积为。 的面积为。 的面积为。 所以的面积为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面直角坐标系 学习目标 1. 理解平面直角坐标系的相关概念，包括横轴、纵轴、原点、象限等。 2. 能够准确地在平面直角坐标系中确定点的位置，以及根据点的坐标描述其位置。 3. 掌握各象限内点的坐标特征以及坐标轴上点的坐标特征。 4. 学会利用平面直角坐标系解决一些简单的实际问题，培养数学应用能力。 知识点讲解 （一）平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，水平的数轴叫做 (x) 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做 (y) 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 (O) 为原点。这个平面叫做坐标平面。 （二）点的坐标 对于平面内任意一点 (P)，过点 (P) 分别向 (x) 轴、(y) 轴作垂线，垂足在 (x) 轴、(y) 轴上对应的数 (a)，(b) 分别叫做点 (P) 的横坐标、纵坐标，有序数对 ((a,b)) 叫做点 (P) 的坐标。 （三）象限 坐标平面被 (x) 轴、(y) 轴分割成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 （四）各象限内点的坐标特征 1. 第一象限内的点：横坐标 (>0)，纵坐标 (>0)，即 。 2. 第二象限内的点：横坐标 (<0)，纵坐标 (>0)，即 。 3. 第三象限内的点：横坐标 (<0)，纵坐标 (<0)，即 。 4. 第四象限内的点：横坐标 (>0)，纵坐标 (<0)，即 。 （五）坐标轴上点的坐标特征 1. (x) 轴上的点：纵坐标为 (0)，即 ((x,0))。 2. (y) 轴上的点：横坐标为 (0)，即 ((0,y))。 例题解析 （一）基础概念类 1. 题目：在平面直角坐标系中，点 在第（ ）象限。 2. 题目：点 在（ ） A. (x) 轴正半轴上 B. (x) 轴负半轴上 C. (y) 轴正半轴上 D. (y) 轴负半轴上 （二）点的坐标确定位置类 1. 题目：已知点 (M) 的坐标为 ，且点 (M) 到两坐标轴的距离相等，求点 (M) 的坐标。 2. 题目：如果点 的横坐标与纵坐标互为相反数，那么点 (P) 一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （三）实际应用类 1. 题目：小明家在学校正东方向 (200) 米处，小亮家在学校正北方向 (150) 米处，若以学校为原点，分别以正东、正北方向为 (x) 轴、(y) 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 (1) 米长。请画出平面直角坐标系，并在坐标系中标出小明家、小亮家的位置，写出它们的坐标。 2. 题目：在平面直角坐标系中，有 ，B(3,3)， 三点，求的面积。 巩固练习 （一）选择题 1. 点 所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，点 在（ ） A. (x) 轴正半轴上 B. (x) 轴负半轴上 C. (y) 轴正半轴上 D. (y) 轴负半轴上 3. 已知点 在第二象限，则 (m) 的取值范围是（ ） A.. (m > - 7) C.. 无解 4. 如果点 在 (x) 轴上，则 (a) 的值为（ ） A. B. C. (a > 0) D. (a) 的值不能确定 （二）填空题 1. 点 到 (x) 轴的距离是______，到 (y) 轴的距离是______。 2. 若点 (M) 在第三象限且横坐标与纵坐标都为整数，到 (x) 轴距离为 (2)，到 (y) 轴距离为 (1)，则点 (M) 的坐标为______。 3. 已知点 (A(3,2))，(AB// x) 轴，且 ，则点 (B) 的坐标为______。 （三）解答题 1. 已知点 在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求 (a) 的值，并确定点 (A) 的坐标。 2. 在平面直角坐标系中，已知 ，，(O) 为原点，求的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $