2.2平方根与立方根 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 平方根与立方根 学习目标 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。 2. 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 3. 能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。 知识点讲解 （一）平方根 1. 定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。 2. 表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。 3. 性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · (0)的平方根是(0)。 · 负数没有平方根。 （二）算术平方根 1. 定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。 2. 性质： · 算术平方根具有双重非负性，即且。 （三）立方根 1. 定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。 2. 表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。 3. 性质： · 正数的立方根是正数。 · 负数的立方根是负数。 · (0)的立方根是(0)。 例题解析 （一）平方根相关例题 1. 求(144)的平方根。 解析： 因为，所以(144)的平方根是，即。 2. 已知，求(x)的值。 解析： 因为，根据平方根的定义，(x)是(25)的平方根，又因为，所以。 3. 若有意义，求(a)的取值范围。 解析： 因为算术平方根具有双重非负性，所以， 移项可得。 （二）算术平方根相关例题 1. 求(0.64)的算术平方根。 解析： 因为，所以(0.64)的算术平方根是(0.8)，即。 2. 已知，求(x)的值。 解析： 因为，两边同时平方可得， 即， 移项得， 所以。 （三）立方根相关例题 1. 求(-27)的立方根。 解析： 因为，所以(-27)的立方根是(-3)，即。 2. 已知，求(x)的值。 解析： 因为，根据立方根的定义，(x)是(64)的立方根，又因为，所以。 巩固练习 （一）选择题 1. (16)的平方根是（ ） A. (4) B. (-4) C.. 2. 下列说法正确的是（ ） A. (0)没有算术平方根 B. 一个数的算术平方根一定是正数 C. 一个数的立方根一定比这个数小 D. 一个非零数的立方根，仍然是一个非零数 3. 的算术平方根是（ ） A. (2) B. . . （二）填空题 1. (25)的算术平方根是______。 2. 的值为______。 3. 若，则。 （三）解答题 1. 求(81)的平方根与算术平方根。 2. 已知，求(xy)的值。 3. 求的值。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：C 解析：因为，所以(16)的平方根是。 2. 答案：D 解析：(0)的算术平方根是(0)，A 错误；(0)的算术平方根是(0)，不是正数，B 错误；例如(0)和(1)的立方根等于它本身，C 错误；一个非零数的立方根，仍然是一个非零数，D 正确。 3. 答案：C 解析：，(2)的算术平方根是，所以的算术平方根是。 （二）填空题 1. 答案：(5) 解析：因为，所以(25)的算术平方根是(5)。 2. 答案：(-2) 解析：因为，所以。 3. 答案： 解析：因为，所以。 （三）解答题 1. 答案： (81)的平方根：因为，所以(81)的平方根是，即； (81)的算术平方根：因为，所以(81)的算术平方根是(9)，即。 2. 答案： 要使与有意义，则且， 即且，所以。 把代入，得。 所以(xy = 2×3 = 6)。 3. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 平方根与立方根 学习目标 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。 2. 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 3. 能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。 知识点讲解 （一）平方根 1. 定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。 2. 表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。 3. 性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · (0)的平方根是(0)。 · 负数没有平方根。 （二）算术平方根 1. 定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。 2. 性质： · 算术平方根具有双重非负性，即且。 （三）立方根 1. 定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。 2. 表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。 3. 性质： · 正数的立方根是正数。 · 负数的立方根是负数。 · (0)的立方根是(0)。 例题解析 （一）平方根相关例题 1. 求(144)的平方根。 2. 已知，求(x)的值。 3. 若有意义，求(a)的取值范围。 （二）算术平方根相关例题 1. 求(0.64)的算术平方根。 2. 3. 已知，求(x)的值。 （三）立方根相关例题 1. 求(-27)的立方根。 2. 3. 已知，求(x)的值。 巩固练习 （一）选择题 1. (16)的平方根是（ ） A. (4) B. (-4) C.. 2. 下列说法正确的是（ ） A. (0)没有算术平方根 B. 一个数的算术平方根一定是正数 C. 一个数的立方根一定比这个数小 D. 一个非零数的立方根，仍然是一个非零数 3. 的算术平方根是（ ） A. (2) B. . . （二）填空题 1. (25)的算术平方根是______。 2. 的值为______。 3. 若，则。 （三）解答题 1. 求(81)的平方根与算术平方根。 2. 已知，求(xy)的值。 3. 求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $