6.1平均数与方差 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 平均数与方差 学习目标 1. 理解平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的平均数和加权平均数 。 2. 理解方差的概念，会计算一组数据的方差 ，并能根据方差的大小，比较与判断具体问题中有关数据的波动情况 。 3. 能利用平均数、方差等知识解决简单的实际问题，发展数据分析观念 。 知识点讲解 （一）平均数 1. 算术平均数 · 定义：一般地，对于(n)个数，，，，我们把叫做这(n)个数的算术平均数，简称平均数，记为。 · 公式：。 · 作用：它是反映一组数据平均水平的一个特征数，能代表数据的一般水平 。 2. 加权平均数 · 定义：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同 。因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权” 。一般地，若(n)个数，，，的权分别是，，，，则叫做这(n)个数的加权平均数 。 · 公式：。 · 权的意义：权反映数据的重要程度，权越大，对平均数的影响越大 。 （二）方差 1. 定义：设有(n)个数据，，，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，，，我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。 2. 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小 。它用来描述一组数据的离散程度，方差是衡量数据稳定性的一个统计量 。 例题解析 （一）平均数相关例题 1. 例1：求(10)，(20)，(30)，(40)，(50)这组数据的平均数 。 解： 2. 例2：某公司招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下所示 。 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 （1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的平均成绩看，谁将被录取？ （2）如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们(6)和(4)的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？ 解： （1）甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 因为(88>87.5)，所以甲将被录取 。 （2）甲的加权平均成绩： 乙的加权平均成绩： 因为(88.4>87.6)，所以乙将被录取 。 （二）方差相关例题 1. 例3：一组数据(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，求这组数据的方差 。 解：首先求平均数， 再求方差， 2. 例4：已知一组数据，，，的方差是(2)，求数据，，，的方差 。 解：设数据，，，的平均数为，则方差。 设数据，，，的平均数为， 则其方差为： 巩固练习 （一）选择题 1. 数据(2)，(3)，(4)，(5)，(6)的平均数是（ ） A. (2) B. (3) C. (4) D. (5) 2. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为(100)分，其中课外体育占(20%)，期中考试成绩占(30%)，期末考试成绩占(50%) 。小彤的三项成绩（百分制）依次为(95)，(90)，(88)，则小彤这学期的体育成绩是（ ） A. (89) B. (90) C. (92) D. (93) 3. 一组数据(1)，(3)，(4)，(4)，(4)，(5)，(5)，(6)的众数和方差分别是（ ） A. (4)，(1) B. (4)，(2) C. (5)，(1) D. (5)，(2) 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人(10)次射击成绩的平均数都是(9.2)环，方差分别为(=0.56)，(=0.60)，(=0.50)，(=0.45)，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （二）填空题 1. 若(1)，(3)，(x)，(5)，(6)这五个数的平均数为(4)，则(x)的值为______ 。 2. 已知一组数据，，，的平均数是(3)，则数据，，，的平均数是______ 。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：C 解析：平均数。 2. 答案：B 解析：小彤这学期的体育成绩为（分） 。 3. 答案：B 解析：这组数据中(4)出现的次数最多，所以众数是(4) 。 平均数， 方差。 4. 答案：D 解析：方差越小，成绩越稳定 。因为(0.45<0.50<0.56<0.60)，所以丁的方差最小，成绩最稳定 。 （二）填空题 1. 答案：5 解析：由平均数定义可得，即， 。 2. 答案：2 解析：因为，那么。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 平均数与方差 学习目标 1. 理解平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的平均数和加权平均数 。 2. 理解方差的概念，会计算一组数据的方差 ，并能根据方差的大小，比较与判断具体问题中有关数据的波动情况 。 3. 能利用平均数、方差等知识解决简单的实际问题，发展数据分析观念 。 知识点讲解 （一）平均数 1. 算术平均数 · 定义：一般地，对于(n)个数，，，，我们把叫做这(n)个数的算术平均数，简称平均数，记为。 · 公式：。 · 作用：它是反映一组数据平均水平的一个特征数，能代表数据的一般水平 。 2. 加权平均数 · 定义：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同 。因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权” 。一般地，若(n)个数，，，的权分别是，，，，则叫做这(n)个数的加权平均数 。 · 公式：。 · 权的意义：权反映数据的重要程度，权越大，对平均数的影响越大 。 （二）方差 1. 定义：设有(n)个数据，，，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，，，我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。 2. 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小 。它用来描述一组数据的离散程度，方差是衡量数据稳定性的一个统计量 。 例题解析 （一）平均数相关例题 1. 例1：求(10)，(20)，(30)，(40)，(50)这组数据的平均数 。 2. 例2：某公司招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下所示 。 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 （1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的平均成绩看，谁将被录取？ （2）如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们(6)和(4)的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？ （二）方差相关例题 1. 例3：一组数据(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，求这组数据的方差 。 2. 例4：已知一组数据，，，的方差是(2)，求数据，，，的方差 。 巩固练习 （一）选择题 1. 数据(2)，(3)，(4)，(5)，(6)的平均数是（ ） A. (2) B. (3) C. (4) D. (5) 2. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为(100)分，其中课外体育占(20%)，期中考试成绩占(30%)，期末考试成绩占(50%) 。小彤的三项成绩（百分制）依次为(95)，(90)，(88)，则小彤这学期的体育成绩是（ ） A. (89) B. (90) C. (92) D. (93) 3. 一组数据(1)，(3)，(4)，(4)，(4)，(5)，(5)，(6)的众数和方差分别是（ ） A. (4)，(1) B. (4)，(2) C. (5)，(1) D. (5)，(2) 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人(10)次射击成绩的平均数都是(9.2)环，方差分别为(=0.56)，(=0.60)，(=0.50)，(=0.45)，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （二）填空题 1. 若(1)，(3)，(x)，(5)，(6)这五个数的平均数为(4)，则(x)的值为______ 。 2. 已知一组数据，，，的平均数是(3)，则数据，，，的平均数是______ 。 学科网（北京）股份有限公司 $