专题4.2 对数（七大题型）讲义--2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题4.2 对数 题型1 对数的概念判断与求值 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 1．（多选题）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 3．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝ . 4．使对数有意义的的取值范围是 ． 题型2 指数式与对数式的互化 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（多选题）若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26高一上·江西吉安·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3 对数的运算 ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 1．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）（多选题）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）（多选题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）已知，求的值. 题型4 对数运算性质的应用 1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）（多选题）以下运算中正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 4．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）计算的值为 ． 5．（2025高三·北京·专题练习） . 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求值： ． 题型5 应用换底公式化简计算 对数换底公式：；变形：； 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 2．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 6．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 题型6 应用换底公式证明不等式 1．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知：，求证：． 3．证明： （1）； （2）. 4．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 题型7 综合应用 1．（2025高三·全国·专题练习）设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（24-25高一上·广东汕头·期末）（多选题）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期末） 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 4．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 5．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2024·江西上饶·一模）若，则 . 7．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ． 9．已知，则 . 10．（2025高三·全国·专题练习）设，则 ， ． 11．（2025高三·全国·专题练习）关于的方程的解为 ． 三、解答题 12．（25-26高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 13．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数 题型1 对数的概念判断与求值 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 1．（多选题）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝ . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【解析】根据对数函数的定义，构造出关于a的不等式与方程的混合组求解即可． 【详解】由题意得，或 解得a＝4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了对数函数的定义及应用，从底数、真数满足的条件列出方程或不等式求解，属于基础题. 4．使对数有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数底与真数范围列不等式，解得结果. 【详解】由题意得 故答案为： 【点睛】本题考查根据对数函数定义求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 题型2 指数式与对数式的互化 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（多选题）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的定义及换底公式求解即得. 【详解】由，得. 故选：AD 3．（25-26高一·全国·课后作业）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化. 【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确； 对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误； 对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确； 对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD 5．（25-26高一上·江西吉安·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的概念可得出. 【详解】对于A：可化为，所以A正确； 对于B：可化为：，所以B不正确； 对于C：可化为与，所以C正确； 对于D：可化为：，所以D正确. 故选：ACD. 题型3 对数的运算 ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 1．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指对数运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）（多选题）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 4．（2025高一上·全国·专题练习）（多选题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质判断. 【详解】选项A：，故选项A正确； 根据对数恒等式可知，选项B正确； 选项C：，故选项C错误； 根据换底公式可得：，故选项D正确， 故选：ABD． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算法则及性质计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）由已知可得， 由，可得， 化简得，即， 解得（舍去），或，则. 题型4 对数运算性质的应用 1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）（多选题）以下运算中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：ACD. 2．（多选题）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算. 【详解】. 故答案为：1. 4．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数恒等式、换底公式及运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 5．（2025高三·北京·专题练习） . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求值： ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】应用指数幂及对数的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 题型5 应用换底公式化简计算 对数换底公式：；变形：； 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 2．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 4．已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】由条件指数式化成对数式，利用换底公式和对数运算求解. 【详解】由，可得，， . 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 6．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 题型6 应用换底公式证明不等式 1．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 2．已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式证明恒等式、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 3．证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式证明恒等式、对数的运算性质的应用 【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明 【详解】证明：（1）. 故. （2）， 【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题. 4．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式证明恒等式、指数式与对数式的互化 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 题型7 综合应用 1．（2025高三·全国·专题练习）设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧得，解得，即可求得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得， 所以的最大值；最小值； 所以. 故选：C． 2．（24-25高一上·广东汕头·期末）（多选题）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 3．（24-25高一上·天津·期末） 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据指、对数运算性质分析求解. 【详解】 . 故答案为：6. 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，则的最小值为 . 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由知，由知，故， 所以，所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 故答案为：20. 5．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 4．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B. 5．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】， 故选：A 二、填空题 6．（2024·江西上饶·一模）若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】，，又， . 故答案为：. 7．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据指对数互化及对数运算的性质得出，再根据换底公式及对数运算即可求解． 【详解】由已知得，， ， ． 故答案为：． 9．已知，则 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2. 10．（2025高三·全国·专题练习）设，则 ， ． 【答案】 1 1 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式求得，，代入运算求解. 【详解】由，得，，所以，， 所以，. 故答案为：1；1 11．（2025高三·全国·专题练习）关于的方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】简单的对数方程 【分析】把对数方程转化为分式方程来解，要注意检验根. 【详解】由，方程等价于 ，即， 即，该方程无解，所以原方程的解为. 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 13．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据对数的运算分析求解； （2）根据指数幂运算分析求解. 【详解】（1）原式. （2）根据分数指数幂的定义，得 ，，， 原式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $