精品解析：山东省济南市钱学森高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024-2025年第一学期济南市钱学森高级中学高一第一次月考 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题.（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据交集概念求出答案. 【详解】，解得或4，故， 又，故. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的运算直接求解即可. 【详解】因为集合，所以， 又，所以. 故选：A 3. “”是“”的（　　）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果. 【详解】根据题意，显然当，可得成立，所以充分性满足； 当时，可得或，所以必要性不满足； 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将特称命题否定成全称命题即可 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 5. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断B；通过特值法可判断ACD. 【详解】取，则，此时，故A错误； 如果，由不等式的性质可得，故B正确； 当时，，故C错误； 取，得，此时，故D错误． 故选：B． 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】，则， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为． 故选：C 二、多选题.（共3小题，每题6分，选全得满分，选对部分得部分分，选错得0分，共18分） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D. 【详解】由，则，A错； 当时，B错； ，即，C对； ，即，D对. 故选：CD 10. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”的充要条件是“” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，当，，所以两者既不充分也不必要，故A错误； 对于B，当时，有，当时，取，， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，即且，故C正确； 对于D，当时，，则，反之，当时，若，则，所以两者不是充要条件，故D错误. 故选：BC. 三、填空题.（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，则U和V之间的大小关系是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，，所以，故. 故答案为： 13. 已知集合，，若A∪B=A，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】由A∪B=A，得到BA，然后再分和两种情况讨论求解. 【详解】已知集合，， 因为A∪B=A， 所以BA则 当时， ，成立； 当 时，，则， 解得 ， 综上：实教a的取值范围是或， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查集合基本运算和基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题. 14. 已知，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件等式变形，结合基本不等式计算最值即可. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时取得等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 四、解答题.（共5小题，共77分） 15. 已知实数，满足 ，，求，，的取值范围. 【答案】的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为. 【解析】 【分析】先由不等式的基本性质求的范围，根据同向不等式的可加性求的范围， 先由不等式的基本性质求的范围，根据同向不等式的可加性求的范围， 先由条件求的范围，再根据同向正不等式的可乘性求的范围； 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 又因为，所以； 因为，所以， 又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为. 16. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念计算即可； （2）利用补集与并集的概念计算即可. 【小问1详解】 因为或， 所以， 或； 【小问2详解】 由题意可知，又， 所以. 17. 已知集合． （1）若集合，求a的取值范围． （2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 选择条件①：，因， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足或，解得， 所以的取值范围为. 选择条件②：，可得， 因为， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则，此时无解， 所以的取值范围为． 选择条件③：，因为， 当时，，解得，此时满足； 当时，要使得，则，解得， 所以的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，即可求解； （2）分别选择条件①②③，根据，分和，两种情况讨论，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，解得， 所以a的取值范围为． 【小问2详解】 略 18. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 19. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 【答案】（1）海报面积为， （2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，先求出每个梯形的下底（较长的底边）边长，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 依题意，图中阴影部分的面积之和为，直角梯形的高为， 则其中每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报纸面积为． 【小问2详解】 直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， ， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年第一学期济南市钱学森高级中学高一第一次月考 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题.（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则集合（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（　　）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、多选题.（共3小题，每题6分，选全得满分，选对部分得部分分，选错得0分，共18分） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”的充要条件是“” 三、填空题.（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，则U和V之间的大小关系是___________. 13. 已知集合，，若A∪B=A，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知，则的最小值为___________. 四、解答题.（共5小题，共77分） 15. 已知实数，满足 ，，求，，的取值范围. 16. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 17. 已知集合． （1）若集合，求a的取值范围． （2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围． 18. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 19. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $