浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团 八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中，轴对称图形的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：由题意可知：第，，个图为轴对称图形，共个． 故选：． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 本题考查轴对称图形，正确记忆轴对称图形的概念是解题关键． 2.如图，于点，已知是钝角，则(    ) A. 线段是的边上的高线 B. 线段是的边上的高线 C. 线段是的边上的高线 D. 线段是的边上的高线 【答案】B  【解析】略 3.已知等腰三角形一边长为，周长为，那么它的腰长为(    ) A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B  【解析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．根据题意分是腰长时，是底边时两种情况，分别求得其他两边，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求得腰长． 解：是腰长时，三边分别为、、，不能组成三角形； 是底边时，腰长为，三边分别为、、，能组成三角形． 综上所述，腰长为． 故选：． 4.如图，点和点分别在和上，与相交于点已知，若要使，下列无法作为有效添加条件的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可． 本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 【解答】 解：由题意可得：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 6.如图，在中，，按以下步骤作图：利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为(    ) A. 无法确定 B. C. D. 【答案】D  【解析】略 7.如图，在中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设，则， 在中，， 即， 解得， 故选：． 在中，由，得到，即可求解． 本题考查的是翻折变换折叠问题，明确是本题解题的关键． 8.如各，在中，，，，垂足为，是的中点，连结，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 9.如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案 【详解】如图，作关于和的对称点，，连接，交于，交于， 则即为的周长最小值．作延长线， ， ， ， ，， 且， ， ． 故选：． 10.如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接下列结论中，正确的结论有(    ) ；是等腰直角三角形；；四边形 ；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断正确；根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再求出，从而得到，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断出正确；根据勾股定理表示出，，得到正确；再求出时，，判断出错误；与不一定相等判断出错误． 【详解】解：，和都是等腰直角三角形， ，， ，， ， ≌， ，，故正确； ， 在中，， ， 四边形，故正确； 由勾股定理，在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， ，故正确； 从题干信息没有给出所以只有时，， 无法说明，更不能说明故错误； ≌，，  条件不足以证明  与相等无法证明， 不一定成立，故错误； 综上所述，正确的结论有共个． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.把命题“同旁内角互补”写成“如果，那么”的形式为          ． 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补  【解析】略 12.已知，，为的三边，且满足，则为          三角形． 【答案】等腰或直角  【解析】略 13.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则 ______． 【答案】  【解析】解：由题意得到：垂直平分，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 由线段垂直平分线的性质推出，得到，推出，，由三角形内角和定理求出，由等腰三角形的性质得到，求出，由三角形的外角性质即可求出的度数． 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作图基本作图，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 14.如图，有一长方形纸带，、分别是边、上一点，且，将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，则的值______． 【答案】或  【解析】解：分两种情况： 当时，如图，由折叠可得，， ， ， ，， 又， ， ， ； 当时，如图所示，同理可得，，， ； 所以，的度数为或； 当和的度数之和为时，或， 解得或， 即的值为或． 故答案为：或． 分两种情况，依据两次折叠后角的和差关系，即可得到求的大小，再依据和的度数之和为，列方程求解，即可得到的值． 本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15.是的角平分线，，垂足为，和的面积为和，则的面积为___________________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．作交于，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求． 【解答】 解：作交于，作， ，， ， 是的角平分线，， ， ≌， 和的面积分别为和， ， ． 故答案为． 16.如图，在四边形中，，，，，，则的长为____． 【答案】  【解析】解：作，且，连接，，，如图所示； ，，即， ，， ， 在和中， ≌， ，，， ， ， ，且， ， ， ，即， 则， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为，如图所示； ， 在中，，， ，， 设， 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， 整理得，， 解得，或负值舍去， ， ， 的长为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，是斜边上的高线，且，求： 的长． 的长． 【答案】(1)5  (2)  【解析】 略  略 18.本小题分 如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． 求证：． 连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】证明见解答；   ，理由见解答  【解析】证明：连结， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 解：， 理由：≌， ， ， ， ， ． 连结，由，，得，由是的中点，得，，，则，，所以，可证明≌，得； 由全等三角形的性质得，则，因为，所以． 此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明≌是解题的关键． 19.本小题分 如图，，的中线的延长线与交于点． 若，求的长度． 的平分线与交于点，连结若，求证：． 【答案】(1)解：，，是中线，. 在和中， ，，的长为3.   (2)证明：，，平分，. ，，.在和中， ，，.   【解析】 略  略 20.本小题分 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上． 在图中作出关于直线对称的点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点； 在直线上画出点，使最小； 直接写出的面积为______． 【答案】解：如图，为所作； 如图，点为所作； ．  【解析】解：见答案； 见答案； 的面积为． 故答案为：． 利用网格特点画出、、关于直线的对称点、、，从而得到； 利用交直线于，则，则根据两点之间线段最短可判断点满足条件； 用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了两点之间线段最短． 21.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、． 如图，当点与点重合时，求证： 如图，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系并说明理由， 【答案】解：证明：连接，如图所示： 平分， ， 直线于， ， ， ， ， 是线段的中垂线， ， ， ， ，， ， ， ； 当点在的延长线上时，； 理由如下： 过点作交于，如图所示： 由得：，，， ， ， ， ．  【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，先由已知条件证明，再证明即可； 当点在的延长线上时，由即可得出结论． 22.本小题分 在等边外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点． 如图，若，则 ______； 如图，若，请补全图形，判断由线段，，可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由． 【答案】解：． 图形如图所示，线段，，可以构成一个含有角的三角形． 理由：连接，，如图． 点与点关于直线对称， ，， ． ，， ， ， ． 设，交于点， 又， ， 线段，，可以构成一个含有角的三角形．  【解析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质． 根据题意作出图形，根据题意可得，然后根据，，得出，，最后根据三角形的内角和公式求解； 由线段，，可以构成一个含有角的三角形，连接，，根据对称可得，然后证得，最后即可得出． 解：如图中，连接． ，关于对称， ． 是等边三角形， ， ． ， ． 故答案为：． 见答案． 23.本小题分 如图，在中． 如图，若，求的面积； 如图，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明； 如图，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)解：如图，过点作交的延长线于点， ​​​​​​​， ， ， 在中，，， ， ， ， 的面积为；   (2)解：， 证明：在上截取，连接，如图所示： ​​​​​​​， ， ，，， ，即， 在和中，， ， ，即， ，则， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ，即， 又， ∴；   (3)解：延长到，使，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 作关于的对称点，连接，则， ， 连接，则， 当三点共线时，最小，且等于的长， 的最小值为的值， 连接，由轴对称的性质可得，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，，过点作于点， ​​​​​​​，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为．   【解析】  过点作交的延长线于点，先证明为等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式求解即可；   根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，分别证明和得到，，再根据勾股定理求得，进而可证得结论；   延长到，使，连接，可证，得到，那么，作关于的对称点，连接，则，，连接，则，当三点共线时，最小，且等于的长，推导出的最小值为的值，取的中点，连接，，过点作于点，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求解即可解答． 24.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 如图，，共顶点，，，，连、由，得又，，可以推理得到≌，进而得到             ，             ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线、及点，与不平行．作等腰直角，使得点、分别在直线、上． 小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点、分别在直线、上 请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 【答案】解：，； 由作法可知，， ， 在和中， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形．  过点作，垂足为点，以为边在的右侧作等边三角形，过点作，交于点，在上点的右边截取，连接，即为所求作的等边三角形．   【解析】【分析】 本题主要考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质的有关知识． 证明≌，利用全等三角形的性质可得结论； 先证明，利用全等三角形的性质得到，，进而得到，进而可得结论；  过点作，垂足为点，以为边在的右侧作等边三角形，过点作，交于点，在上点的右边截取，连接，即为所求作的等边三角形． 【解答】 解：， ， ， 在和中 ≌， ，； 见答案； 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团 八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中，轴对称图形的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，于点，已知是钝角，则(    ) A. 线段是的边上的高线 B. 线段是的边上的高线 C. 线段是的边上的高线 D. 线段是的边上的高线 3.已知等腰三角形一边长为，周长为，那么它的腰长为(    ) A. B. C. 或 D. 无法确定 4.如图，点和点分别在和上，与相交于点已知，若要使，下列无法作为有效添加条件的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. （第2题） （第4题） （第5题） 6.如图，在中，，按以下步骤作图：利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为(    ) A. 无法确定 B. C. D. 7.如图，在中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如各，在中，，，，垂足为，是的中点，连结，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小，则的度数为(    ) A. B. C. D. （第6 题） （第7题） （第8题） （第9题） 10.如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接下列结论中，正确的结论有(    ) ；是等腰直角三角形；；四边形 ；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.把命题“同旁内角互补”写成“如果，那么”的形式为          ． 12.已知，，为的三边，且满足，则为          三角形． 13.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则 ______． 14.如图，有一长方形纸带，、分别是边、上一点，且，将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，则的值______． 15.是的角平分线，，垂足为，和的面积为和，则的面积为___________________． 16.如图，在四边形中，，，，，，则的长为____． （第14题） （第15题） （第16题） 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，是斜边上的高线，且，求： 的长． 的长． 18.本小题分 如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． 求证：． 连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 19.本小题分 如图，，的中线的延长线与交于点． 若，求的长度． 的平分线与交于点，连结若，求证：． 20.本小题分 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上． 在图中作出关于直线对称的点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点； 在直线上画出点，使最小； 直接写出的面积为______． 21.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、． 如图，当点与点重合时，求证： 如图，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系并说明理由， 22.本小题分 在等边外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点． 如图，若，则 ______； 如图，若，请补全图形，判断由线段，，可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由． 23.本小题分 如图，在中． 如图，若，求的面积； 如图，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明； 如图，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值． 24.本小题分通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 如图，，共顶点，，，，连、由，得又，，可以推理得到≌，进而得到             ，             ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线、及点，与不平行．作等腰直角，使得点、分别在直线、上． 小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点、分别在直线、上 请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团 八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中，轴对称图形的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，CD1AB于点D,己知∠ABC是钝角，则() A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 3.己知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为() A.3 B.4.5 C.3或4.5 D.无法确定 4.如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE相交于点F.己知AB=AD,若要使△ABC兰△ADE,下列无 法作为有效添加条件的是() A.BC=DE B.AC=AE C.∠ACB=LAED=90° D.∠BCD=∠DEB 5.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧 相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°，则∠ACB的度数为() A.105° B.100° C.95° D.90° (第2题) (第4题) (第5题) 第1页，共8页 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD; ②分别以点D,E为圆心、以大于号DE的长为半径作弧，两弧在LCBA内交于点F;③作射线BF交AC于点G. 若△BCG的面积为4，BC=4,P为AB上一动点，则GP的最小值为() A.无法确定 B.4 C.3 D.2 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长 为() A话 B.3 C D 8.如各，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，LA=70°，CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点，连结ED,则∠CED 的度数是() A.20° B.40° C.55° D.70° 9.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长 最小，则∠AMN+∠ANM的度数为() A.130° B.120° C.110° D.100° B M (第6题) (第7题) (第8题) (第9题) 10.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F,连接BD交CE 于点G,连接BE.下列结论中，正确的结论有() OCE=BD:②△ADC是等腰直角三角形：③LADB=LAEB:@SBCDE=BD,CE: ⑤BC2+DE2=BE2+CD2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.把命题“同旁内角互补”写成“如果.，那么”的形式为 12.已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则4ABC为三角形. 第2页，共8页 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36.分别以点A,C为圆心，大于2AC C 的长为半径画弧，两弧相交于点D,E,作直线DE分别交AC,BC于点F,G. 以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H,连结AG,AH.则∠HAB=-一一一 0大 14.如图，有一长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF=(0°< B <90°且a≠60)，将纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，当∠NFE和LDEF的度数之和为110时，则a的 值」 15.AD是△ABC的角平分线，DF1AB,垂足为F,DE=DG.△ADG和.△AED的面积为60和42，则△DEF 的面积为 16.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠ADC=90°，∠ABC=60°，BC=6V√3，BD=7√2，则AB的长 为 A E E B G B D (第14题) (第15题) (第16题) 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13,BC=12.求： D (1)AC的长 (2)CD的长. 第3页，共8页 18.(本小题8分) 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D是AB的中点，DE L DF,点E,F在AC,BC上. (1)求证：DE=DF (②)连结EF,则BF、AE、EF之间有什么数量关系？请说明理由. D E 19.(本小题8分) 如图，CD//AB,·ABC的中线AE的延长线与CD交于点D, (1)若AE=3,求DE的长度， (2)∠DAC的平分线与DC交于点F,连结EF若AF=DF,AC=DE.求证：AB=AF+EF. 第4页，共8页 20.(本小题8分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点 上) (1)在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1(点A的对应点是点A1,点B的对应点是点B1,点C的对应点 是点C1): (2)在直线l上画出点P,使PA+PC最小： (3)直接写出△A1BC的面积为一一 11 21.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠ACB=2LB,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点H作直线L1AO 于点H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M, N H C D (MXE 0 0 图1 图2 (1)如图1，当点M与点C重合时，求证：BN=CD: (2)如图2，当点M在BC的延长线上时，BN、CE、CD之间具有怎样的数量关系？并说明理由， 第5页，共8页 22.(本小题8分) 在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线AP于点E. (1)如图1，若LPAB=30°，则∠ACE=一一： (2)如图2，若60°<∠PAB<90°，请补全图形，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三 角形，并说明理由， 23.(本小题8分) 如图，在△ABC中 M B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC=6V2,AB=2,LA=45°，求△ABC的面积； (2)如图2，∠A=45°，D为△ABC外的一点，连接CD,BD,且CD=CB,∠ABD=∠BCD,过点C作CE1AC 交AB的延长线于点E,请写出BD,AB,AC之间的数量关系，并给出证明： (3)如图3，∠CAE=45°，∠C=90°，作AP平分LCAE交CE于点P,过E点作EM1AP交AP的延长线于点M, 点K为直线AC上的一个动点，连接MK,过M点作MN⊥MK,且始终满足MN=MK,连接AN,AC=2,请 直接写出(AN+MN)的最小值. 第6页，共8页 24.(本小题8分)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 (1)如图①，△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连BD、CE.由∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD≌△ACE,进而得到 BD= ∠ABD= D 图① 【问题研究】 (2)小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题， 如图②，已知直线a、b及点P,a与b不平行.作等腰直角△PAB,使得点A、B分别在直线a、b上. B 图② 图③ 小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PDIa,垂足为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE, 过点E作EB L PE,交b于点B,在Q上截取DA=BE,连AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形. 请证明小明的作法是正确的， 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边△PAB,使得点A、B分别在直线a、b上 (③)请你简述作法，并在图@中画出示意图.（不需要尺规作图） 第7页，共8页 P 6 图④ 第8页，共8页