精品解析：四川省眉山中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

27届高二上半学期9月月考 数学试题 本试卷19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：B. 2. 设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，与还可能相交；对于B，还有可能；对于C，还有可能；对于D，用反证法可证命题正确. 【详解】对于A，若，则或与相交.故A不正确； 对于B，若，则或.故B不正确； 对于C，若，则或.故C不正确； 对于D，若，则，命题正确，证明如下： 如图： 假设与不平行，则必相交，设， 设直线与和分别交于点，在上取一点，连、， 因为，，所以， 因为，，所以， 又直线、直线、直线在同一平面内，所以，这与相矛盾，故假设不成立，所以.故D正确. 故选：D 3. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ） A. 16 B. 30 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得. 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 4. 在中，若，则是（    ）． A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状. 【详解】由正弦定理，即， ， 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 6. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 7. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合， 为的外心，，即为斜边的中点， 又为中点，， 为中点， ． 故选：． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 8. 记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 二、多选题（本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BD 【解析】 【分析】化简得到，由最小正周期为可得，从而，进而由三角函数的对称轴、对称中心、单调性及图象平移依次判断各选项即可. 【详解】函数 ， 函数的最小正周期为，解得，所以， 不是最大值和最小值，故A不正确； 令，，即，， 所以函数的对称中心是，故B正确； 时，， 显然在上不单调，故C错误； 的图象向右平移个单位得到，故D正确. 故选：BD. 10. 如下图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可求出，从而判断A、B，再由面积公式及余弦定理判断C、D. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以，整理得，又，所以，所以． 因为，所以，故， 所以，因此A和B正确， 四边形面积等于 ， 所以当，即时四边形面积的取得最大值，最大值为，因此C正确，D错误． 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需判断三棱锥的外接球即正方体的外接球则可求；对于B，分别取的中点，证明平面平面，即可判断点的轨迹；对于C，根据B项结论，证明平面，得到点到平面的距离为定值即可判断；对于D，先证明为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为平面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥的底面上的高即可. 【详解】对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为， 故三棱锥的外接球表面积为，故A错误； 对于B，如图，分别取的中点，连接， 因为的中点，易得，则得， 故，因平面，平面，故平面， 又因，则得，故， 因，故，同理可得平面， 且平面，故平面平面， 又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，由B项分析，点的轨迹为线段，因面，故平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积也是定值， 则三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上， 因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得，故点为的中点. 在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为，又， 故，而， 由可得：，代值解得， 综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设第五个值为，由该样本的平均数为2，根据平均数的计算公式求出，再根据方差的公式计算即可. 【详解】设第五个值为， 则由该样本的平均数为2，可知，解得. 则样本方差. 故答案为：4 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出所需各向量坐标即可由相应距离定义计算求解. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则，设， 则， 所以，即， 所以； ， 令， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再由关系结合向量垂直的坐标表示列方程可求， （2）先求，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求，根据向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以x的值为， 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，，， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 17. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，且，求的值； （3）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理得即可得解. （2）先由三角形的面积公式得，再由余弦定理即可得解. （3）先由余弦定理得，再结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 是钝角，. 【小问2详解】 ， . . 【小问3详解】 ， ，当且仅当时面积取最大值. 18. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. （1）以为基底表示. （2）若，求的值； （3）若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【小问1详解】 由图，. 【小问2详解】 因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. 【小问3详解】 因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 19. 如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. （1）求证：； （2）求异面直线与BE的距离； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在图1中，连接CE，易求. ∴四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点O，则. ∴在图2中，，.又于O， ∴平面. 又平面，∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在图1中，连接CE，证明，，可证平面，即可得证； （2）过作的垂线OM，交于M，则OM即异面直线与BE的距离，求出即可的解； （3）在图2中延长BE，CD，设，连接AG，则是平面与平面的交线，由面面垂直得性质可得平面，即可得，作，垂足为H，连接CH，证得，则即为平面与平面所成锐二面角的平面角，从而可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得，∴. 过作的垂线OM，交于M， 则OM即异面直线与BE的距离， ； 【小问3详解】 解：在图2中延长BE，CD，设，连接AG. ∵平面，平面. 又平面，平面. ∴是平面与平面的交线， ∵平面平面BCDE，，平面平面， ∴平面，又平面，∴， 作，垂足为H，连接CH， 又，∴平面OCH，又平面OCH，∴. ∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由（1）知，，为等边三角形， ∴，∵，∴，解得. 在中，，∴. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高二上半学期9月月考 数学试题 本试卷19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ） A. 16 B. 30 C. 24 D. 18 4. 在中，若，则是（    ）． A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 6. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 7. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A. B. C. D. 8. 记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 10. 如下图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积无最大值 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求x的值； （2）若向量，，求与的夹角的余弦值. 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 17. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，且，求的值； （3）若，求面积的最大值． 18. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. （1）以为基底表示. （2）若，求的值； （3）若点为线段的中点，求的最小值. 19. 如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. （1）求证：； （2）求异面直线与BE的距离； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $