精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2027届高二上学期9月月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题58分） 一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 3. 如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（   ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 的面积为 4. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 要得到函数的图象，只需的图象 A. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） B. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） C. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） D. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） 6. 如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 8. 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ） A. B. C. D. 10. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 11. 如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（ ） A. 平面平面 B. C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则与的夹角为___________. 13. 如图，货轮在海上以40海里时的速度由向航行，航行的方向角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行0.5小时，则到灯塔的距离是___________海里. 14. 如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与夹角，且，． （1）求，； （2）求在方向上的投影向量的模． 16. 在中，的对边分别为. （1）若，求值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 17. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 18. 已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，. （1）求大小； （2）求函数的解析式； （3）若，，求的值. 19. 欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中（单位：百米），（单位：百米），为正三角形.建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教文化的区域. （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二上学期9月月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题58分） 一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算法则化简，再根据复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以； 故选：B 2. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积. 【详解】解：由题意 在圆锥中，设底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形 ∴ 解得： 由几何知识得 圆锥的高： ∴圆锥体积： 故选：C. 3. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（   ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，逐一分析，计算判断，即得正确答案. 【详解】画出原图如下图所示， 根据斜二测画法的知识可知：，则, 即三角形是等腰直角三角形，面积为.故A, B, C项正确，D项错误. 故选：ABC. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可. 【详解】由题意可知，， 又， 则由正弦定理可得，. 故选：D 5. 要得到函数的图象，只需的图象 A. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） B. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） C. 向左平移个单位，再把各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） D. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项. 【详解】， 因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题： （1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致. 6. 如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，将异面直线与所成的角转化为或其补角，即可求解． 【详解】在三棱柱中，， 异面直线与所成的角为或其补角， 连接，底面，平面， ，又，， 平面， 又平面，， 由，可得， ，， 又，， 在△中，， 即异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 7 已知，，且，，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断，的范围，求得，，将化为，利用两角差的余弦公式即可求得答案. 【详解】因为，, 所以，, 因为，所以, 因为，所以, 所以 , 故选：B 8. 如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆柱的底面半径为、高分别为，得，即，得到圆柱的侧面积，求得圆柱的侧面积最大值，进而可求解球的表面积与圆柱的侧面积之差，得到答案． 【详解】由题意知，球的半径，所以球的表面积为. 设圆柱的底面半径为、高分别为，则，得， 即， 所以圆柱的侧面积 ， 所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为. 此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是. 【点睛】本题主要考查了球的表面积和圆柱的侧面积公式的应用，以及组合体的性质的应用，其中解答中根据组合体的性质，得到圆柱的底面半径和高的关系，求得圆柱的侧面积的表示是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断. 【详解】解：如图所示： 对A，， 又， 即，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，设为与的交点， 由题意可得：是的重心， 故， ，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC. 10. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 11. 如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（ ） A. 平面平面 B. C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误. 【详解】由题易知，又，， 所以，所以， 又，，所以平面， 所以，又，， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 在平面内的射影为， 又为正方形，所以，，故B正确； 易知即为二面角的平面角， 又，，所以，故C正确； 易知为与平面所成的角， 又，，， 所以，故D错误. 【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角； （2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值； （3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且，则与的夹角为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； 【详解】解：因为，，且， 所以，即，即， 所以，设与的夹角为， 所以，因为， 所以； 故答案为： 13. 如图，货轮在海上以40海里时的速度由向航行，航行的方向角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行0.5小时，则到灯塔的距离是___________海里. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求解出，的大小，然后根据正弦定理求解出，则到灯塔的距离可求. 【详解】因为，， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又因为海里，且， 所以海里， 故答案为：. 14. 如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可算得点C到平面的距离为d，又由直线BC与平面所成角的正弦值为，即可得到本题答案. 【详解】∵四边形是菱形，， ， 为二面角的平面角， ， 是等边三角形. 取的中点，连接，则. ， 平面， 又平面，平面， 平面， ， ， 的边上的高， ， 设点到平面的距离为，则. ，， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求在方向上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据数量积的运算公式即可求解，向量的模，结合数量积公式，可解得；(2)利用向量投影公式计算模. 【小问1详解】 由已知，得． ； 【小问2详解】 ， 在方向上的投影向量的模为． 16. 在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果； （2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围； 【小问1详解】 已知， 由正弦定理可得， ， ， ， ， 即， . 【小问2详解】 由（1）知，由，则. 设，， ，， . 17. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为中点，则， 又，平面，则平面. 【小问2详解】 设为线段的中点，连接、， 因为的中点，则，且， 又且，为的中点，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； 【小问3详解】 ∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为. 18. 已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，. （1）求的大小； （2）求函数的解析式； （3）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，即可求出的大小； （2）根据图象可计算出最高点，即求出A，找出周期，根据，求出，再将代入即可求出，即求出解析式. （3）根据关系可求出，然后计算出，利用展开求解. 【详解】（1）在中，, ; （2）由（1）知，即， ，周期， 即，， 将代入，得， ，， ； （3）， ， ，， ， . 【点睛】本题考查了根据余弦定理求角，根据三角函数图象求解析式，以及相关角的三角函数的求法. 19. 欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中（单位：百米），（单位：百米），为正三角形.建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教文化的区域. （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理得，再由勾股定理（或由正弦定理）可得可得答案； （2）不妨设，，在中，在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，再根据的范围可得答案， 【小问1详解】 在中，∵， 由余弦定理得， ∴，（或由正弦定理得：） ∴，， ∵为等边三角形，∴，，∴， ∴； 【小问2详解】 不妨设，，， ∴在中，， 在中，由余弦定理得， ，∴， 在中，由正弦定理得， ∴. 当且仅当时，等号成立， ∴面积最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $