2026届四川省眉山中学校高三模拟预测一数学试题

26届高三模拟预测一 数学试卷 本试卷19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知命题，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 3．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题:每小题6分,共18分,全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分,有选错得0分） 9．若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（    ） A． B． C． D． 11．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知向量，，若，则 ，若，则 ． 13． 函数在上的最大值是 ． 14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 16．已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 17．在△中，内角所对的边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求△的面积. 18．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 19．已知函数，其中为自然对数的底，. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $26属高三模拟预测一 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 B 0 & D C CD ABC 题号 11 答案 BC 1.D 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 1 命题p:x>0,x+二>2的否定是x>0,x+上≤2. 故选：D 2.C 【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得 【详解】因为：=1-3i,则=VP+(-32=V10 故选：C 3.B 【分析】求函数在x=1处的导数即可. 【详解】因为y'=-2x+7+1 所以y11=-2×1+7+16 1 曲线y=-x+7x+r在点(1,6)处的切线的斜率为6. 故选：B 4.A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案 【详解】由题意得d-5+a-x2=2加+3，即a,=2十3则4 1 1 25 故选：A. 5.D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C:=6件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C,C,=4, 答案第1页，共11页 42 所以这2名学生来自不同年级的概率为 63 故选：D 6.B 【分析】由（⑦-2a)1b得万=2a.6,结合园=1a+26=2,得1+4a.6+46=1+662=4, 由此即可得解 【详解】因为(6-2a1b,所以(6-2m)b=0,即6=2ai, 又因为d=1,a+2=2, 所以1+4a.b+46=1+6b=4, 从面的=号 故选：B. 7.D 【分析】由∫'(x)≥0恒成立，分离常数a,利用基本不等式求得a的取值范围， 【详解】依题意∫)=1+4a-公+4之0，即x-心+4≥0对任意x>0恒成立 x2 x x2 4 即a≤4+x恒成立，因为4+x≥2x4=4(当且仅当x=2时取=)， 所以a≤4. 故选：D 8.C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答 【详解】取AB的中点E,连接CE,DE，,因为VABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则 有CE LAB, 又△ABD是等边三角形，则DE LAB,从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即 ∠CED=150°， 答案第2页，共11页 显然CEDE=E,CE,DEC平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDEO平面ABC=CE, 直线CDc平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2,则CE=L,DE=√3，在ACDE中， 由余弦定理得： CD=CE2+DE2-2CE.DEcos CED DE CD 由正弦定理得 sin∠OCE sin∠CED 即sin∠DcB=V3sin150_V5 2W7 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=M-sim2∠DCE= 2月= 2万1 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 5 故选：C 9.CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项 【详解】ab≤ a+b)2 2 +,当且仅当a=力=2时等号成立. 2 则ab≤ =4或 4)2 a2+b2 2 贝11，Jb≤2a2+b2≥821≤1 a2+b2-81 即AB错误，D正确 对于C选项， 1,1_a+b4、 a b abab ，C选项正确 故选：CD 答案第3页，共11页 10.ABC 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求 期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解 【详解】A选项，根据正态分布的定义得P(X≤四=与，故A正确： B选现，B(C)=u-2,E0)=42,故8(X)=8们，放B正确： C这项，D=1,D)4分}1，改D)Dm.数C正： 2(2-4 故D错误 故选：ABC. 11.BC 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令x=一1 计算可判断D错误. 【详解】对于A:令x=0,，则a。=1,故A错误： 对于B:令x=1,则a+4++44=32024,故B正确： 对于C:令x=-1,则4，-41+42-4++a24=1,故C正确： 对于D,由1+2)2024=a+ax+ax2++ao2x2024 两边同时求导得2024×2×(1+2xy023=4+2m,x+3ax2+.+2024ao24x22, 令x=-1,则a-2a,+3a+-2024a2o24=4048,故D错误. 故选：BC 12. 8 9 【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果 【详解】由题意可得，若a⊥b,则-4×6+3=0→m=8; 9 若a6,则=二→m=2 6 故答案为：8,2 9 13.2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 答案第4页，共11页 【样解1e=m-5ca=m到当e可时.[否到 2 当x-音经，即xg时、-2 6 故答案为：2 以5 【分析】由己知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求 【详解】由u⑧v与v⑧u都是集合{xx=二，neZ的元素， 2 不妨设u©=元”4,1©M=元4,4,4Z, 1V2 u 2 因为u2>0,所以0<'≤1， √2 由已知e 所以22=元二∈(0,1)，则2∈(0,2)， u 1 又n,∈Z,所以n,=1,即二= 2 所以=。 所以e2,2.5e(24, 则2.4=211 *22%∈12)，即4∈(2,0， 因为4e2,所以4=3.则=含即u©= 3 故答案为：昌引 15.(1)证明见解析 (2)45 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直： (2)求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案 【详解】(1)不妨设BC=AB=A4=2,以B为原点，BC,BA,BB所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，如图， 答案第5页，共11页 M B B(0,0,0),C(2,0,0),M1,0,2),N(1,1,0). B BC=(2,0,0),N=(0,1,-2),因为BC.MN=0,所以BC⊥N. (2)A(0,2,2),B4=(0,2,2), 易知平面BCCB的一个法向量为BA=(0,2,0), BA·BA 4 2 设直线AB与平面BCCB,所成的角为O,则sin6= BABA 2x2N2 2 所以0=45°，即直线AB与平面BCC,B,所成的角的大小为45° 16.①+=1. 1612 (2)x-4y+3=0」 【分析】(1)根据题意可求得椭圆焦点4(-2,0)，4，(2,0)，再结合离心率为子，求出a2,b2 得解： (2)利用点差法求出直线1的斜率进而求出直线方程： 【详解】(1)由题意可得，A(-2,0),A(2,0),则c=2, 又e-c-1 a2,a=4,b=a2-c2=12, 所以椭圆的标准方程为￡+ =1. 1612 (2)设A(x,y),B(x,y2),点C恰为弦AB的中点，则x+x2=2,片+y2=2, 又因为A,B两点在双曲线上， 答案第6页，共11页 可得 ,两式相减得，-0y-)=0, -好=1 4 04 化时垫理阳高子京片 1 所以直线1的方程为y-1=二(-1)，即x-4y+3=0, 4 经检验，满足题意。 17.(1)c=2 4 【分析】(1)直接利用余弦定理即可求解： (2)先用同角三角函数关系式sin2C+cos2C=1求出sinC,再用三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)由余弦定理可得 e2=a2+b2-2abc0sC,即c2=1+4-2x1x2x}4, 4 解得c=2, (2):cosC=>0,且0<C<, 4 0<0<段， 南cmC-1得血=iw7-名9 ab.sin c 号x1x2x5 44 故△ABC的面积为V 4 18.(1)18 2y081-l4n-D:②证明见解析 【分析】(1)根据题设定义，即可求解： (2)根据题设定义，得到f(x)=2x-2x2-2x+4,(1)先利用极值点的定义，求得 ,进而有a4三，即可求解：（i)构造函数h)=∫(x)G 3 利用导数与函数单调性间的关系得到g(a)<0,再构造函数H(x)=f'(化)(x-x)-f(x),利 用二次函数的性质得到H(x)的单调性，从而得到g(x,)>0,即可求解， 答案第7页，共11页 【珠1a非 =1-6-3×(2-9)+2×(4-3)=18 (2)f(x)=x+ 2x23242 3x33x2x2 =x+x(2x2-6)-3(2x-3x)+4-2x2=2x3-2x2-2x+4. (i)f'(x)=6x2-4x-2. 当x<-或>1时，f)>0:当x<1时，fW<0. 3 所以J在（和+上是增函数，在〔含） 上是减函数， 所以了网的极大值点为青极小值点为1。 因为f(x)的极值点恰为等差数列{a}的前两项，且{a}的公差大于0， 1 所以434=1， 3 所以2a-是a-a+a)4n-少_8m--D 2 3 (ii)因为f)=2,f(-1)=2,f(-2)=-16, 所以J在专)上无零点，在(m司上存在唯一零点，且飞∈(2-0. 令h(x)=f'(x)(x-x)-f(x)=(6x2-4x-2)x-x)-2.x3+2.x2+2x-4, 则h'(w)=(12x-4)(x-x)+6x2-4x-2-6x2+4x+2=12x-4)(x-x), 当x∈(-2，x)时，(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(x,-1)时，h(x)<0,h(x)单调递 减. 所以h(ad<h(x)=-f(x)=0, 而h(a=f'(a)(a-x)-f(a=g(a,所以g(a)<0. 令H()=f'(x)(x-x)-f(x),则H'()=f'(x)-f'(x). 因为f'(x)=6x2-4x-2在(-2，-1)上单调递诚， 答案第8页，共11页 所以当x∈(-2，x)时，f'(x)<f'(x),即H'(x)<0,H(x)单调递减， 当x∈(x,-1)时，'(x)>f'(w),即H'(x)>0,H(x)单调递增， 所以H(a)>H(x)=-f(x)=0, 而H(a=f'(x)(a-x)-f(a=g(x),所以g(x)>0. 综上，g(ad)g(x)<0. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给 出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息， 联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心 读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、 验证、运算，使问题得以解决. 19.(1)证明见解析 层 【分析】(1)令f(x)=e-x-1,其中x∈R,利用导数法可得出e*≥x+1,再利用余弦函 数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立： (2)令p(x)=e+cosx-3-x-2,对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数p(x) 的单调性，验证p(x)≥p(O)=0对任意x∈R能否恒成立，综合可得出实数a的取值集合 【详解】(1)证明：令f(x)=e-x-1,其中x∈R,则f(0)=0,f'(x)=e-1. 当x<0时，'(x)<0,此时函数f(x)单调递减， 当x>0时，'(x)>0,此时函数f(x)单调递增， 所以，f(x)≥f(0)=0,即e≥x+1, 故对任意的xeR,J(x)=e+cosx≥x+1+cosx≥x+2cosx. (2)解：令p(x)=J(x)-3-x-2=e+cosx-ar3-x-2,其中x∈R, 若存在实数a,使得J(x)≥ax+x+2恒成立，则p(x)≥p(0)=0,其中x∈R, (x)=o'(x)=e*-sinx-3ax2-1,(x)=g(x)=e'-cosx-Gax. 答案第9页，共11页 (x)=:(x)=e +sinx-6a ①当a-石时，由(1)可知，%()=6-2o-x≥0且%倒不恒为零、 此时，函数9(x)在R上为增函数， 因为g(0)=0,所以，当x<0时，g(x)<0,此时函数p(x)单调递减， 当x>0时，g(x)>0,此时函数p(x)单调递增， 所以，p(x)2p(0)=0,合乎题意： ②当a时，g=e+c,当xe[0时.g)=e+c0, 6 当x>0时，g'(x)=e+cosx>1+cosx≥0， 所以，西数国在[登小上为瑞蓝数。 因为g(0)=1-6a<0,g,(ea)>6a+1+-sinea-6a≥0， 所以，存在x∈(0，e),使得g()=0, 当0<x<x时，g(x)<0,则函数g(x)在(0，x)上单调递减， 则当0<x<x时，9(x)<0,则函数9(x)在(0，x)上单调递减， 当0<x<x时，g(x)<0,则函数p(x)在(0，)上单调递减， 故当0<x<时，p(x)>p(0)=0,不合乎题意： ③当a时，若引0.则作在5（受0使得a)0, 且当x∈(x,0)时，(x)>0: 若（引0时，可取=宁当e(化0时，只>0 因此，当a<时，函数%，(y)在(6,0)上为增函数， 6 当x∈（飞，0）时，4(x)<4(0)=0,所以，函数9(x)在(x,0)上为增函数， 当x∈(x,0)时，g(x)<g(0)=0,所以，函数p(x)在(：，0)上为增函数， 故当xe(x,0)时，p(x)<p(0)=0,不合乎题意， 答案第10页，共11页