精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

2024级高二入学考试 数学试题 时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦于净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中三个不同的点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】因为 故选：B． 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. 6 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的模的坐标运算公式运算即可得解. 【详解】解：∵向量的模， ∴. 故选：D. 3. 某工厂月份生产某种机械设备台，从中任选台进行质量检测，则每台机械设备被选到的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依古典概型求解. 【详解】总的基本事件200，被抽40，每台被抽概率 . 故选: D. 4. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ） A. 甲､乙恰有一人中奖 B. 甲､乙都没中奖 C. 甲､乙至少有一人中奖 D. 甲､乙至多有一人中奖 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可. 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确． 故选：D. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过公式可得投影向量. 【详解】因为，，所以. 又， 所以，故在上的投影向量为 故选：B. 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，所以灯亮的概率. 故选：C. 7. 如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】因为，，所以， 因为二面角的余弦值是，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为． 故选:C． 8. 如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，由题意可得点在平面内，且当平面时，取最小值，即平面,求出的坐标，计算出的值，即可得答案. 【详解】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为， 则，，，，，，，， 因为，且， 所以点在平面内， 又因为三棱锥为正三棱锥， 当平面时，取最小值，此时点位置记为点， 所以为的重心，则，故， 又因为，，，，，，， 所以，，，，，，， 所以共3个不同的取值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：在平面中，如果，且，则三点共线； 在空间中，如果，且，则四点共面. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6），设事件 “第一枚骰子出现的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子出现的点数为偶数”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. 与相互对立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型的求法，以及独立事件、互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】事件M,N互不影响，且可以同时发生，则A正确，B,C错误； ，D正确. 故选：AD. 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 D. 若是两个不共线的向量，而，且，则构成空间的一个基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用命题的真假、基底的定义、向量共面的充要条件运算分析即可得解. 【详解】对于选项A，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面. 假设与共面，则存在实数，使得， 因为与共线，，所以存在实数，使得， 因为，所以，从而， 所以与共面，与已知条件矛盾，故假设不真， 所以与不共面，即A是真命题； 对于选项B，根据基底的定义，可知空间中任何三个不共面的向量都可以构成 空间的一个基底，因为，即经平移后共线，则和空间任何 向量都共面，所以与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B是真命题； 对于选项C，由，，有公共点，则因为，，不能 构成空间的一个基底，所以向量，，共面，即，，， 四点共面，故C是真命题； 对于选项D，因为，且，所以共面， 所以不能构成空间的一个基底，故D是假命题. 故选：ABC. 11. 已知向量，记，如的夹角为，则，若在正三棱台中，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正三棱台的性质，结合平面几何的知识与新定义即可得解. 【详解】对于A，在正三棱台中，， ，故A正确； 对于B，在正三棱台中，易知， 所以， 所以，故B正确； 对于C，同理可知， 所以，故错误； 对于D，易知是腰长为，底边长为1的等腰三角形， 则，故， 所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【解析】 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 13. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且夹角不为平角. 【详解】，与的夹角为钝角，则，即. 又当与的夹角为平角时，有，得. 故实数的取值范围为且. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，，. （1）求x，y，z的值； （2）求向量与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可. （2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，，， ， 因为，设存在实数，使得， 所以，则. 因为，，则. ∴所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， ∴，， ∴， ，， ∴. ∴向量与所成角的余弦值为. 16. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为. （1）求事件“”的概率； （2）求事件“”的概率. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先列出所有的基本事件，再找出满足条件的基本事件，利用满足条件的基本事件的个数除以所有的基本事件的个数即得到答案； （2）同（1）． 【详解】解：设表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：，，共36个基本事件． （1）用A表示事件“”,则A的结果有，共3个基本事件 因此，事件“”的概率为 （2）用B表示事件“” , 则B的结果有，共8个基本事件 因此，事件“”的概率为 【点睛】本题主要考查了求古典概型的概率问题，属于基础题． 17. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 18. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率； （3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率； 【小问1详解】 由题意可得：3人全通过初赛的概率为， 所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为； 【小问2详解】 甲参加市知识竞赛的概率为， 乙参加市知识竞赛的概率为， 丙参加市知识竞赛的概率为， 所以这3人都参加市知识竞赛的概率为； 【小问3详解】 由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛， 记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件， 则. 19. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 【答案】（1） 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即. （2）存在， （3）定值为，理由如下： 因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以, 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值. 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立； （2）设，其中，求出点的坐标，根据面得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值，即可得出结论； （3）由为的重心结合已知条件得出，再利用空间向量共面的基本定理得出，结合空间向量的基本定理可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二入学考试 数学试题 时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦于净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中三个不同的点，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. 6 C. 7 D. 5 3. 某工厂月份生产某种机械设备台，从中任选台进行质量检测，则每台机械设备被选到的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ） A. 甲､乙恰有一人中奖 B. 甲､乙都没中奖 C. 甲､乙至少有一人中奖 D. 甲､乙至多有一人中奖 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6），设事件 “第一枚骰子出现的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子出现的点数为偶数”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. 与相互对立 D. 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 D. 若是两个不共线的向量，而，且，则构成空间的一个基底 11. 已知向量，记，如的夹角为，则，若在正三棱台中，．则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 13. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，，. （1）求x，y，z的值； （2）求向量与所成角的余弦值． 16. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为. （1）求事件“”的概率； （2）求事件“”的概率. 17. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 18. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 19. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $