精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

建平高中2025-2026学年度高二上学期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟，分值：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 3. 如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　) A. 3 B. 2 C. D. 5 5. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 已知四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD是菱形，且，M为棱PD的中点，则下列结论不正确的有（ ） A. 平面AMC B. C. D. PB与AM所成角的余弦值为 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，且，则的最小值是______． 13. 设，向量，，，且，，则__________. 14. 已知二面角的大小为，且面，的面积为，则的面积是___________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； 17. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 18. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 19. 如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平高中2025-2026学年度高二上学期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟，分值：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 计算，根据向量垂直得到答案. 【详解】，，则， 与互相垂直，则，. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】分子分母同时除以，得到关于的式子，进而代入，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题. 4. 已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　) A. 3 B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求向量坐标，再由向量模的坐标公式求解． 【详解】因为a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),所以|a-b+2c|=3.选A. 【点睛】若点，则．. 5. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法法则和模长公式进行求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C 6. 如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值. 【详解】连接， 四边形为平行四边形 异面直线与所成角即为与所成角，即 设 ， ， ，， 在中，由余弦定理得： 异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 8. 已知四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD是菱形，且，M为棱PD的中点，则下列结论不正确的有（ ） A. 平面AMC B. C. D. PB与AM所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可知A正确；利用等腰三角形三线合一性质可得，，由线面垂直判定可知平面，由线面垂直的性质可知B正确；根据面面垂直的性质得出为直角三角形，求出的长度，证明不是直角，从而得出不是等腰三角形，从而判断C；由平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得，由此可知D正确. 【详解】对于A，连接交于点，连接， 四边形为菱形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面，A正确； 对于B，取中点，连接， 为等边三角形，为中点，； ，，为等边三角形，； ，平面，平面， 又平面，，B正确； 对于C，设，则， ，平面，平面平面，平面平面，平面， 又平面，， ，又， 在中，，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误； 对于D，，与所成角即为与所成角，即为或的补角； 由C知，，， ， 即与所成角的余弦值为，D正确. 故选：C. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 10. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 11. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得解． 【详解】对于A，若，则或与异面，故A错； 对于B，，则或或与相交（不垂直），故B错误； 对于C，，又，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误． 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 13. 设，向量，，，且，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 14. 已知二面角的大小为，且面，的面积为，则的面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件作出二面角的平面角，探求与公共边AB上高的关系即可计算作答. 【详解】如图，过点P作PO⊥AB于O，连接， 因平面，又平面，则，而，平面，于是得平面， 显然，平面，从而有，因此，是二面角的平面角，即， 在中，，则有，， 所以的面积是. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值是2，最小值是 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质，可得函数在区间上的最大值和最小值． 【小问1详解】 ， 令， 解得：． 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 ， ， ， 当，即时，取最大值2； 当，即时，取最小值； 函数在区间上的最大值是2，最小值是. 17. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1） ∵底面，底面， ∴． 又，，平面， ∴平面． （2）6 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定证明； （2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意易知四边形为直角梯形， ∴． ∴． 18. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】（1）50，0.03，0.004 （2）71，70.6 【解析】 【分析】（1）根据第一组的频数、频率求出样本容量，再根据第五组的频数、频率求出； （2）设中位数为m，根据中位数左边的矩形面积之和为列方程可求出的值，由将矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数. 【小问1详解】 由题意可知，样本容量为，， ； 【小问2详解】 设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 19. 如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：在菱形中，，为的中点， ， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，平面平面． （2）存在；的长度为. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可得，可知当时，最大，此时最大，由此可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，设， ，， 轴平面，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则， ，当时，取得最小值，取得最大值， 又在上单调递增， 当时，取得最大值， 此时，即的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $