精品解析：河南省 信阳市浉河区董家河镇中心学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

八年级九月份月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ ） A. 都可以 B. 只有可以 C. 只有可以 D. 都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形两边之和大于第三边．即可判断求解． 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，， ∴两根长度分别为分米和分米的细木条做一个三角形的框架，可以把分米的细木条分为两截． 故选：B． 2. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 3. 从下面4条线段中选3条围成一个三角形，只能选（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边进行判断求解即可． 【详解】解：由于三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 所以①②③不能构成三角形，②③④可以构成三角形，①③④不能构成三角形， 故选：B． 4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 5. 如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求出的取值范围即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴AB的值在6和16之间， ∴A、B间的距离可能是10． 故选：B． 6. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，直线、分别经过的顶点、．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行得出角的关系，再利用平角的性质，求解即可． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选B． 8. 如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， ， 故选A． 9. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 【详解】自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，选项A、选项B和选项C都与题干不符． 故选：C． 10. 如图，，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内外角关系，根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角 之和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，的平分线交于点，若，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，由直角三角形的性质求出，由角平分线的定义得到，于是，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的外角，则的值为_________． 【答案】360 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出关系式正确解答本题的关键． 由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，由，根据三角形的内角和是180°，列式求解． 【详解】解∶ ， ． ， ． ， ， ， 解得． 故答案为∶． 14. 已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合等腰三角形两腰相等的性质来确定底边长的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 在等腰三角形中，两腰长均为，底边长为． 所以，即； 且，即． 故． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是_______． 【答案】14°##14度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°， ∵△CDE是△CDA翻折得到， ∴∠CED＝∠A＝52°， 在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB， 即52°＝38°+∠EDB， ∴∠EDB＝14°． 故答案为：14°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质及三角形内角和与外角的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求的长； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）7或9 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合周长为奇数这一条件确定的具体值． （2）先根据已知条件得出和的奇偶性，再结合三角形三边关系以及周长为奇数的条件确定的最小值． 【小问1详解】 解：∵ ，，， ∴ ，即， ∵ 的三边长均为整数，周长为奇数，（偶数），（偶数）， ∴ 为奇数， ∴ 或； 【小问2详解】 解：∵ （奇数），的三边长均为整数， ∴ 与一个是奇数，一个是偶数， ∵为奇数， ∴ 为偶数， ∵，， ∴ ， ∴ 的最小值为6． 17. 如图，在中，，点D在线段上，点E在左侧，连接，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，设， ， ， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，由已知，可得，推出，利用、，判定，即可求证； （2）由（1）中，可得，根据等腰三角形的顶角，可得底角，由，可得，求出，即可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， ，， ， ， ， ， ． 18. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ， 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， 在中，， ． 20. 如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， ， 又，点是的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质可得到，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， ； 【小问2详解】 解：，点是的中点， ； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，平分，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）与平行，理由见解答 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的性质求出，利用邻补角求出即可． 【小问1详解】 解：与平行． 理由：平分， ， 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：． ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据可得，根据等量代换可得，再根据平行线的判定方法“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，根据 “两直线平行，同旁内角互补”可得，根据“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ∴． 23. 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数； （2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？ 【答案】（1）∠DAE=15°； （2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=(180°-∠B-∠C)= 90°-∠B-∠C， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=90°-∠B， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =(90°-∠B) -(90°-∠B-∠C ) =∠C-∠B =(∠C-∠B)； （3）正确． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可． （3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=(∠C-∠B)． 【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=50°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°； （2）略 （3）（2）中的结论仍正确． ∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+(180°-∠B-∠C) = 90°+∠B-∠C； 在△DA′E中， ∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE =180°-90°-(90°+∠B-∠C) =(∠C-∠B)． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级九月份月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ ） A. 都可以 B. 只有可以 C. 只有可以 D. 都不可以 2. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 3. 从下面4条线段中选3条围成一个三角形，只能选（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ 4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 16 D. 17 6. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 7. 如图，直线、分别经过的顶点、．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 10. 如图，，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，的平分线交于点，若，则的度数为______ ． 12. 如图，是的外角，则的值为_________． 13. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 14. 已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为___________ ． 15. 如图，在中，，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则的度数是_______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求的长； （2）若，求的最小值． 17. 如图，在中，，点D在线段上，点E在左侧，连接，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 19. 如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 20. 如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 21. 如图，在中，平分，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 22. 如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 23. 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数； （2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $