精品解析：江苏省南京玄武外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

初三数学练习【提优班】 （时间：70分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题；每小题4分，满分24分） 1. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（ ）对． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查圆与三角形综合，熟练掌握垂径定理，直角三角形性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解决问题的关键. 根据垂径定理得到，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据余角的性质得到，推出，得到，，，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵经过圆心O， ∴， ∴，， ∴， 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴相等的线段共有5对， 故选：D． 3. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 4. 如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出的长，再连接求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，， ，， 连接， ， 是等边三角形， ， 又， ， 故选：B． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，，由勾股定理及圆周角定理的推论得，是的直径，根据等腰直角三角形的性质得，，从而，点在定圆的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，， ∵，， ∴，是的直径， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点在定圆的上运动， ∴根据三角形的两边只差小于第三边得，当、、三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 6. 如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， ，， ， ， ， ， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ， 故线段的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 二、填空题（本大题共8小题；每小题4分，满分32分） 7. 如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，先利用弧长公式求解，可得，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵的长为m，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： 8. 如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，直径所对的圆周角相等，掌握知识点的应用是解题的关键；连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而可根据，可得，根据圆内接四边形可得，根据圆周角定理即可求得的大小． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、两点坐标距离公式、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解答的关键．先得到一次函数图像过定点，设切点坐标为，圆心为，根据切线定义、勾股定理以及两点坐标距离公式列方程求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴一次函数图像过定点， 如图，设切点坐标为，圆心为， 则，，， ∴， 由勾股定理得， 则， 由①②解得，， ∴切点坐标为，， 故答案为：，． 10. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理 ，解题关键是利用图象信息确定半径，通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值． 先由图象中N与A重合时的长度及M是中点确定圆半径；再根据弧长公式求出时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出，即a的值． 【详解】解：结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点M是的中点， ∴，即圆O的半径， 当弧的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点N作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知的值为a， ∴． 故答案为． 11. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形、旋转变换等知识，先求出，，根据计算即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过、、三点作，连，，在优弧取点，连，，点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和，当点在扇形和扇形内，先求出，进而判断出点的轨迹，再求出，最后用弧长公式即可得出结论． 【详解】解：的内心为， ，， ， ，即， ， ，， 而， ， ， 所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和； 点在扇形内时， 如图，过、、三点作，连，，在优弧取点，连，， ， ， ，而， ， 弧的长， 同理：点在扇形内时，同①的方法得，弧的长为， 所以内心所经过的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题． 14. 如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 作的外接圆，连接，构造圆内接四边形，设外接圆的半径为，又，则，故有，即是等腰直角三角形，从而可得点四点共圆，则有，过作于点，，然后通过垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，构造圆内接四边形， 设外接圆的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题；满分58分） 15. 真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出已知求证并完成证明． 【答案】 已知：如图，，是的两条弦，， 求证：． 证明：如图所示，连接，，，，， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、圆周角、弧和弦的关系，掌握几者的关系是解题的关键．连接，，，，，由平行线的性质得，由圆心角与圆周角的关系得，，从而推出，由弧、弦、圆心角的关系即可得出答案． 【详解】略 16. 如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 17. 如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵经过的半径的外端， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，由点E是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到．求得，根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18. 分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 解：（1）作三角形的外心作法： 如图，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点、，过、两点作直线； 分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点、，过、两点作直线； 直线与直线相交于点，点即为的外心； （2）作三角形的外心作法： 如图，以点为圆心，长为半径作圆弧，以点为圆心，长为半径作圆弧， 两弧分别交于点，连接交于点； 以点为圆心，适当长为半径作弧，交AC于两点，以此两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点， 过点、作直线， 同样方法作直线，直线与直线相交于点，点即为的外心； 说明：由作图可知，，， 四边形为平行四边形， ，即点为的中点， 由作图可知，， 是线段的垂直平分线， 同理，是线段的垂直平分线， 点即为的外心． （3）作三角形的内心作法： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点，过、两点作射线； 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点，过、两点作射线； 射线与射线相交于点，点即为的内心； （4）作三角形的内心作法： 如图，以点为圆心，画两个不同半径的弧，得到点，，，，连接，交于点，过、两点作射线； 以点为圆心，画两个不同半径的弧，得到点，，，，连接，交于点，过、两点作射线； 射线与射线相交于点，点即为的内心． 说明：由作图可知， ，，， ， ， ∵，， ，即， ，，， ， ， ，，， ， ，即是的角平分线， 同理可证，是的角平分线， 点即为的内心． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线，作角平分线的作法，三角形的内心与外心，熟练掌握基本作图方法为解题关键．根据三角形三条边的垂直平分线的交点为三角形的外心，三角形内角平分线的交点为三角形的内心进行画图即可得出答案． 【详解】略 19. 在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． （1）①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) （2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． （3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】（1）①，；② （2） ①依题意补全方案3的示意图如下：     ② （3） 设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．     对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【小问1详解】 解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 ① ②连接，M为切点，则的中点， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F． （1）若，则______°； （2）求证：点F是的中点； （3）若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ，， ，， 同理：，， F点是的中点． （3）的长度不变， 【解析】 【分析】1）利用角度等量代换得到，由同弧所对的圆周角相等即可求解． （2）利用角度等量代换得到两个等腰三角形即可求解． （3）过M作圆的直径，由直径所对的圆周角等于得出，圆周角相等即所对的弦也相等，解一元二次方程求出A、B坐标即可知线段的长，最后利用中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：过作直径，连接， 点F是的中点，M点是中点，， 是圆M的直径，， ，， ，， ，， 解方程得，，， 由题意可知：，， ，， ． 当圆心M运动时，的长度不变，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，中位线的性质，勾股定理等，熟悉圆中各种的基本性质是解题关键． 【中考链接】（2025·南京中考） 21. 如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析角的取值范围．先根据圆周角定理，结合点在扇形内的位置，确定的取值范围． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 当点在优弧上时，； 当点在上时，, 若点接近点，则的度数接近，即的度数接近， 所以的取值范围是． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学练习【提优班】 （时间：70分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题；每小题4分，满分24分） 1. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 2. 如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（ ）对． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4. 如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题；每小题4分，满分32分） 7. 如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 8. 如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是______度． 9. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 10. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为______． 11. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 12. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 13. 如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为______． 14. 如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题；满分58分） 15. 真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出已知求证并完成证明． 16. 如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 17. 如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 18. 分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 19. 在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． （1）①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) （2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． （3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F． （1）若，则______°； （2）求证：点F是的中点； （3）若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围． 【中考链接】（2025·南京中考） 21. 如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $