精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025年初三级9月数学科作业评价卷 （时长120分钟，总分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，移项后缺失二次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 【详解】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分； 菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等， 故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法进行变形，再逐一判断即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得， ， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 5. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：A． 6. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，由三角形中位线定理可证明，结合矩形的性质可证明，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴原来的四边形是对角线互相垂直， 故选：D． 7. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，得到根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 8. 如图，一块长方形绿地的长为100米．宽为50米，在绿地中修建两条道路后剩余的面积为4851平方米，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4851平方米，即可得出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 9. 如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，正方形的判定定理逐项判定解答即可． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且， ， ， ， 四边形是菱形， 当添加时，则， 故四边形是菱形， 故A错误，该选项不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B错误，该选项不符合题意； 当时， ， ， ， 菱形是正方形， 故C正确，该选项符合题意； 当E为的中点时，得到， 无法判定菱形是正方形， 故D错误，该选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，是的中点，那么的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形的性质和勾股定理可求出的值， 再证明，利用勾股定理求出的值，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程二次项系数是___________；一次项系数是___________；常数项是___________． 【答案】 ①. 2 ②. ③. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，在一元二次方程中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程二次项系数是；一次项系数是；常数项是． 故答案为：2；；5． 12. 若是关于的方程的解，则代数式的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义和整体思想是解题的关键，根据是关于的方程的解，可得，从而得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14. 如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F．则． ∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是2， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 15. ∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 三、解答题（一）（共3小题，6分+7分+8分，共21分） 16. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∴． ∴方程的解为，． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1是真命题， 证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，且，， 为的中点， 是的中位线，则， ，则； 命题2是真命题， 证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ； 命题3是真命题， 证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】命题1：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形，再由中位线的判定与性质得到，最后利用三角形面积公式求解即可得证； 命题2：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形即可得证； 命题3：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 21. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． （2） 证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三)（共2小题，第22 题13分，第23题14分) 22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米. （1）花圃的面积为 （用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元 【答案】(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可． 试题解析： (1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）； （2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40， 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去）， 答：所以通道的宽为5米； （3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米） 即此时花圃面积最少为800（平方米）． 根据图象可设y1=mx，y2=kx+b， 将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有 1200m=48000，解得：m=40 ∴y1=40x且有 ， 解得：， ∴y2=35x+20000． ∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400， ∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a ∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920 解得a1=2，a2=48（舍去）． 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元． 点睛：本题是一元二次方程和一次函数的综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题. 23. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （2）小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 【答案】（1）小亮的观点正确， 证明：∵正方形， ∴，， 在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． （2）小颖的观点正确， 证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． （3）或；的面积为或． 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （3）分两种情形：如图3中，当点在线段上时，结论：．延长到，使得，则，再证明，可得结论；如图4中，当点在的延长线上时，结论，证明方法类似；结合前面结论分两种情形，解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或；理由如下： 如图3中，当点在线段上时，结论：． 理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，结论 理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，设， 同理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟悉相关性质，掌握类比的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三级9月数学科作业评价卷 （时长120分钟，总分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 6. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 7. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块长方形绿地的长为100米．宽为50米，在绿地中修建两条道路后剩余的面积为4851平方米，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，是的中点，那么的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程二次项系数是___________；一次项系数是___________；常数项是___________． 12. 若是关于的方程的解，则代数式的值是___________． 13. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 14. 如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 15. ∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 三、解答题（一）（共3小题，6分+7分+8分，共21分） 16. 用适当的方法解方程：． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 五、解答题（三)（共2小题，第22 题13分，第23题14分) 22. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米. （1）花圃的面积为 （用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元 23. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （2）小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $