精品解析：吉林省白城市通榆县第六中学2025-2026学年度上学期九年级月考数学试卷（综合练习）

吉林省白城市通榆县第六中学2025-2026学年度上学期九年级月考数学试卷（综合练习） 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 已知函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（ ） A. (x＋2)2＝2 B. (x－2)2＝7 C. (x＋2)2＝1 D. (x－2)2＝1 5. 若关于一元二次方程的一个解是1，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 一个多边形共有20条对角线，则这个多边形为（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 8. 若将方程化为的形式，则______． 9. 若关于的方程的根的判别式的值为1，则______． 10. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为_____． 11. 若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 用因式分解方法解方程：． 13. 用公式法解方程：． 14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程有一根为3，求m的值． 15. 已知点与点都在二次函数的图象上． （1）求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． （2）当时，直接写出的最大值和最小值． 16. 一辆汽车的行驶距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多少时间？ 17. 已知关于的一元二次方程中，． （1）解：∵，． ∴， ∴______，此时______． （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根． 18. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，3是三角点阵中前2行的点数和；6是三角点阵中前3行的点数和；是三角点阵中前4行的点数和．根据以上信息，解答下列问题： （1）三角点阵中前5行的点数和为______． （2）三角点阵中前行的点数和为______．（用含的式子表示） （3）是前多少行的点数之和？ 19. 如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） （1）当点落在线段上时，求的值． （2）求关于函数解析式，并写出自变量的取值范围． 20. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． （1）小球的滚动速度平均每秒减少______m． （2）小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） （3）小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 21. 阅读与思考： 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例1：解一元三次方程：． 解：通过因式分解把原方程转化为， 或， 解得或， 原方程解为． 例2：解根号下含有未知数方程：． 解：通过两边同时平方转化为，解得， ，且， ， 不是原方程的解， 原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）方程的解为______，______，______． （2）解方程：． （3）解方程：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，点的坐标为，连接BA并延长交抛物线对称轴于点，过点作对称轴的垂线，垂足为点，点为该拋物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式，并写出点的坐标． （2）当点落在轴上时，的形状是______． （3）当点落在直线上时，求的长． （4）当点与点重合时，直接写出直线与轴交点的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白城市通榆县第六中学2025-2026学年度上学期九年级月考数学试卷（综合练习） 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的一般形式是解题的关键；方程利用单项式乘多项式法则展开，再移项、合并同类项即可化为一元二次方程的一般形式，最后比较二次项系数即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ∵化成一元二次方程的形式， ∴， 故选：C． 2. 已知函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线过原点，得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过原点， ∴当时，， 即， 解得：， 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握的顶点坐标是解题的关键． 由顶点式可得顶点坐标，然后判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（ ） A. (x＋2)2＝2 B. (x－2)2＝7 C. (x＋2)2＝1 D. (x－2)2＝1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到答案． 【详解】， 整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程的一个解是1，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的解是1， ∴， 即， ∴， 故选：D． 6. 一个多边形共有20条对角线，则这个多边形为（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线条数问题，一元二次方程的应用；设这个多边形的边数为n，根据多边形对角线条数列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 即这个多边形是八边形， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 8. 若将方程化为的形式，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．通过给方程两边加上一次项系数6一半的平方9，可将左边配成完全平方式，进而得出m的值． 【详解】解：将方程化为的形式，需用配方法， ， ， ， ∴将方程化为的形式为， ∴ 故答案为7． 9. 若关于的方程的根的判别式的值为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求出m的值是解题的关键．先根据一元二次方程根的判别式可求出m的值即可． 【详解】解：， ∵其根的判别式的值为1， ∴， 解得：． 10. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为_____． 【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20． 【解析】 【分析】设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 （x﹣3）（x﹣2）=20． 故答案为（x﹣3）（x﹣2）=20． 【点睛】本题主要考点为由实际问题抽象出一元二次方程． 11. 若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移规则：上加下减，左加右减；根据平移规则求得h与k的值，即可求解． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 13. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键；先化为一元二次方程的一般形式，再计算出判别式，最后用公式法即可求解． 【详解】解：原方程化：， ∵， ∴， ∴． 14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程有一根为3，求m的值． 【答案】（1）m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）m＝﹣2或m＝﹣4． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，故△＞0，解不等式即可； （2）将x=3代入方程求m即可. 【详解】解：（1）依题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）＞0， 解得：m＞﹣， 即当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根． （2）依题意得：32+3（2m+1）+m2﹣4＝0， 解得m＝﹣2或m＝﹣4． 【点睛】此题考查的是（1）根的情况与根的判别式取值之间的关系；（2）方程的根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根. 15. 已知点与点都在二次函数的图象上． （1）求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． （2）当时，直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1），拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）最小值为0，最大值为32 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； 【小问2详解】 解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 16. 一辆汽车的行驶距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多少时间？ 【答案】经过秒汽车行驶了米，行驶米需要秒． 【解析】 【分析】令t=12s，代入S=9t+3t2，即可求出S的值，令S=380m，即可求出t的值． 【详解】解：当t=12时，S=9×12+×122=108+×144=108+72=180（m）， 当S=380m时，9t+t2=380，整理得t2+18t-760=0， 即（t-20）（t+38）=0， 解得t1=20，t2=-38（舍去）． 答：经过12秒汽车行驶了180米，行驶380米需要20秒． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，直接将数值代入二次函数解析式进行计算，要熟悉一元二次方程的解法． 17. 已知关于的一元二次方程中，． （1）解：∵，． ∴， ∴______，此时______． （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负和判别式与根的关系是解题的关键．先根据二次根式的被开方数非负求出c、b的值，再结合判别式求出a，进而求解方程的根． 【小问1详解】 解：根据二次根式的性质：被开方数必须是非负数，所以对于和，需要满足： ， ∴， ∴， 将代入得 ； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 将，代入判别式，得 ， 解得， 此时方程为， 即， 解得． 18. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，3是三角点阵中前2行的点数和；6是三角点阵中前3行的点数和；是三角点阵中前4行的点数和．根据以上信息，解答下列问题： （1）三角点阵中前5行的点数和为______． （2）三角点阵中前行的点数和为______．（用含的式子表示） （3）是前多少行点数之和？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含n的代数式表示出前n行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和； （2）根据发现的规律即可解决问题； （3）由（1）的发现即可解决问题 【小问1详解】 解∶依题意得， 第一行点的个数为∶； 前两行点数和是∶； 前三行点数和是∶； 前四行点数和是∶； 前五行点数和是∶． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意得∶ 前n行的点数和是∶ 故答案为∶ 【小问3详解】 解：依题意得 即 整理，得 解得或． 为正整数， ． 答∶是前行的点数之和． 19. 如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） （1）当点落在线段上时，求的值． （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． （1）当点M落在线段上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （2）根据题意分三种情况：当时，时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 ∵在中，，， ∴， 当点M落在线段上时，四边形是正方形， 根据题意得， 在等腰直角三角形中， 由题意可得和、是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①当时，正方形完全在内部，此时重叠部分面积就是正方形的面积， ∴正方形面积； ②当时， 设与交于点E，与交于点F， 此时正方形与重叠部分为矩形， 和为等腰直角三角形，即，， ∵， ∴， 在中由勾股定理得， 即， ∴， ∴矩形面积； ③当时，正方形与无重叠，所以； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 20. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． （1）小球的滚动速度平均每秒减少______m． （2）小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） （3）小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】（1）1 （2）共滚动了 （3）小球滚动用了2秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【小问1详解】 解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； 【小问3详解】 解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 21. 阅读与思考： 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例1：解一元三次方程：． 解：通过因式分解把原方程转化为， 或， 解得或， 原方程的解为． 例2：解根号下含有未知数的方程：． 解：通过两边同时平方转化为，解得， ，且， ， 不是原方程的解， 原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）方程的解为______，______，______． （2）解方程：． （3）解方程：． 【答案】（1）1；2；3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了特殊方程的解法，根据方程的特点转化为学过的方程是解题的关键． （1）每个因式为0，即可求解； （2）先把方程左边分解因式，再求解即可； （3）两边平方，把无理方程转化为有理方程，再求解，最后确定方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 则或或， 所以， 故答案为：1；2；3； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 或， 解，得或， 原方程的解为； 【小问3详解】 解：方程两边平方得：， 即， 解得：， ∵， ∴， 即不是方程的解， ∴原方程的解为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，点的坐标为，连接BA并延长交抛物线对称轴于点，过点作对称轴的垂线，垂足为点，点为该拋物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式，并写出点的坐标． （2）当点落在轴上时，的形状是______． （3）当点落在直线上时，求长． （4）当点与点重合时，直接写出直线与轴交点的纵坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，C的坐标为； （2）等腰直角三角形 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求抛物线解析式、配方法求顶点坐标、等腰直角三角形的判定、一次函数解析式及与坐标轴的交点等知识，熟练掌握待定系数法、配方法以及二次函数与一次函数的综合应用是解题的关键．解题时需结合点的坐标特征，通过函数解析式与几何条件的结合，逐步解决各小问． （1）已知抛物线过点，用待定系数法将点代入解析式可求出b值；再通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点C的坐标． （2）点A在x轴上时其纵坐标为0，据此列方程求出m的可能值；确定A、B、M、D各点坐标后，通过计算边长和角度关系可判断的形状． （3）由垂直于抛物线对称轴可知轴，故直线的解析式为；结合点A在该直线上的条件列方程，再通过配方和两点间距离公式可求出的长． （4）当D与C重合时，设直线的解析式，利用B、D两点坐标用待定系数法求解；结合点A在直线上的条件，最终可求出直线与y轴交点的纵坐标． 【小问1详解】 ∵ 抛物线经过点， ∴ 将，代入，得 ， 解得， ∴ 抛物线的解析式为， ∵ ， ∴ 抛物线的顶点C的坐标为； 【小问2详解】 当点A落在x轴上时，A的纵坐标为0， ∵ 点在抛物线上， ∴ ，即， 解得或． ①当时： ∴ 点，点， ∵ 抛物线对称轴直线，且对称轴， ∴ 点， 设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴ 直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，且， ∴ ，是等腰直角三角形． ②当时，同理可得： 点，，，直线的解析式为，， 此时，，， ∴是等腰直角三角形。 综上，的形状是等腰直角三角形； 【小问3详解】 ∵ 直线抛物线对称轴， ∴轴，直线的解析式为， ∵ 点在直线上， ∴ ， 又∵ 点也在直线上， ∴ ， 由，配方得， ∴ ，即； 【小问4详解】 当D与重合时，设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，即，直线解析式为， ∵ 在直线上， ∴ ，整理得， 又∵ 在直线上， ∴ ，整理得， 结合，得， 即， 直线与y轴交点的横坐标为0，将代入，得纵坐标， 由，代入得： 当时，， 当时，； ∴ 直线与y轴交点的纵坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $