精品解析：山东省威海市文登区2025-2026学年九年级数学中考模拟检测题

2026年初中学业考试模拟训练 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题． 【详解】解：由图可知到原点的距离最大， ∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点． 2. 《2026年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，2025年我国卫星导航与位置服务产业总产值突破7500亿元．将“7500亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 4. 每周三下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“田径课”“思辨课”“书法课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三种课程分别为田径课，思辨课，书法课， 画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 5. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为， 故选：A ． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：与不是同类项，则，C错误； 选项D：，D正确． 7. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出正五边形的内角和与内角，而与正五边形的两边，相切于，两点，再在五边形中求出的度数． 【详解】解：正五边形的内角和， ∴， 又∵与正五边形的两边，相切于，两点， ∴， 而五边形的内角和， ∴ ． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程，即可得到正确方程组，对比选项得出答案． 【详解】解：设有人，辆车， 根据题意，得． 9. 如图，菱形的边长为4，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的边长为，，可得，，，，根据，推出，得到，进而求出，，，证明，得到，推出，证明，得到，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：菱形的边长为，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过允许的最高值．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度 … 则下列说法错误的是（ ） A. 整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为 B. 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C. 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为 D. 该企业在15天以内能实现排污达标 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，再根据选项逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可得，整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为，故A正确； 当时，设函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，由表格可知的值保持不变， 设其关系为，把代入，得， 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为， 当时，， 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为，故C错误； 当时，， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求，故D正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 写出不等式组的最小整数解_________． 【答案】2 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取两个解集的交集得到不等式组的解集，再从解集中确定最小整数解． 【详解】解：不等式组： 解不等式得， 解不等式得， 可得不等式组的解集为， 因此该不等式组的最小整数解为． 13. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为0，且根的判别式大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根 ∴该方程为一元二次方程，可得，且根的判别式 ∵ ∴， 解得 综上，的取值范围是且． 14. 如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设其中，则，则的最小值转化为的最小值，进一步求解即可． 【详解】解：以点B为原点建立平面直角坐标系，如图， ∵矩形，，， ∴， 设其中，则， 所以，， ∴的最小值转化为的最小值， ∵ 表示到距离与到的距离之和， 当，，三点共线时，取得最小值，即为的长度， ， 即的最小值是． 15. 如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解． 【详解】解： ， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ……， 以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环， ， 的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为，即的个位数字是． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（）先通过算术平方根定义，负整数指数幂运算，化简绝对值分别计算，然后合并即可； （）先算括号内的异分母分式运算，然后算分式除法，化简后再把，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 17. 尺规作图：已知，过点作直线，使得．如图是小明同学的作法： ①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，； ②以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，则． （1）请说明的理由； （2）小明在作图时发现以为圆心、的长为半径的弧刚好过点，若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： 连接，如图， 由小明同学的作法可知，直线是线段的垂直平分线，点在上， ∴， 又∵以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点， ∴ ， ∵点在上， ∴， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用等知识；（1）由作法可知，直线是线段的垂直平分线，证明，再证明和，从而证明 ，得到四边形 是菱形，从而可得结论；（2）由以为圆心、的长为半径的弧刚好过点，可得到，可得出的度数，再根据三角形的内角和定理得出 的度数，然后由三角形外角的性质求出的度数，最后由 可得答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵以为圆心、的长为半径的弧刚好过点， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又 , 由（1）知， ∴， ∴ , ∴ , ∴ . 18. 为了检测甲、乙两所学校开设安全教育课程的效果，现从甲、乙两所学校各随机抽取100名学生进行测试，并将学生的测试成绩（满分100分，单位：分）分为5组（组：，组：，组：，组：，组：）对数据进行整理、分析，部分信息如下： ①甲学校学生测试成绩频数分布表 组别 分组 频数 17 25 18 7 ②乙学校学生测试成绩频数分布直方图 ③将乙学校在组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． ④甲、乙两学校学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 80 79 80 乙 80 83 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全乙学校学生测试成绩频数分布直方图； （3）已知乙学校共有2500名学生，若测试成绩在80分及以上为优秀等级，请你估计乙学校有多少名学生的测试成绩优秀； （4）小明说：“从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好．”你同意小明的说法吗？请至少从两个角度说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）估计乙学校有1375名学生的测试成绩优秀； （4）同意，理由：两个学校的测试成绩的平均数相同，而乙学校的测试成绩的中位数、众数均比甲学校高，则从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好． 【解析】 【分析】（1）用100减去其他4组的人数得出a的值即可；根据中位数的定义求出b的值即可； （2）求出乙学校测试成绩在的人数，补全频数分布直方图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）运用平均数、中位数与众数作决策即可得． 【小问1详解】 解：； ，组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． 乙学校测试成绩第50个数为82，第51个数为83，因此中位数为：； 【小问2详解】 解：乙学校测试成绩在的人数为：（人）， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计乙学校有1375名学生的测试成绩优秀； 【小问4详解】 略 19. 如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，，伞骨，，．伞下放置一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角约为，若太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离．（精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过G作交于点Q，交于点P，可知四边形、四边形均是矩形，根据等边对等角及三角形内角和定理得到，根据三角函数得到，根据矩形的性质得到，可知，根据矩形的性质得到，，根据题意求出，根据三角函数求出，即可求出点到的距离． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过G作交于点Q，交于点P， 可知四边形、四边形均是矩形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，四边形均是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形均是矩形， ∴，， ∵太阳光线与水平方向的夹角约为， ∴， 即， ∴， 即， 解得：， ∴． 20. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面千米，保持高度不变，以千米/小时的速度水平飞行一定距离后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离千米处出现一障碍物，高度为千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． （1）若无人机水平飞行的时间为小时，求抛物线的表达式； （2）若无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，试求，无人机在原飞行路径上，最多可以水平飞行多长距离后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物？ 【答案】（1） （2）最多可以水平飞行千米后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，根据题意得出，求出点的坐标．将点代入，求出即可． （2）由题意知，点的坐标为，根据无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，求出表达式为，令，求出最晚开启紧急避障模式的水平距离，结合点A的坐标为，即可解答． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为． ∵（千米）， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意知，点的坐标为， ∵无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变， 将代入，则， 解得， ∴， 令， 解得或（舍去）， ∵点A的坐标为， （千米） 答：最多可以水平飞行千米后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物． 21. 如图，是的直径，平分，点，在上，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线以及等边对等角，证明，进而即可的，证明是切线； （2）过点作于点，证明四边形是矩形 设，则 ，勾股定理求得，进而求得 【小问1详解】 连接， 平分， ， ， ， ， 是的半径， 是切线 【小问2详解】 过点作于点， ， 四边形是矩形 ， 设，则 ， 解得 在中， 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，矩形的性质，勾股定理解直角三角形，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 22. 如图1，正方形，，点，分别是，的中点，连接．将绕点逆时针旋转，连接并延长，交的延长线于点． （1）如图2，求证：； （2）如图3，连接，交于点，连接，求证：； （3）如图4，当旋转至时，点经过的路线长度为_________． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 设与相交于点M，如图， ∵绕点逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，O是中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到、和，设与相交于点M，由旋转得 ，则有，即可利用证明，得和，结合对顶角得到； （2）根据正方形的性质得和，由（1）知，结合直角三角形的性质得到，即可得； （3）由（2）知，则点在以O为圆心，为半径上，作于点，得到和，进一步得到，则，求得和，再证明四边形是正方形，即当旋转角从变化到时，在上运动，利用勾股定理求得和，结合弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴点在以O为圆心，为半径上， 作于点，如图， ∵，， ∴, ∴，， ∵，点恰好为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴点经过路线的长度为 ． 【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理、弧长公式等知识点，解题的关键是找到对应点的路径和正方形的性质． 23. 已知抛物线． （1）该抛物线的顶点坐标为_________； （2）已知，是抛物线上的两点，且，则的值为_________； （3）当，函数的最大值为． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点，且位于其对称轴两侧，在点和点之间的抛物线部分，最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（）把函数解析式转化为顶点式即可求解； （）根据二次函数图象的对称性解答即可求解； （）①根据抛物线的顶点坐标可知抛物线开口向上，当时，函数取最大值，再利用待定系数法解答即可求解；②由①得抛物线，之间的函数最小值为，即得最大值为，令，解得，，再分点离对称轴较远和点离对称轴较远两种情况，利用二次函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点关于对称轴对称， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的顶点坐标为，当时，函数的最大值为，， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，函数取最大值， 把代入，得， 解得； ②由①得，抛物线， ∵，是抛物线上两点，且位于对称轴两侧， ∴之间的函数最小值为， ∵最大值与最小值之差为， ∴最大值为， 令，则， 解得，， ∵抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴分点离对称轴较远和点离对称轴较远两种情况讨论， 当点离对称轴较远，即时，，即， 解得； 当点离对称轴较远，即 时，， 解得； 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业考试模拟训练 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 《2026年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，2025年我国卫星导航与位置服务产业总产值突破7500亿元．将“7500亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 每周三下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“田径课”“思辨课”“书法课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长为4，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过允许的最高值．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度 … 则下列说法错误的是（ ） A. 整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为 B. 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C. 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为 D. 该企业在15天以内能实现排污达标 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解：_________． 12. 写出不等式组的最小整数解_________． 13. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 14. 如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 15. 如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 尺规作图：已知，过点作直线，使得．如图是小明同学的作法： ①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，； ②以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，则． （1）请说明的理由； （2）小明在作图时发现以为圆心、的长为半径的弧刚好过点，若，求的度数． 18. 为了检测甲、乙两所学校开设安全教育课程的效果，现从甲、乙两所学校各随机抽取100名学生进行测试，并将学生的测试成绩（满分100分，单位：分）分为5组（组：，组：，组：，组：，组：）对数据进行整理、分析，部分信息如下： ①甲学校学生测试成绩频数分布表 组别 分组 频数 17 25 18 7 ②乙学校学生测试成绩频数分布直方图 ③将乙学校在组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． ④甲、乙两学校学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 80 79 80 乙 80 83 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全乙学校学生测试成绩频数分布直方图； （3）已知乙学校共有2500名学生，若测试成绩在80分及以上为优秀等级，请你估计乙学校有多少名学生的测试成绩优秀； （4）小明说：“从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好．”你同意小明的说法吗？请至少从两个角度说明理由． 19. 如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，，伞骨，，．伞下放置一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角约为，若太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离．（精确到，参考数据：，，，） 20. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面千米，保持高度不变，以千米/小时的速度水平飞行一定距离后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离千米处出现一障碍物，高度为千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． （1）若无人机水平飞行的时间为小时，求抛物线的表达式； （2）若无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，试求，无人机在原飞行路径上，最多可以水平飞行多长距离后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物？ 21. 如图，是的直径，平分，点，在上，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图1，正方形，，点，分别是，的中点，连接．将绕点逆时针旋转，连接并延长，交的延长线于点． （1）如图2，求证：； （2）如图3，连接，交于点，连接，求证：； （3）如图4，当旋转至时，点经过的路线长度为_________． 23. 已知抛物线． （1）该抛物线的顶点坐标为_________； （2）已知，是抛物线上的两点，且，则的值为_________； （3）当，函数的最大值为． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点，且位于其对称轴两侧，在点和点之间的抛物线部分，最大值与最小值之差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $