精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高三上学期第二次（10月）月考数学试题

六安一中2026届高三年级第二次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“”为假命题，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数值域为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个极值点 C. 存在，使得成立 D. 在上没有零点 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与表示同一函数 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 若集合 中只有一个元素，则 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（ ） A. B. C 当时，恒有 D. 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 设函数过定点，则_____________． 13. 设是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，则__________． 14. 已知正实数满足，则_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的所有极值点； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求的取值范围． 17 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上的最小值为，求的值． 18. 已知函数，且处取得极小值． （1）求证:； （2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数． （i）设为的极值点，证明：； （ii）证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第二次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，，再根据交集的定义求即可. 【详解】函数的定义域为，又， 所以， 因为不等式的解集为，又， 所以， 所以 故选：C. 2. 若命题“”为假命题，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知“”为真命题，结合基本不等式可求得a的取值范围，结合选项，即可得答案. 【详解】由于命题“”为假命题， 故命题“”为真命题， 因为，当且仅当，即时等号成立， 故，结合选项可知a的值可能为4. 故选：D 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误. 【详解】，当时，有，A选项错误； ，有，所以，B选项正确； 当，满足，，， 有，C选项错误； 满足，，，有，D选项错误. 故选：B. 4. 已知函数的值域为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出时的的取值范围，再结合的值域即可求出a的取值． 【详解】当时，单调递减，故， 故要使得的值域是， 则当时，的最小值为，且最大值大于或等于， 即当时，，且，当时，， ∴，解得， 故选：A． 5. 已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数上单调递减 B. 函数有两个极值点 C. 存在，使得成立 D. 在上没有零点 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的图象，根据导函数与函数的单调性、极值的关系确定函数的单调性和极值，由此可判断A、B、C， 再结合零点存在性定理判断D. 【详解】观察图象可得当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，且仅在时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数有一个极值点，故B错误， 对于C，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以取为小于等于的常数，则有恒成立，故C正确 ； 对于D，函数在区间上单调递增，但由于无法确定和的正负， 所以无法判断零点情况，故D错误； 故选：C. 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，求导，根据导数的几何意义结合相切，得到，解得，再代入得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值即可． 【详解】由求导得， 设切点为，则切点， 由切点在切线上得，． ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 7. 已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由可得，由求零点. 【详解】因为在上单调，令，则且， 从而，解得（负根已舍去），所以， 由解得，所以的零点为1. 故选：B 8. 已知，，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，得到其极值，再对分类讨论即可. 【详解】由题意，. 由，解得或；由解得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极大值，极小值. 当，解得或， 当时， 若，由，则恒成立； 若，就可以成立， 不满足“”的充要条件是“”. 当时，有， 若，则有恒成立， 若恒成立，则有， 满足“”的充要条件是“”. 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与表示同一函数 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 若集合 中只有一个元素，则 D. “”是“”必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分别求出定义域并化简函数解析式，结合同一函数的定义即可判断；对于B，求出幂函数的解析式即可求解；对于C，分类讨论和两种情况方程的解，即可判断选项；对于D，由必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A，函数，其定义域为,，其定义域为， 所以函数与表示同一函数，故A正确； 对于B，设，由于幂函数的图象过点，则， 解得：，所以，故B正确； 对于C，若集合 中只有一个元素，当时，，满足条件； 当时，则，解得：， 所以集合 中只有一个元素，则 或，故C不正确； 对于D，当时，不一定，当时，则一定， 所以 “”是“”的必要不充分条件，故D正确； 故选：ABD 10. 定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（ ） A. B. C. 当时，恒有 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AB；由的图象关于点对称，可得，结合赋值以及已知条件可得当时，恒有，判断C；根据结合C的结论，可判断D. 【详解】由题意知，令，则，，A正确； 的图象关于点对称，故， 令，则，， 令，则由，得， 又，则，所以. 又当时，恒有，所以当时，恒有，C正确； 由，令，得， 令，，B错误； 又 , ，，D正确， 故选：ACD 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，判断其单调性，将变形为的形式，再结合不等式性质及基本不等式可得，从而可得b、a、的大小关系，从而得到答案． 【详解】令， ∵， ∴在单调递减． 由， ∴， 又， 所以， 又在单调递减， ∴， 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数过定点，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质列方程组求解即得，利用换底公式和对数运算性质即得答案. 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 13. 设是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，则__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是定义在上且周期为的奇函数， 所以， 又因为当时，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知正实数满足，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式得到，当且仅当时，等号成立，又，从而，根据等号成立条件列方程组，求出答案. 【详解】， 当且仅当时，等号成立，故， 又，理由如下： 设，， 则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以， 所以，且时，等号成立， 则，则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的所有极值点； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点；极小值点 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断单调性进而得到函数的极值点. （2）对函数求导，根据二次函数性质列出不等式组，然后即可求出的范围. 【小问1详解】 当时，， 令. 解得或. 令或；， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 根据单调性可知的极大值点为1；极小值点为5. 【小问2详解】 在上单调递减 ，在上恒成立， 则. 16. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令得，得到函数解析式； （2），求导，得到其单调性，根据函数零点个数得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 ，令得， 故； 【小问2详解】 ， ，， 又， 在上单调递减，在上单调递增， 在上有两个零点， ∴，故， . 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上的最小值为，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导并分析导数的正负来确定； （2）根据函数单调性分情况讨论. 【小问1详解】 解： ①当时，在恒成立，则在上单调递增； ②当时，；. 则在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，由（1）可知在上单调递增， 所以，这与矛盾，不符合题意； ②当即时，在上单调递增， ，与矛盾，不符合题意； ③当即时，在上单调递减，上单调递增， ，满足 ④当即时，在上单调递减， ，解得，这与矛盾，不符合题意. 综上：. 18. 已知函数，且在处取得极小值． （1）求证:； （2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数的极值列出关于的方程组，求解得到函数解析式，利用求导判断函数的单调性和极值即可证明； （2）根据（1）的结论和题设条件可得，对恒成立，即对恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求出函数的最大值即得参数的取值范围. 【小问1详解】 由求导得：， 因在处取得极小值，则得，即，解得， 故，由，可得，由，可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故. 【小问2详解】 由（1）已得当时，， 因，，使得不等式成立， 则得，对恒成立， 即，对恒成立， 也即，对恒成立， 令，则， 由，可得， ， 则，当且仅当时等号成立，则 在上单调递增， 故， 所以， 即实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数． （i）设为的极值点，证明：； （ii）证明：对任意，都有． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）（i）利用导数判断的单调性，求得的范围和的表达式，利用单调性证明；（ii) 通过求导得到的最小值为，满足，由（i）已得的最大值为，满足，根据函数在上为增函数可得，将结果代入，化简计算即得证. 【小问1详解】 由，可得，求导得， 则， 故曲线在点处切线方程为， 即. 【小问2详解】 （i）， 设，，则 所以在上单调递减， 因，， 故存在唯一，使得，即，即， 则当时，，， 当时，，， 则在上单调递增，在上单调递减， 为的极大值点，， 函数在区间单调递减，则， 即. （ii)由，因为和在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 则存在唯一，使得，即，即，（*） 当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 的最小值为， 由（i）可知，的最大值为，且，（**） 由于函数在上为增函数，由（*），（**）式可得， 故对任意正实数，都有 ， 故对任意正实数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $