22.2.5一元二次方程的根与系数的关系（1)课件2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过复习求根公式推导两根之和，再引导自主探究推导两根之积，以已有求根公式为学习支架，衔接新旧知识，构建完整知识脉络。 其亮点在于注重逻辑推理与数学运算，通过求根公式代数运算推导韦达定理，结合分层练习（如已知方程求两根和积、已知根求参数）培养推理意识。采用递进式教学，小结突出核心，助力学生理解定理本质提升能力，教师使用时环节清晰可直接应用。

22.2.5一元二次方程 根与系数的关系 第一课时 核心素养目标 1、核心价值：逻辑推理和数学运算 2、学科素养目标 ①知识目标：熟练掌握韦达定理的推导过程及简单应用； ②能力目标：类比迁移、科学思维与系统思维能力； ③情感目标：体验应用韦达定理解决问题的乐趣，增强计算能力。 一、情景引入 1、复习填空：用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a），已知此方程的两个根分别是x1和x2，试计算x1+x2及x1x2的结果（结果用a、b、c表示） 解：根据求根公式可得x= 即x1= x1+x x1x2= =（ =（ = = 二、自主探究 1、探究韦达定理 ①方程：ax2+bx+c=0（a） x1+x x1 ②韦达定理：即两根之和为，两根之积为 3、反馈练习 （1）已知方程3x2+4x-1=0，则此方程的两根之和为（ ），两根之积为（ ） A、 D、- C、 B、- B D 3、反馈练习 （2）已知方程3x2+bx+3=0的一个根为2，则此方程的另一个根为（ ），两根之和为（ ） A、 D、- C、 B、- C A 3、反馈练习 （3）已知方程3x2+bx+c=0的一个根为2-，则此方程的另一个根为（ ），c为（ ） A、2+ D、- C、 B、1 A B 二、精例精讲 例8、不解方程，求出方程的两根之和与 两根之积 （1）x2+3x-5=0；（2）2x2-3x-5=0 解：（1）设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=-3，x1x2=-5. （2）方程两边同除以2，得 x2-x-=0， 设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2= ，x1x2=-. 反馈练习 1、不解方程，判断下列方程是否有实数根，有的话求出方程的两根之和与 两根之积 （1）x2+3x+5=0；（2）3x2-3x-5=0 例9、试探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a）的根与系数的关系。 解：方程两边同除以a，得 x2+x+=0 由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=- ，x1x2=. 反馈练习 1、试由二次方程的求根公式，直接推导方程ax2+bx+c=0（a 解：根据求根公式可得x= 即x1= x1+x x1x2= =（ =（ = = 三、巩固练习 1、不解方程，判断下列方程是否有实数根，有的话求出方程的两根之和与 两根之积 （1）x2+4x-3=0； （2）3x2-4x=0； （3）（x+1）2=x； （4）= 解：（1）a=1，b=4，c=-3， △=1 所以此方程有两个不等的实数根 设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=- =-4，x1x2==-3 （2）a=3，b=-4，c=0， △=016 所以此方程有两个不等的实数根 设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=- =- = ，x1x2==0 解：（3）原方程变形为x2+1=0 a=，b=0，c=1， △= 所以此方程无解 （4）原方程变形为x2+9x-2=0， a=3，b=9，c=-2 △=105 所以此方程有两个不等的实数根 设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=- =- = ，x1x2===- 3、试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法： （1）已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和-3，求m和n （2）已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4，求它的另一个根和m的值 解：（1）a=，b=m，c=2n， x1+x2=- =- = =1+（-3）=-2，所以m=2 x1x2=== =1（-3）=-3，所以n= （4）a=1，b=m，c=-20 设两根为x1和x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1x2=(-4)x2==5 x1+x2=- =- = ，所以可得m=-1 四、课堂小结 韦达定理 x1+x2=- x1x2= 20 $