22.2.5一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册 22.2一元二次方程的解法 22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 第22章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. 能验证一元二次方程根与系数的关系. 会用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题. 回顾旧知 一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的求根公式是什么？ 思考探究 问题1 用适当的方法求解方程。 问题2 计算x1 + x2和x1·x2的值，思考：它们与方程的系数有何关系？ 二次项系数为1 一次项系数为3 常数项为－4 互为相反数 相等 两根之和 两根之积 思考探究 问题3 猜想：二次项系数为1的一元二次方程，其两根之和等于一次项 系数的相反数，两根之积等于常数项。对于任何一个满足条件的 一元二次方程，是否都有这样的结果？换几个方程试试吧！ 活动任务：同桌两人一组，每人写3个二次项系数为1的一元二次方程，然后同桌交换求解方程的两个根，再计算两根之和与两根之积，验证是否满足猜想。 思考探究 问题4 对于方程x2 + px + q = 0(p2－4q ≥ 0)，满足上述猜想吗？ 由一元二次方程的求根公式，可得 所以，两根之和 思考探究 问题4 对于方程x2 + px + q = 0(p2－4q ≥ 0)，满足上述猜想吗？ 所以，两根之积 课堂新知 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程x2 + px + q = 0的两根为x1、x2，那么 注意事项强调： ①该结论适用于满足二次项系数为1的一元二次方程； ②一次项系数和常数项必须满足p2－4q ≥ 0。 典例分析 不解方程，求出方程的两根之和与两个之积： 【解】 设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 解题的关键： 二次项系数为1的一元二次方程，两根之和与两根之积的结果均与二次项系数无关，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，切不可混淆。 方法技巧 思考探究 问题5 如何求方程2x2－3x－5 = 0的两根之和与两根之积？你遇到的困难 是什么？ 困难：二次项系数不为1 已知：二次项系数为1 转化 设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 思考探究 问题6 试探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根与系 数的关系。 二次项系数不为1 二次项系数为1 转化 设方程两根为x1、x2，由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 思考探究 问题6 试探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根与系 数的关系。除上述方法外，你还有其他方法吗？ 由一元二次方程的求根公式，可得 所以，两根之和 思考探究 问题6 试探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根与系 数的关系。除上述方法外，你还有其他方法吗？ 所以，两根之积 课堂新知 一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的两根为x1、x2，那么 该结论也叫韦达定理，适用于所有一元二次方程 典例分析 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。 【解】 所以方程有两个不相等的实数根 典例分析 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。 【解】 所以方程有两个不相等的实数根 典例分析 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积。 【解】 所以方程有两个不相等的实数根 （3）原方程可变形为 思考探究 问题3 结合上述典例，归纳总结求一元二次方程两根之和与两根之积 的步骤。 整理 确定 判断 计算 将方程整理成一般形式ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 确定系数a、b、c 的值 计算Δ = b2 － 4ac 的值，判断方程是否有实数根 若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算即可 典例分析 已知关于x的方程x2 + mx + n= 0的两个根是1和－3，求m和n的值. 【解】 解题的关键： 利用根与系数的关系求解即可：对于任何一个一般形式的一元二次方程，两根之和与二次项系数和一次项系数有关，两根之积与二次项系数与常数项有关。 方法技巧 典例分析 已知关于x的方程x2 + mx－20 = 0的一个根是－4，求另一个根和m的值. 【解】 解题的关键： 由方程可知a、c的值，则根据两根之积求出另一个根，再根据两根之和求出m的值即可。 方法技巧 设x1 = －4，另一个根为x2 当堂反馈 1. 若是一元二次方程x2－6x + m = 0的一个根为1，求另一个根和m的值。 【解】 设x1 = 1，另一个根为x2 当堂反馈 2. 若方程x2－3x－2 = 0的两根为x1、x2，求(x1 + 1)(x2 + 1)的值。 【解】 当堂反馈 3. 如果m、n是方程x2－5x + 2 = 0的两个根，求m2n + mn2的值。 【解】 课堂小结 学完这节课，你有哪些收获与体会？ 知识 运用 感悟 根与系数的关系 ①两根求系数 ②已知一根求另一根及系数 ？ 布置作业 习题22.2 第10题、第11题 感谢聆听! $$