2.题型训练卷(1)勾股定理的应用-【真题圈】2024-2025学年八年级上册数学练考试卷（北师大版2024）河南专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上13R 最 2.题型训练卷（一） 狗 勾股定理的应用 p 尽 题型一 面积问题 您州 1.（月考·2023-2024郑州五十七中)如图，四个全等的直角三角 回期 形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形 EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则 正方形EFGH的面积为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 B D G 製 第1题图 第2题图 2.(期中·2024-2025郑州外国语)如图是一株美丽的勾股树，其 中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,2,4，则最大的正方形 E的面积是( A.12 B.14 C.16 D.18 % 3.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为5和 11,则c的面积为( 金 A.6 B.5 C.11 D.16 A B a 第3题图 第4题图 4.(月考·2024-2025郑州枫杨外国语)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为 些0 附删 边向外作四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若a=2,b十c= 题) 12,则d为() A.8 B.10 C.12 D.14 国 5.(期中·2022-2023郑州外国语)李老师和“几何小分队”的队 员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问 题(Hippocrate's Theorem)”.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，a=6,b=8,分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，则图 中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 6 第5题图 第6题图 6.（月考·2024-2025郑州中学初中部)汉代数学家赵爽在注解 《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如 图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等直角三角形拼 接而成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3,若S1十S2十S3=24,则S2的值 为 题型二折叠问题 7.(期中·2024-2025郑州桐柏一中)小明在帮妹妹完成手工作 业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，∠BAC =90°，AB=4,AC=8,沿过点A的直线折叠，使点B落在BC 边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于 点E,则AE的长度为( A.4 B.5 C.6 D.7 A: -D G 第7题图 第8题图 8.(月考·2023-2024郑州中学初中部)如图，正方形ABCD的 边长为18，把正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处， 折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是( A.6 B.8 C.10 D.12 9.如图，在△ABC中，D在BC上，CD:DB=3：4,∠ADC= 45°，把△ADC沿AD折叠得△ADC,连接BC,若BD=8,则 BC的长为 D ------1 D 第9题图 第10题图 10.（月考·2023-2024郑州管城外国语)如图，在长方形ABCD 一 5 中，DC=6cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把三角形 AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F,若三角形 ABF的面积为24cm,则CE的长度为 cm. 11.（期中·2024-2025河南省实验)如图，在 B Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10, 已知D是AB上一动点，将点A沿CD翻折， 若A落到△ABC内（不包括边），则AD的取 值范围为 第11题图 题型三最短路径 12.（开学考·2023-2024郑州外国语)如图是一个台阶示意图，每 一层台阶的高都是20cm,宽都是40cm,长都是50cm,一只蚂蚁 沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短路线的长度是() A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 40 50 第12题图 第13题图 13.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正 上方的B点，已知圆柱底面周长是3m,高为16m,则所需彩 带最短是()m. A.8绝盗B.5 C.20 D.10 14.(期中·2024-2025郑州实验外国语改编)如图，一个三棱柱 盒子底面三边长分别为3cm,4cm,5cm,盒子高为9cm,一 只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点 B,蚂蚁要爬行的最短路程是 cm. H 第14题图 第15题图 15.(月考·2023-2024郑州五十七中)如图是放在地面上的一个 长方体盒子，其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,点 M在棱AB上，且AM=6cm,点N是FG的中点，一只蚂蚁 要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的 最短路程为 16.（开学考·2023-2024河南省实验改编)如图，圆柱形容器高 为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯 蚂蚁A 底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相 B蜂密 对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁 B处的最短距离为 cm. 第16题图 题型四实际应用 17.(期中·2024-2025郑州桐柏一中)桐桐早晨从家出发去上 学，先向正南方向走了1.5km,接着向正东方向走了2km到 达学校，桐桐家到学校的距离为() A.2 km B.2.5 km C.3 km D.3.5 km 18.数学文化（期中·2023-2024郑州金水区）《九章算术》是古 代数学代表作，书中记载：“今有开门去阃（读kù，门槛的意 思)一尺，不合二寸.问：门广几何？”题目大意是：如图①② (图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离 为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)， 则AB的长是( ) @ DO 门槛 ① ② 金星教育 第18题图 A.20.5寸B.52寸 C.101寸 D.104寸 19.(联考·2023-2024郑州七中教育联盟)如图是某小区健身中 心的平面图，活动区是面积为200m的长方形，休息区是直 角三角形，则半圆形餐饮区的面积是 m2. 20m 休 活动区 息区 餐饮区 第19题图 第20题图 20.（月考·2024-2025郑州桐柏一中)如图，有一架秋千，当它静 止时，踏板离地垂直高度DE=0.5m,将它往前推送2m(水 平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5m, 秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 m. 21.(期中·2023-2024郑州中原区九校联考)拉杆箱是人们出行 的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，某种拉 杆箱箱体长AB=65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在 箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心 在图中的A处，点A到地面的距离AD=3cm,当拉杆全部 缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A'处（此时 AC的长即拉杆箱箱体长)，求拉杆把手C离地面的距离（假 设C点的位置保持不变). ! D 第21题图 题型五最值问题 22.如图，在△ABC中，有一点P在AC上移动.若AB=AC=5, BC=6,则AP+BP+CP的最小值为() A.8 B.8.8 C.9.8 D.10 y 第22题图 第23题图 23.（月考·2023-2024郑州中学初中部)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC十PQ的最小值 是() A号 B.4 C.5 D.4 -6 题型六动点问题 24.(联考·2023-2024郑州七中教育联盟)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出 发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts,当 t= 时，△ABP为直角三角形. B∠ D 第24题图 第25题图 25.如图，等腰△ABC的底边长为16cm,腰长为10cm,D是BC 上一动点，当DA与腰垂直时，AD= cm. 26.(开学考·2023-2024河南省实验改编)如图所示，已知在 △ABC中，∠B=90°，AB=16cm,AC=20cm,P,Q是 △ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B 方向运动，且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方 向运动，且速度为2c/s,它们同时出发，设出发的时间为 t s. (1)BC= cm (2)求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值， (3)当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ是以BC 为腰的等腰三角形的运动时间 抱绝盗印 B P 第26题图答案与解析 2.C【解析】在Rt△ABC中，AB2一AC=BC2,所以圆环的面积 为元AB一元AC2=π(AB2一AC2)=πBC2=9π.故选C. 3.C【解析】如题图所示，延长MN交BC于点G,方法一：将五边 形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF,△CDF拼成，则 S=C+2×2ab=2+ab;方法二：将五边形ABCDE看成是由 正方形ABGM,正方形CDNG,△AME,△DEN拼成，则S=a ++2×2ab=d2+8+ab,根据面积相等可以得到a2+6+ ab=c2+ab,即a2+6=c2.故选C. 4.x2+2=(x+0.5)2 5.20【解析】因为AC⊥BD, 所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°. 由勾股定理得AB+CD=AO)+BO+CO+D),AD2十BC =AOP+DO+BO0+CO,所以AB2+CD=AD+BC. 因为AD=2,BC=4,所以AB+CD=2+4=20. 故答案为20. 6.60【解析】因为AB=AC,所以 ∠ABC=∠ACB.因为BF∥AC,所 以∠ACB=∠CBF,所以∠ABC= ∠CBF,所以BC平分∠ABF.过点 C作CM⊥AB,CN⊥BF,则CM=A CN.因为SAE= AE.CM, 第6题答图 Sam=合BF.CN,且BF=AE,所以Saa=Sam,所以四边 形EBFC的面积=SACBF+SAaE=S△E十SAaE=SAaM.因为 AC=13,所以AB=13.设AM=x,则BM=13-x,由勾股定理， 得CP=AC-AP=BC-Bf,所以132-x2=102-(13 ,解得x=得所以CM-所以Sa=合AB.CM= 60,所以四边形EBFC的面积为60.故答案为60. 7.(1)【解】∠ABC=∠ABC. (2)【证明】易知△ABC为等腰直角三角形，可得∠ABG=45°. 连接AC(图略)，设每个方格的边长为1， 则AB=1+32=10,AC=BC=1+22=5. 因为AC十BC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形， 可得∠ABC=45°，所以∠ABC=∠ABC. 8.【解】(1)如图①所示，连接OC,设CDLAB于点D,CD=4m. 因为0C=5m,所以OD=0C-CD2=52-42=9, 所以OD=3m,所以DE=6m. 因为6>2.8，所以这辆货车能通过该隧道， ① ② D ③ 第8题答图 (2)如图②所示，设CD⊥AB于点D,OD=4m,连接OC 因为0C=5m, 所以CD=OC-OD=52-42=9,所以CD=3m 因为3>2.8，所以这辆货车能驶入该隧道. (3)如图③所示，设CD⊥AB于点D,OD=4.3m,连接OC e 因为0C=5m,所以CD2=0C-OD2=52-4.32=6.51. 因为2.82=7.84,6.51<7.84，所以这辆货车不能通过该隧道. 2.题型训练卷（一）勾股定理的应用 1.A【解析】在Rt△ABE中，BE=AB2一AE2=102一82=36， 则BE=6.由题意可知BF=AE=8,所以EF=BF-BE=2,所 以正方形EFGH的面积=EF=22=4.故选A. 2.C【解析】如图，分别设正方形F, G,E的边长为x,y,之，则由勾股定 理，得x2=4+6=10,y2=2+4=6, A z2=x2十y2,即最大正方形E的面 积为z2=10+6=16.故选C. 3.A【解析】如图，根据正方形的性质 公 可得∠ABC=∠CDE=∠ACE= 90°，AC=CE, 第2题答图 所以∠ACB+∠ECD=∠DEC+∠ECD=90°， 所以∠ACB=∠CED, A 》 所以△ABC2△CDE(AAS), a 所以BC=DE. B C D 因为AC=AB2+BC, 第3题答图 所以AC=AB+DE, 所以正方形b的面积=正方形a的面积十正方形c的面积， 所以正方形c的面积=11一5=6.故选A. 4.B【解析】由题意可知a=AB,b=BC,c=CD,d=AD.连接 BD(图略)，在直角△ABD和△BCD中，BD=AD+AB= CD2+BC,即a+d=b+c.因为a=2,b+c=12,所以d=12-2 =10.故选B. 5.24【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=6,b=8, 所以AB=AC+BC=82+62=102,则AB=10, 所以S强s=合x×(停）)°+日x×(号)》广+合×6x8-x× (9)'=号x十8x+24-空x=24故答案为24 6.8【解析】因为八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH, MNKT是正方形，所以CG=NG,CF=DG=NF,所以S= (CG+DG)2=CG+DG+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2= GF2,S=(NG-NF)2=NG+NF2-2NG·NF,所以S,+S2 +S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG+NF2-2NG·NF= 3GF2=24,所以G2=8,所以S2=8.故答案为8. 7.B【解析】因为∠BAC=90°，AB=4,AC=8,所以∠B+∠C= 90°.由折叠得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,AD=AB=4,DE= CE,所以∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，所以∠ADE= 180°-（∠ADB+∠EDC)=90°.在Rt△ADE中，AD+DE= AE,DE=CE=8-AE,所以42+(8-AE)2=AE,所以AE= 5.故选B. 8.B【解析】设CH=x,则DH=EH=18一x. 因为BE:EC-2:1,BC-18,所以EC-号BC=6, 在Rt△ECH中，EH=EC+CHP, 即(18-x)2=62+x2, 解得x=8,即CH=8.故选B. 9.10【解析】由折叠可得∠ADC=∠ADC=45°，CD=CD, 所以∠CDC=∠CDB=90°. 因为CD:DB=3:4,BD=8,所以CD=CD=6. 在Rt△BDC中，BC2=BD+CD2=82+62=102, 则BC=10.故答案为10. 10.号【解析】因为在长方形ABCD中，DC=6cm, 所以∠B=∠C=90°，AD=BC,AB=DC=6cm 因为△ABF的面积为24cm2, 所以2X6BF=24,解得BF=8cm 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=AB2十BF2=62十82= 102,则AF=10cm 因为△AED沿AE折叠，点D落在BC上的点F处， 所以AD=AF=10cm,DE=EF,所以BC=10cm, 所以CF=BC-BF=10-8=2(cm). 设DE=xcm,则EF=xcm,EC=(6-x)cm 在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2+EC=EF2, 即2+(6-=，解得x=号， 所以CE=6-9=号（cm.故答案为号 1S<AD<9【解析】如图①，由翻折得∠ADC=∠ADC, ∠ACD=∠A'CD,所以点A的对应点A'落在△ABC内的条 件是∠ADA'<180°，∠ACA'<90°，所以∠ADC<90°，∠ACD <45°.当点A'落在AB上时，如图②，则∠ADC=∠A'DC= 90°，所以CD⊥AB,因为∠ACB=90°，AC=6,AB=10,所以由 勾股定理，得BC=AB2-AC=102-62=82,所以BC=8,所 以CD-CBC-然8-学，在R△ACD中，由勾股定理， AB 得AD=AC-CD=(),所以AD=号当点A落在BC 上时，如图③，则∠ACD=∠A'CD=45°，作DG⊥BC于点G, DH⊥AC于点H,则∠AHD=∠CHD=90°，DH=DG=CH =CG,所以2AC·DH+2BC·DG=2AC·BC=Sac, 所以DH=号，所以AH=AC-CH=9在R△ADH中，由 勾股定理，得AD=AF+DF=(9),所以AD=, 所以AD的取值范围为9<AD<9.故答案为9<AD <. 】 ① ② ③ 第11题答图 12.C13.C 14.15【解析】如图为三棱柱的侧面展开 B 图，AA'=3+4+5=12(cm),A'B= 9cm,∠AA'B=90°，所以AB=AA'2 +A'B2=122+92=225=152,则AB= 15cm.故答案为15. A 15.20cm【解析】如图①，由题意可知， 第14题答图 ∠B=90°，BM=18-6=12(cm),BN=10+6=16(cm),所以 MN2=122+162=400: 如图②，由题意可知，∠MPN=90°，PM=18-6+6=18(cm), NP=10cm,所以MN2-182+102=424. 真题圈数学八年级上3R 因为400<424，所以它需要爬行的最短路程是20cm. 故答案为20cm. F N M M B P ① ② 第15题答图 16.20【解析】如图是圆柱形容器侧面展开A12.- D 图的一部分，作A关于EF的对称点A',2X E 连接A'B,过点A'作A'D⊥BE,交BE的A 延长线于点D,则A'B为最短距离.易知 A'D=12cm,BD=18-4+2=16(cm). 在Rt△A'BD中，A'B2=A'D2十BD= 122+162=202,故AB=20cm.故答案 B 为20. 17.B 12 18.C【獬析】设OA=OB=AD=BC=x寸， 第16题答图 过D作DE⊥AB于点E, 如图，则DE=10寸，OE=之CD=1寸， 所以AE=(x-1)寸. 在Rt△ADE中，AE2十DE=AD,即(x-1)2+102=x, 所以2x=101,故AB=101寸.故选C. 2寸 DI B EO 第18题答图 9 19.之元【解析】长方形ABCD的面积为200m,且AB=20m, 则AD=200÷20=10(m). 在Rt△ADE中，AD为斜边，AD=10m,AE=8m, 所以DE=AD-AE=36,则DE=6m, 所以半圆形餐饮区的面积为2xX(号)广-号<m). 故答案为号元 20.2.5【解析】由题意，得AC=AD-CD=AD-(BF-DE) (AD-1)m.在Rt△ACB中，AC2+BC=AB,设秋千的绳索 长为xm,则AC=(x-1)m,故x2=22+(x-1)2,解得x= 2.5,即绳索AD的长度是2.5m故答案为2.5. 21.【解如图所示，过C作CE⊥DN于点E,延长AA'交CE于点 F,则∠AFC=90°. C A ----e i-N 第21题答图 设A'F=xcm,则AF=(55十x)cm. 由题意，可得AC=65+35=100(cm),A'C=65cm 在Rt△A'CF中，CF=A'C2-A'F2=652-x2. 答案与解析 在Rt△ACF中，CF=AC-AF=1002-(55+x)2, 所以652-x2=1002-(55十x)2,解得x=25, 所以A'F=25cm, 所以CF=A'C2-A'F2=3600,所以CF=60cm 又因为EF=AD=3cm, 所以CE=CF+EF=60+3=63(cm), 所以拉杆把手C离地面的距离为63cm. 22.C【解析】由题意可知AP+BP+CP =AC+BP,则当BP最小，即BP⊥ AC时，AP+BP+CP最小. 如图，过点B作BP⊥AC于点P, 设AP=x,则CP=5一x. 在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP, 第22题答图 在Rt△BCP中，BP2=BC-CP, 所以AB2-AP=BC-CP, 所以52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4. 在Rt△ABP中，BP2=52-1.42=23.04=4.82,则BP=4.8, 所以AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.故选C 23.D【解析】作点Q关于AD的对称点Q',连接PQ,如图①所 示，所以PQ=PQ. 因为AD平分∠BAC,所以点Q在AB上， 所以PC+PQ=PC+PQ,所以当CQ⊥AB,点P为CQ'与 AD的交点时，PC+PQ取得最小值，最小值为CQ的长，如图 ②所示. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 所以AB=AC+BC=100,所以AB=10. 因为2AC.BC=2ABCQ,即2X6×8=号×10.CQ, 所以CQ=号，所以PC+PQ的最小值为号故选D ① ② 第23题答图 24.2或g【解析】因为∠ACB=90,AB=5cm,AC=3cm, 所以BC=4cm.分情况讨论： ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP-BC-4cm, 所以t=4÷2=2; ②当∠BAP为直角时，BP=2tcm,CP=(2t-4)cm, AC=3 cm, 在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t-4)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 所以5+3+(2：一4=(20，解得=9 综上，当1=2或g时，△ABP为直角三角形.。 故答案为2或织。 25.7.5【解析】如图①，过点A作AE⊥BC,垂足为E. 因为AB=AC=10cm,AE⊥BC, 所以BE=CE=之BC-8cm, 所以AE=AB2-BE=102-82=62,则AE=6cm. 分两种情况： ①当DA⊥AC时，如图②， 在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 在Rt△ADC中，AD=CD-AC, 所以AE2十DE=CD2一AC, 即36+DE=(8+DE)2-100,解得DE=4.5cm, 所以AD=AE+D=62+4.52=7.52,则AD=7.5cm; B E ① ② ED ③ 第25题答图 ②当DA⊥AB时，如图③，同理可得AD=7.5cm 综上所述，当DA与腰垂直时，AD=7.5cm 故答案为7.5. 26.【解】(1)12 分析：因为∠B=90°，AB=16cm,AC=20cm, 所以BC=AC-AB=202-162=122,则BC=12cm (2)因为点P在边AC的垂直平分线上， 所以PC=PA=tcm,PB=(16-t)cm. 在Rt△BPC中，BC+BP=CP, 即12+(16-02=t,解得：=空。 此时，点Q在边AC上，CQ=2×5-12=13(cm). (3)12s或13.2s. 分析：分情况讨论： ①当CQ=BC时，如图①所示，则BC十CQ=24cm, 所以t=24÷2=12(s). ① 第26题答图 ②当BC=BQ时，如图②所示，过点B作BE⊥AC于点E. 因为2AB·BC=号AC·BE, 所以B距=ABBC_162-餐(am, AC 20 所以CE=BC-BE=()》',则CE=9cm, 所以CQ=2CE=14.4cm,所以BC+CQ=26.4cm, 所以t=26.4÷2=13.2(s). 综上所述，当运动时间为12s或13.2s时，△BCQ是以BC为 腰的等腰三角形. 3.第二章学情调研 题号12345678910 答案DC C DD AC B DB 1.D2.C3.C 4.D【解析】A.因为2+|-2|=2+2=4≠0，所以2和-2不 是相反数，不符合题意； B因为-2+合=一号≠0，所以一2和号不是相反数，不符合 题意； C.因为-2+一8=一2-2=一4≠0，所以一2和一8不是相