第9讲：函数的概念【知识梳理+11个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第9讲：函数的概念】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、函数概念（核心） 1.定义：设非空数集、，若对任意，存在唯一与之对应，则称对应关系为函数，记 2.三要素： 定义域：自变量的取值集合（） 对应法则：（确定的映射关系） 值域：函数值的取值集合（，是的子集） 3.本质：“一对一”或“多对一”的映射（“一对多”不是函数） 二、定义域（求解核心：列限制条件→解不等式/不等式组） 函数类型 限制条件（规范公式） 分式函数 偶次根式 对数函数 且 零次幂 复合函数 内层的值域外层的定义域（） 三、值域（求解核心：先定定义域，再用对应方法求范围） 求解方法 适用场景 规范公式/核心思路 配方法 二次函数 配方为，若，值域；若，值域 单调性法 单调函数（如一次、指对数） 若在上单调递增，则值域；单调递减则值域 分离常数法 分式函数 变形为，值域 换元法 含根号/复杂代数式函数 如，设，转化为，再用配方法求值域 四、常考结论（高频考点） 1.定义域仅与自变量的取值限制有关，与字母系数（如中）无关；若定义域为，则定义域需满足 2.值域由定义域和对应法则共同决定：同一对应法则下，定义域不同，值域可能不同（如，时值域，时值域） 3.分式函数的值域必不含；一次分式函数的值域一定是去掉一个常数 4.偶次根式函数的值域必为（定义域非空时）；对数函数的值域为（定义域满足真数大于0时） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：函数关系的判断】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高三上·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 【例题2】【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的图象与直线的交点可以有多个 C．的值域是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】求出函数定义域，利用函数相等的概念判断A，利用函数的概念判断B，结合利用不等式的性质求解值域判断C，利用基本不等式求解值域判断D. 【详解】对于A：的定义域为， 而的定义域为，则两者不是同一函数，A错误； 对于B：根据函数定义知函数的图象与直线的交点可只能有个或个 不可能有多个，B错误； 对于C：因为，所以，则的其值域为，C正确； 对于D：当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值不是，D错误. 故选：C 【相似题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 【解题策略】 一、函数关系判断核心依据 基于函数定义：非空数集（定义域）中任意，对应唯一数集，即“非空定义域+任意→唯一”。 二、具体解题步骤（共3步） 步骤1：确定自变量的取值范围（判断定义域是否非空） 操作：找出自变量的所有可能取值，形成集合； 关键：若（无合法取值），则不是函数关系；若，进入下一步。 示例场景：如“”，因，定义域为空，非函数。 步骤2：验证对应关系的“唯一性”（核心步骤） 操作：对任意，判断是否仅存在1个与之对应； 常用判断方法： 1.解析式型：代入任意，计算得唯一（如，1个对应1个）； 2.图像型：用“垂直于轴的直线”检验——直线与图像最多1个交点，则满足唯一对应； 3.表格/对应法则型：检查每个是否仅关联1个（如表格中1个对应2个，则非函数）。 关键：若存在某个对应2个及以上，则不是函数关系；反之进入下一步。 步骤3：确认因变量为实数（补充验证） 操作：判断对应得到的是否均为实数； 关键：若存在对应非实数（如，为虚数），则不是函数关系；若均为实数，则是函数关系。 三、常考注意点（易错提醒） 1.忽略定义域非空：如“且”，定义域为空，直接排除函数关系； 2.混淆“唯一对应”：“一对多”（1个→多个）不是函数，但“多对一”（多个→1个）是函数（如，和均对应，是函数）。 【题型二：具体函数的定义域】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由具体函数定义域求法结合偶次方根的被开方数为非负数，且分母不能为零解不等式可得定义域. 【详解】根据题意可知，解得且， 因此可知所求定义域为. 故答案为： 【例题2】（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据根号下的数非负以及分母不为零即可求出. 【详解】由题意得，则，故的定义域为， 故选：C． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据根式有意义的条件，解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得，，即， 解得. 故函数的定义域是. 故答案为： 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 【解题策略】 一、定义域求解核心原则 找到自变量的所有合法取值（使函数有意义的），核心是根据函数表达式的结构列“限制条件”，最终取所有条件的交集。 二、具体解题步骤（共4步） 步骤1：识别函数的“结构类型” 明确函数由哪些基本结构组成（如单一类型：分式/根式；复合类型：分式+根式/对数+二次函数等），不同结构对应不同限制条件。 步骤2：按结构列“数学限制条件” 根据基本结构，逐一列出需满足的不等式（规范公式）： 基本结构类型 限制条件（数学表达式） 分式（如） （分母不为0） 偶次根式（如） （被开方数非负） 对数（如） 且（真数正+底数合法） 零次幂（如） （底数不为0） 复合函数（如） 内层的值域外层的定义域（） 实际问题中的函数 需额外满足实际意义（如人数，长度） 关键：若函数含多种结构（如），需联立所有限制条件（列不等式组）。 步骤3：解不等式（组），求的取值范围 操作： 1.单一不等式：直接求解（如）； 2.不等式组：分别解每个不等式，再取交集（因需同时满足所有条件）。 示例：解不等式组，得，交集为。 步骤4：用“集合/区间”规范表示定义域 禁止直接写不等式（如“”不规范），需用两种标准形式： 1.集合表示：； 2.区间表示：（有限区间如，无限区间用，注意“开/闭”端点）。 三、常考易错点 1.漏对数的底数条件：仅写“真数>0”，忽略“”（虽题目常给，但需主动确认）； 2.复合函数定义域搞反：如已知定义域求，是“在的定义域内”，而非“在的定义域内”； 3.忽略实际问题限制：如“长方形面积函数”，需额外加“且”，即。 【题型三：抽象函数的定义域】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案. 【详解】因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 【例题2】（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可； （2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为， 则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 【解题策略】 一、抽象函数定义域核心原则 1.定义域本质：始终指自变量的取值集合（与后括号内的字母无关，如中定义域是的范围，中定义域是的范围）； 2.括号整体等价：同一函数，括号内所有表达式的取值范围完全一致（如与中，的范围和的范围相同）。 二、三大常考题型解题步骤 题型1：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：提取已知范围 由定义域，得后括号内整体的范围：括号内表达式需满足 2.步骤2：列不等式求解 将括号内表达式（如）代入范围，列不等式：，解此不等式得的取值集合； 3.步骤3：规范表示定义域 用“集合”或“区间”表示的范围，即为的定义域。 题型2：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：提取自变量的范围 由定义域，得自变量； 2.步骤2：求括号内表达式的范围 代入，计算在时的取值范围（即的值域）：； 3.步骤3：确定的定义域 因后括号内整体范围一致，故的定义域即为的取值范围。 题型3：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：先求的定义域 按“题型2”步骤，由定义域得的值域，此值域即为的定义域； 2.步骤2：再求的定义域 按“题型1”步骤，由定义域，列不等式，解出的范围，即为的定义域。 三、常考易错点 1.混淆“括号内表达式范围”与“的范围”：如已知定义域，求定义域时，错将解为当成的定义域，实际是的定义域； 2.忽略“定义域是的范围”：如已知定义域，错认为，实际应先取，再算； 3.复合函数多层嵌套失误：如的定义域求解，需先求内层的范围（结合外层的定义域），再解的范围，不可直接套公式。 【题型四：复合函数的定义域】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求定义域. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 【例题2】（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域与分式函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得，即定义域为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 【相似题2】（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 【解题策略】 一、复合函数核心结构与原则 1.基本结构：复合函数记为，其中 外层函数：（自变量为） 内层函数：（自变量为，函数值是外层的自变量） 2.定义域原则： 复合函数的定义域：自变量的取值集合（需同时满足两层函数有意义）； 范围关联：内层函数的函数值范围（的值域）外层函数的定义域（的取值范围）。 二、两大常考题型解题步骤 题型1：已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域 （例：已知定义域为，求的定义域） 1.步骤1：提取外层函数的范围限制 由定义域，得外层对的要求：； 2.步骤2：建立内层函数与的等式，列不等式 因，故需满足（内层函数值凑外层的范围）； 若内层含自身定义域限制（如需），需额外补充限制条件，形成不等式组； 3.步骤3：解不等式（组），求的范围 求解（及内层自身限制），得的取值集合； 4.步骤4：规范表示定义域 用“集合”或“区间”表示的范围，即为的定义域。 示例：已知定义域，求定义域 步骤1：； 步骤2：； 步骤3：解得； 步骤4：定义域为（或）。 题型2：已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域 （例：已知定义域为，求的定义域） 1.步骤1：提取复合函数中的范围 由定义域，得自变量的限制：； 2.步骤2：求内层函数的值域 将代入，计算的取值范围（即的所有可能值）； 3.步骤3：确定外层函数的定义域 因是外层的自变量，故的取值范围即为的定义域。 示例：已知定义域，求定义域 步骤1：； 步骤2：计算的范围：当时，；当时，，故； 步骤3：的定义域为。 三、常考易错点（关键提醒） 1.忽略内层函数自身定义域：如求的定义域（已知定义域），需同时满足和，最终取交集； 2.混淆“的范围”与“的范围”：如已知定义域，错将当成的范围，实际需先算在时的值域； 3.多层复合失误：如，需从内到外逐层分析：先确定对的限制，再确定对的限制，最后确定对外层的限制。 【题型五：同一函数的判断】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析即可判断各选项． 【详解】对于A，函数定义域是，定义域是，故A错误； 对于B，函数定义域是，定义域是，故B错误； 对于C，函数定义域，定义域是，与的对应法则相同，故C正确； 对于D，由，解得，则函数定义域是， 又，解得或，则定义域是，故D错误． 故选：C． 【例题2】【多选题】（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据同一函数的定义，对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断. 【详解】对于选项. 函数，定义域为，化简得. 函数，定义域为. 两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为，化简得. 两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为，值域为. 函数，定义域为，值域为. 即对，有.故两函数是同一函数.选项正确. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为. 对，有，故两函数是同一函数.选项正确. 故选： 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【相似题2】（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 【解题策略】 一、同一函数的核心判断原则 两函数与为“同一函数”，需同时满足以下两个条件： 1.定义域完全相同：两函数自变量的取值集合（区间）完全一致（范围、端点均无差异）； 2.对应法则完全一致：对定义域内的任意一个，两函数的函数值恒相等（与表达式形式无关，仅看“输入输出”的映射关系）。 注：值域由定义域和对应法则决定，若前两者相同，值域必相同，无需单独判断。 二、具体解题步骤（共2步，先后递进） 步骤1：判断两函数的“定义域是否完全相同”（优先判断，定义域不同则直接排除） 1.操作流程： ①分别按“具体函数定义域求解步骤”（分式、根式、对数等限制条件），求出和的定义域，用“集合”或“区间”规范表示； ②对比两个定义域集合：看范围（如与）、端点（如闭区间与开区间）是否完全重合。 2.判断标准： 若定义域集合不相等（如定义域，定义域），则与不是同一函数，无需进入下一步； 若定义域集合完全相等，则进入“步骤2”判断对应法则。 示例：判断与： 定义域：（集合）； 定义域：； 定义域不相等，故不是同一函数。 步骤2：判断两函数的“对应法则是否完全一致”（定义域相同后再判断） 1.操作流程： ①化简两函数的表达式（化简时严禁改变定义域，如分式约分前需保留分母不为0的限制，避免定义域扩大）； ②取定义域内的任意一个（优先选特殊值，如整数、端点，需覆盖定义域不同区间），分别计算和的函数值，验证是否相等； ③若存在一个使函数值不相等，则对应法则不同；若所有的函数值均相等，则对应法则相同。 2.判断标准： 若对应法则不同（如与，时，），则与不是同一函数； 若对应法则相同，则与是同一函数。 示例：判断与： 定义域均为（相同）； 化简：，对任意，（如时均为，时均为）； 对应法则相同，故是同一函数。 三、常考易错点（关键提醒） 1.只看表达式形式，忽略定义域：如（定义域）与（定义域），表达式相同但定义域不同，不是同一函数； 2.化简表达式时改变定义域：如与，定义域（分母且根号下非负），定义域，化简后表达式同但定义域不同，不是同一函数； 3.误判“对应法则”：认为“表达式形式不同则对应法则不同”，如与，形式不同但对任意函数值相等，对应法则相同，是同一函数。 规范后统一了符号书写（如替代“”、表示实数集），优化了分式（）、根号（）、区间（）的格式， 【题型六：常见的函数“一次函数”“二次函数”“反比例函数”“对勾函数”的值域】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【例题2】（21-22高一上·广东广州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【相似题2】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求，结合函数的定义域，求函数的最值，即可求解. 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 【解题策略】 一、一次函数（） 核心性质：定义域内单调（递增，递减） 解题步骤（共3步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有实际意义或限定条件时（如），明确区间范围。 2.步骤2：根据单调性求值域 若定义域为： 时，可取任意实数，值域为； 时，同理值域为。 若定义域为区间： 时，单调递增，值域为； 时，单调递减，值域为。 3.步骤3：规范表示值域 用区间（如、）或集合表示，避免直接写不等式。 易错点：忽略定义域为“半开区间”（如）时，端点值是否可取（如时，值域为）。 二、二次函数（） 核心性质：图像为抛物线，可通过“配方法”找顶点（最值点），结合定义域判断单调性 解题步骤（共4步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有限定条件时（如），明确区间范围。 2.步骤2：配方求顶点式 化为顶点式：，其中顶点横坐标为，纵坐标（最值）为。 3.步骤3：结合定义域与开口方向求值域 若定义域为： （开口向上），值域为； （开口向下），值域为。 若定义域为区间： ①判断顶点横坐标是否在内： 若：时，值域为；时，值域为； 若：函数在上单调（时，则递增，则递减），代入端点求值域。 4.步骤4：规范表示值域 用区间表示，注意“闭区间含最值，开区间不含”（如且时，值域为）。 易错点：未判断顶点是否在区间内，直接用端点值求值域（如，，顶点，需按递增求）。 三、反比例函数（） 核心性质：定义域，图像为双曲线，时在和分别递减；时分别递增 解题步骤（共3步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有限定条件时（如且或），明确区间是否含0（含0则定义域无效）。 2.步骤2：根据的符号与定义域求值域 若定义域为： 无论或，，值域为。 若定义域为单区间（不含0，如，）： 时，单调递减，值域为； 时，单调递增，值域为。 若定义域为跨0区间（如）： 分两段求值域后取并集（如时，左段值域，右段，总值域）。 3.步骤3：规范表示值域 用“区间并集”（跨0时）或单一区间（单区间时）表示，避免遗漏“”。 易错点：定义域含0时未排除（如，需先剔除，再分两段求值域）。 四、对勾函数（，，核心形式） 核心性质：定义域，图像有两条渐近线（、），时最小值为，时最大值为（用基本不等式或单调性推导） 解题步骤（共4步）： 1.步骤1：确定定义域 定义域为；若有额外限制（如，），明确区间正负性。 2.步骤2：分区间讨论（与） 当时： 用基本不等式（一正二定三相等）：，当且仅当即时取等号； 若定义域为（）： 若，值域为； 若，函数单调递增（因，时，递增），值域为。 当时： 令，则，当且仅当即时取等号； 区间情况与对称，按单调性或极值点位置求值域。 3.步骤3：合并值域（若定义域含正负） 若定义域为，值域为；若仅含正/负区间，取对应单段值域。 4.步骤4：规范表示值域 用区间并集（含正负时）或单一区间（单区间时）表示，注明等号成立条件（可选，用于验证）。 易错点：忽略基本不等式“等号成立条件”（如是否在定义域内），或未分与直接套用公式。 【题型七：“换元法”求值域】 例题精选 【例题1】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据换元法，结合二次函数即可求值域. 【详解】令，则， 所以， 故函数的值域为． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数（），求函数的值域． 【答案】 【分析】根据题意求出的定义域以及解析式，令，可得，结合二次函数在区间的值域求解即可. 【详解】由解得，所以的定义域为． 又，令，， 则，所以，， 值域为，即的值域为． 【相似题2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 【解题策略】 一、换元法核心思路 通过引入新变量，将原函数中复杂的代数式（如根号、分式、三角函数嵌套等）替换为，转化为关于的“简单函数”（如一次函数、二次函数、对勾函数等），再利用已知方法求值域，最终结果即为原函数的值域。 适用场景：含根号（如）、重复代数式（如）、三角/指数嵌套（如）的函数。 二、具体解题步骤（共5步，附示例） 示例背景：求函数的值域 步骤1：观察结构，确定“换元对象” 操作：找出原函数中复杂且重复出现的代数式，设其为新变量； 关键：换元对象需满足“能简化函数”（如将根号、高次项转化为一次/二次项）； 示例：原函数中是复杂项，设。 步骤2：求新变量的取值范围（核心！决定后续值域准确性） 操作：根据原函数的定义域，推导的取值范围（即的定义域）； 依据：换元对象的自身性质（如根号下非负、分母不为0、三角函数有界性等）； 示例：因，故（的范围为）。 步骤3：用表示原变量，代入原函数 操作：从换元式中解出（用的代数式表示），替换原函数中的，得到关于的新函数； 关键：代数运算需准确，确保替换后函数等价； 示例：由，两边平方得，代入原函数： （新函数为二次函数，）。 步骤4：求新函数的值域 操作：根据新函数的类型（一次、二次、对勾等），用对应方法求值域（结合此前学过的“二次函数值域”“单调性法”等）； 示例：新函数（）是二次函数，配方得： ， 因，函数在上单调递增，当时，，故值域为。 步骤5：确定原函数的值域 操作：新函数的值域与原函数的值域完全相同，直接沿用即可； 规范表示：用区间或集合表示，避免写不等式； 示例：原函数的值域为。 三、常见换元类型与示例拓展 换元类型 原函数示例 换元设式 的范围 新函数类型 根号型（一次） 二次函数 重复代数式型 二次函数 三角嵌套型 二次函数 分式根号型 分式函数 四、常考易错点（关键提醒） 1.漏求的范围：如求时，设，错取，实际且（），导致值域错误； 2.换元后函数转化失误：如设，错写为（正确），但误算（实际）； 3.忽略原函数定义域对的限制：如（），仅考虑，未排除（虽时不成立，但需养成检查习惯）。 【题型八：分式型“一次比一次”“一次比二次”“二次比二次”的值域问题】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法求值域即可. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 原函数变为， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，， 即当时，； 当时，， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 综上所述，函数的值域为. 【解题策略】 一、分式型函数分类与核心方法总览 函数类型 一般形式（系数限制） 核心求解方法 适用场景 一次比一次 （） 分离常数法 分子分母均为一次多项式 一次比二次 （） 判别式法/配方法+基本不等式 分子一次、分母二次多项式 二次比二次 （不同时为0） 分离常数法（系数成比例）/判别式法（系数不成比例） 分子分母均为二次多项式 二、分类型解题步骤（附示例） 类型1：一次比一次分式（） 核心逻辑：分离常数后，利用分母取值范围排除“常数项”，得值域 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母不为0：，定义域为。 2.步骤2：分离常数（关键操作） 对分子变形，凑出与分母相同的一次项： 分离后形式：（，）。 3.步骤3：分析分式项的取值范围 因，故。 4.步骤4：推导值域 由，得，故值域为（区间表示：）。 类型2：一次比二次分式（） 核心逻辑：法1（判别式法）→整理为二次方程，利用“x有实根则Δ≥0”求y范围；法2（配方法）→分母配方后用基本不等式 示例：求的值域（用判别式法） 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：整理为关于x的二次方程 两边同乘分母（分母恒正，不改变不等号方向）： 3.步骤3：分情况讨论方程有实根的条件 当时：方程变为（在定义域内，故是有效值）。 当时：方程为二次方程，需满足“判别式”： 结合，得且。 4.步骤4：合并值域 综合两种情况，值域为。 类型3：二次比二次分式（不同时为0） 分两种子情况：系数成比例（可分离常数）、系数不成比例（用判别式法） 子情况1：系数成比例（）→分离常数法 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：分离常数（因，凑分母系数） 3.步骤3：分析分式项的取值范围 因。 4.步骤4：推导值域 叠加常数项：，值域为。 子情况2：系数不成比例（）→判别式法 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：整理为关于x的二次方程 两边同乘分母：。 3.步骤3：分情况讨论Δ≥0 当时：方程变为（在定义域内，有效）。 当时：二次方程需。 4.步骤4：合并值域 综合得。 三、常考易错点（关键提醒） 1.一次比一次：漏定义域导致值域错误 如，分离后为，错认为故（正确），但忽略定义域（虽不影响值域，但需先写定义域）。 2.一次比二次：判别式法漏“y=0”的情况 如，整理为，若直接用得（含，因时方程有解，此处可合并，但需养成分类习惯）。 3.二次比二次：未先判断系数是否成比例 如，因，应优先用分离常数法，而非直接用判别式法（虽结果一致，但分离常数更简便）。 4.所有类型：忽略分母为0的隐含限制 如，先化简为（需注明），故定义域，值域（错漏，因时原函数无意义，对应需排除）。 【题型九：判别式法求值域】 例题精选 【例题1】（21-22高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 【解题策略】 一、判别式法核心原理与适用场景 1.核心原理： 若函数可整理为关于的一元二次方程（或含参数的二次方程），则原函数有意义的，需满足“方程对有实根”（即判别式，需结合二次项系数是否为0分类讨论），由此解出的范围即为值域。 2.适用场景： 分式型函数：一次比二次（）、二次比二次（不同时为0且系数不成比例）； 可转化为二次方程的函数：如（平方后转化为二次方程，需验证定义域）。 二、判别式法解题步骤（附示例） 示例背景：求函数的值域（二次比二次，系数不成比例） 步骤1：先确定原函数的定义域（前提！避免后续值域扩大） 操作：分析分母或根号等限制条件，明确的取值范围； 示例：分母，定义域为（无额外限制）。 步骤2：将函数整理为关于的“含参数的整式方程” 操作：两边同乘分母（确保分母不为0，若分母有零点需先排除），移项合并同类项，整理为的形式（此处含）； 关键：确保变形等价（无增根/失根），若分母可能为0，需单独标注排除； 示例： 两边同乘：， 移项合并：（记为方程①，其中，，）。 步骤3：分类讨论方程①有实根的条件（核心！分“一次方程”和“二次方程”） 情况1：二次项系数为0（）→方程为一次方程 操作：令，解出，判断一次方程是否有实根（且实根在原函数定义域内）； 示例：令，代入方程①得：， 因（定义域内），故是有效值。 情况2：二次项系数不为0（）→方程为二次方程 操作：需同时满足两个条件： ①二次项系数（即）； ②方程有实根→判别式； 计算判别式： 示例中， 解不等式： 结合，得或。 步骤4：合并所有有效的范围，确定值域 操作：将“情况1”和“情况2”的有效取并集，若有定义域额外限制（如分母零点），需剔除无效； 示例：合并得，故值域为。 三、判别式法关键注意事项（避坑指南） 1.先判适用场景，勿盲目套用 错误场景：一次函数（）、对勾函数（）等无需用判别式法，强行使用会增加复杂度； 示例：求的值域，直接用单调性得，无需转化为二次方程。 2.必讨论“二次项系数为0”的情况 易错点：直接默认方程为二次方程，忽略时的一次方程（可能遗漏有效）； 反例：求，整理为，若忽略时方程为（但使原分母为0，故无效，需剔除）。 3.定义域对的限制不可漏 易错点：仅用求范围，未验证是否有对应原定义域； 示例：求（分母），整理为： 当时，方程为定义域（有效）； 当时，； 但需剔除对应的：若，代入方程得（无解），故无额外剔除，最终值域。 4.变形需等价，避免增根 易错点：两边同乘含的式子（如分母）时，未保证分母不为0，或平方变形时未限制根号下非负； 示例：求，若平方得，用得，但原函数，需验证：当时，（无效），故实际值域需结合用换元法得（此处判别式法因平方增根需额外验证）。 5.二次比二次函数先看系数是否成比例 易错点：对系数成比例的二次比二次函数（如）用判别式法，虽结果正确，但分离常数法更简便； 建议：先判断是否成立，成比例则优先用分离常数法，不成比例再用判别式法 【题型十：定义域为R求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【例题2】（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 相似练习 【相似题1】【多选】（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得. 【详解】若函数的定义域是，则恒成立， 当时，恒成立； 当时，则，解得. 综上，函数的定义域是的充要条件为， 所以函数的定义域是的充分不必要条件为的真子集. 结合选项可知，选项AB符合题意. 故选：AB 【相似题2】（22-23高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解. 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 【解题策略】 一、核心背景与适用场景 1.核心问题：已知函数（含参数，如、等）的定义域为，求参数的取值范围。 2.本质逻辑：“定义域为”等价于“对所有，函数表达式有意义”，即“使函数无意义的不存在”，需转化为“关于的不等式恒成立”问题（如分母恒不为零、根号下表达式恒非负、对数真数恒正等）。 二、通用解题步骤（分函数类型，附示例） 步骤1：识别函数结构，明确“定义域为的等价条件” 根据函数表达式的核心限制（分母、根号、对数等），列出“对所有，限制条件恒成立”的数学表述（关键：区分“恒成立”与“存在成立”）。 步骤2：分情况讨论（优先处理含参数的“二次项/一次项”系数） 重点讨论“参数是否影响函数次数”（如二次项系数是否为零，决定是一次函数还是二次函数），避免漏解。 步骤3：解关于参数的不等式（组） 利用“一次函数恒成立”“二次函数恒成立”的结论（如二次函数对恒成立需且），求解参数范围。 步骤4：验证边界值（可选，确保无遗漏/多余） 将参数的边界值代入原函数，验证定义域是否仍为，排除无效解。 三、分类型示例与详细步骤 类型1：分式函数（分母恒不为零，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数、的取值范围。 1.等价条件：对所有，分母恒成立。 2.分类讨论： 情况1：（分母为一次函数）： 一次函数对恒成立，需满足“一次项系数为0且常数项≠0”（否则存在使分母为0），即且（成立）。 情况2：（分母为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口方向固定+无零点”（即判别式）： ①开口向上（）或向下（）均可（只要无零点）； ②判别式。 3.合并参数范围： 当时，； 当时，； 当时，无解（因左正右负）。 最终范围：且，或且。 类型2：偶次根式函数（被开方数恒非负，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数的取值范围。 1.等价条件：对所有，被开方数恒成立。 2.分类讨论： 情况1：（被开方数为一次函数）： 一次函数对不恒成立（如时为），故无效。 情况2：（被开方数为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口向上+无负零点”（即且）： ①开口向上：； ②判别式或。 3.合并参数范围： 结合与或，得。 类型3：对数函数（真数恒正，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数的取值范围。 1.等价条件：对所有，真数恒成立（对数底数且，不影响真数限制）。 2.分类讨论： 情况1：（真数为一次函数）： 一次函数对不恒成立（如时为），故无效。 情况2：（真数为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口向上+无零点”（且）： ①开口向上：； ②判别式或。 3.合并参数范围： 结合与或，得。 四、常考易错点（避坑指南） 1.漏讨论“二次项系数为0”的情况： 如分式函数分母为，直接按二次函数求，忽略时的一次函数情况（可能导致漏解，如类型1中且的有效解）。 2.混淆“恒正”与“恒非负”： 偶次根式要求被开方数“恒非负”（），判别式可等于0；对数真数要求“恒正”（），判别式需小于0（如类型2中，类型3中）。 3.忽略参数的隐含限制： 如对数函数的底数且，虽不影响真数恒正，但需确保底数合法（若参数含底数，需额外加限制，如，需先满足且）。 4.误将“定义域为”等同于“值域为”： 如，定义域为需真数恒正，而值域为需真数取遍所有正数（此时二次函数需且），二者条件完全不同，需严格区分。 【题型十一：根据值域的范围求参数（分段函数的值域问题）】 例题精选 【例题1】（22-23高一上·湖北武汉·期中）设函数和函数，若对任意，都有使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的值域，设的值域为，题意等价于，然后分类讨论确定的值域，再根据集合的包含关系得结论． 【详解】是，上的递减函数，的值域为，， 令，，令的值域为， 因为对任意，都有，使得，则有， 因为， 当时，，不满足， 当时，在，上单调递增，，，故，， 当时，在，上单调递减，，，不满足， 综上所述， 故答案为： 【例题2】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. （2）对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 （3）当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 相似练习 【相似题1】【多选】（21-22高一上·江西景德镇·期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 【相似题2】（22-23高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求得，的值域，根据对于任意的，总存在，使得成立，由的值域是的值域的子集求解. 【详解】解：令，则， 所以， ， 因为对于任意的，总存在，使得成立， 所以， 则， 解得或， 故答案为： 【解题策略】 一、核心思路 分段求值域→合并总值域→关联已知值域列条件→解参数+验证 二、通用解题步骤（以两段函数为例：，已知值域为） 步骤1：分段求各段值域（用对应函数方法，公式规范） 对（如一次/二次函数）： ①一次函数： 若，值域；若，值域。 ②二次函数： 配方为，结合顶点是否在，求值域。 同理求的值域。 步骤2：合并总值域 用区间表示合并结果（如、，则）。 步骤3：关联已知值域列参数条件 根据（或），建立参数不等式/方程： 例：若、，已知，则列。 步骤4：解参数+验证 解不等式/方程得参数范围，代入原函数验证： ①确保各段定义域无矛盾（如分段点不重叠）； ②验证合并后的值域与已知完全一致。 三、示例（规范公式） 已知的值域为，求。 1.分段求值域： ：递增，； ：递增，。 2.合并值域：。 3.列条件：因，故（确保）。 4.解参数：，验证成立。 四、易错点 1.漏分段点取值（如需明确归属哪段）； 2.合并值域时忽略“衔接”（如上限需≥下限才无空缺）； 3.未验证参数是否使各段函数定义域有效。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·贵州黔西·期末）函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（    ）. A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高一上·重庆万州·期中）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 10．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 11．（24-25高一上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、解答题 12．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 13．（20-21高一上·湖北随州·阶段练习）求值域： （1）； （2）； （3）. 14．（2022高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 15．（2022高三上·江苏镇江·专题练习）已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)设，求的最大值； (3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D D AB ABD CD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】根据函数的定义域和对应法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 故两者不是同一函数； 对于B，由得，故定义域为， 由得， 故的定义域为，故两者不是同一函数； 对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故两者不是同一函数； 故选：C. 2．B 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 3．C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 4．C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 5．D 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3. 故选：D 6．D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 7．AB 【分析】根据同象函数的定义，结合各函数的定义域与值域判断即可. 【详解】，，则. 对A，，，则，满足同象函数的定义，故A正确； 对B，，，则，满足同象函数的定义，故B正确； 对C，，，则，不满足同象函数的定义，故C错误； 对D，，，则，不满足同象函数的定义，故D错误； 故选：AB 8．ABD 【分析】由同域函数的定义，讨论选项中函数的定义域和值域即可. 【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确； 对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确； 对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误； 对于D，因为，由得， 所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确. 故选：ABD. 9．CD 【分析】根据函数的定义、定义域和值域的性质，结合相等函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由函数的定义可知，必须是两个非空数集，所以本选项说法不正确； B：设函数，显然值域为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，因此本选项说法正确； D：由相等函数的定义可知本选项正确， 故选：CD 10．ACD 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【详解】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 11．AD 【分析】利用复合函数求定义域的方法可得选项A正确；利用二次函数的性质可得选项B错误；利用分离常数法化简函数解析式可得选项C错误；利用换元法，结合二次函数性质求值域可得选项D正确. 【详解】A.∵的定义域为， ∴，解得， ∴的定义域为，选项A正确. B. ∵，对称轴为直线， ∴， ∴函数在上的值域为，选项B错误. C. ∵ , ∴，即函数的值域为，选项C错误. D.令，则， ∴， ∴当时，，即函数值域为，选项D正确. 故选：AD. 12．(1) (2)2 (3). 【分析】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 13．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求出的范围，则可得的范围，进而可得函数值域； （2）令，将原函数转化为的值域，利用二次函数的性质即可求解； （3）变形得，先求出的范围，则可得的范围，进而可得函数值域． 【详解】解：（1）， 则， ， 即函数值域为； （2）令， 则， ， 根据二次函数的性质，其在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以函数的值域为； （3）， ， ， ， ， 所以函数的值域为； 【点睛】本题考查函数的值域的求解，含有根号的可尝试换元法，分式函数可尝试分离常数，考查学生的转化能力和计算能力，是中档题． 14．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可； （Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可； （Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可. 【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：. ∴的定义域为； （Ⅱ）当时，， （1）当，即时，的定义域为，值域为， ∴时，不是“同域函数”. （2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”. ∴. 综上所述，的值为. （Ⅲ）设的定义域为，值域为. （1）当时，，此时，，，从而， ∴不是“同域函数”. （2）当，即， 设，则的定义域. ①当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，， 又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，     此时，由，可知不成立. 综上所述，的取值范围为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域. 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域； （2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案； （3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案. 【详解】（1）由且，得． 则函数的定义域为．     ，且， 得，则函数的值域为． （2）， 令， 则，， 所以， 令，，则为函数，的最大值． 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线． ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则．     综上可得． （3）由（2）易得． 要使在上恒成立，即使在恒成立， 所以在上恒成立．     令，， 若，则对任意恒成立； 若，则有，即， 解得或． 综上，实数m的取值范围是． 【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第9讲：函数的概念】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、函数概念（核心） 1.定义：设非空数集、，若对任意，存在唯一与之对应，则称对应关系为函数，记 2.三要素： 定义域：自变量的取值集合（） 对应法则：（确定的映射关系） 值域：函数值的取值集合（，是的子集） 3.本质：“一对一”或“多对一”的映射（“一对多”不是函数） 二、定义域（求解核心：列限制条件→解不等式/不等式组） 函数类型 限制条件（规范公式） 分式函数 偶次根式 对数函数 且 零次幂 复合函数 内层的值域外层的定义域（） 三、值域（求解核心：先定定义域，再用对应方法求范围） 求解方法 适用场景 规范公式/核心思路 配方法 二次函数 配方为，若，值域；若，值域 单调性法 单调函数（如一次、指对数） 若在上单调递增，则值域；单调递减则值域 分离常数法 分式函数 变形为，值域 换元法 含根号/复杂代数式函数 如，设，转化为，再用配方法求值域 四、常考结论（高频考点） 1.定义域仅与自变量的取值限制有关，与字母系数（如中）无关；若定义域为，则定义域需满足 2.值域由定义域和对应法则共同决定：同一对应法则下，定义域不同，值域可能不同（如，时值域，时值域） 3.分式函数的值域必不含；一次分式函数的值域一定是去掉一个常数 4.偶次根式函数的值域必为（定义域非空时）；对数函数的值域为（定义域满足真数大于0时） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：函数关系的判断】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高三上·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【例题2】【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的图象与直线的交点可以有多个 C．的值域是 D．的最小值是 【相似题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【解题策略】 一、函数关系判断核心依据 基于函数定义：非空数集（定义域）中任意，对应唯一数集，即“非空定义域+任意→唯一”。 二、具体解题步骤（共3步） 步骤1：确定自变量的取值范围（判断定义域是否非空） 操作：找出自变量的所有可能取值，形成集合； 关键：若（无合法取值），则不是函数关系；若，进入下一步。 示例场景：如“”，因，定义域为空，非函数。 步骤2：验证对应关系的“唯一性”（核心步骤） 操作：对任意，判断是否仅存在1个与之对应； 常用判断方法： 1.解析式型：代入任意，计算得唯一（如，1个对应1个）； 2.图像型：用“垂直于轴的直线”检验——直线与图像最多1个交点，则满足唯一对应； 3.表格/对应法则型：检查每个是否仅关联1个（如表格中1个对应2个，则非函数）。 关键：若存在某个对应2个及以上，则不是函数关系；反之进入下一步。 步骤3：确认因变量为实数（补充验证） 操作：判断对应得到的是否均为实数； 关键：若存在对应非实数（如，为虚数），则不是函数关系；若均为实数，则是函数关系。 三、常考注意点（易错提醒） 1.忽略定义域非空：如“且”，定义域为空，直接排除函数关系； 2.混淆“唯一对应”：“一对多”（1个→多个）不是函数，但“多对一”（多个→1个）是函数（如，和均对应，是函数）。 【题型二：具体函数的定义域】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数的定义域为 ． 【例题2】（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【解题策略】 一、定义域求解核心原则 找到自变量的所有合法取值（使函数有意义的），核心是根据函数表达式的结构列“限制条件”，最终取所有条件的交集。 二、具体解题步骤（共4步） 步骤1：识别函数的“结构类型” 明确函数由哪些基本结构组成（如单一类型：分式/根式；复合类型：分式+根式/对数+二次函数等），不同结构对应不同限制条件。 步骤2：按结构列“数学限制条件” 根据基本结构，逐一列出需满足的不等式（规范公式）： 基本结构类型 限制条件（数学表达式） 分式（如） （分母不为0） 偶次根式（如） （被开方数非负） 对数（如） 且（真数正+底数合法） 零次幂（如） （底数不为0） 复合函数（如） 内层的值域外层的定义域（） 实际问题中的函数 需额外满足实际意义（如人数，长度） 关键：若函数含多种结构（如），需联立所有限制条件（列不等式组）。 步骤3：解不等式（组），求的取值范围 操作： 1.单一不等式：直接求解（如）； 2.不等式组：分别解每个不等式，再取交集（因需同时满足所有条件）。 示例：解不等式组，得，交集为。 步骤4：用“集合/区间”规范表示定义域 禁止直接写不等式（如“”不规范），需用两种标准形式： 1.集合表示：； 2.区间表示：（有限区间如，无限区间用，注意“开/闭”端点）。 三、常考易错点 1.漏对数的底数条件：仅写“真数>0”，忽略“”（虽题目常给，但需主动确认）； 2.复合函数定义域搞反：如已知定义域求，是“在的定义域内”，而非“在的定义域内”； 3.忽略实际问题限制：如“长方形面积函数”，需额外加“且”，即。 【题型三：抽象函数的定义域】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【解题策略】 一、抽象函数定义域核心原则 1.定义域本质：始终指自变量的取值集合（与后括号内的字母无关，如中定义域是的范围，中定义域是的范围）； 2.括号整体等价：同一函数，括号内所有表达式的取值范围完全一致（如与中，的范围和的范围相同）。 二、三大常考题型解题步骤 题型1：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：提取已知范围 由定义域，得后括号内整体的范围：括号内表达式需满足 2.步骤2：列不等式求解 将括号内表达式（如）代入范围，列不等式：，解此不等式得的取值集合； 3.步骤3：规范表示定义域 用“集合”或“区间”表示的范围，即为的定义域。 题型2：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：提取自变量的范围 由定义域，得自变量； 2.步骤2：求括号内表达式的范围 代入，计算在时的取值范围（即的值域）：； 3.步骤3：确定的定义域 因后括号内整体范围一致，故的定义域即为的取值范围。 题型3：已知的定义域，求的定义域（如已知定义域，求定义域） 1.步骤1：先求的定义域 按“题型2”步骤，由定义域得的值域，此值域即为的定义域； 2.步骤2：再求的定义域 按“题型1”步骤，由定义域，列不等式，解出的范围，即为的定义域。 三、常考易错点 1.混淆“括号内表达式范围”与“的范围”：如已知定义域，求定义域时，错将解为当成的定义域，实际是的定义域； 2.忽略“定义域是的范围”：如已知定义域，错认为，实际应先取，再算； 3.复合函数多层嵌套失误：如的定义域求解，需先求内层的范围（结合外层的定义域），再解的范围，不可直接套公式。 【题型四：复合函数的定义域】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【例题2】（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、复合函数核心结构与原则 1.基本结构：复合函数记为，其中 外层函数：（自变量为） 内层函数：（自变量为，函数值是外层的自变量） 2.定义域原则： 复合函数的定义域：自变量的取值集合（需同时满足两层函数有意义）； 范围关联：内层函数的函数值范围（的值域）外层函数的定义域（的取值范围）。 二、两大常考题型解题步骤 题型1：已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域 （例：已知定义域为，求的定义域） 1.步骤1：提取外层函数的范围限制 由定义域，得外层对的要求：； 2.步骤2：建立内层函数与的等式，列不等式 因，故需满足（内层函数值凑外层的范围）； 若内层含自身定义域限制（如需），需额外补充限制条件，形成不等式组； 3.步骤3：解不等式（组），求的范围 求解（及内层自身限制），得的取值集合； 4.步骤4：规范表示定义域 用“集合”或“区间”表示的范围，即为的定义域。 示例：已知定义域，求定义域 步骤1：； 步骤2：； 步骤3：解得； 步骤4：定义域为（或）。 题型2：已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域 （例：已知定义域为，求的定义域） 1.步骤1：提取复合函数中的范围 由定义域，得自变量的限制：； 2.步骤2：求内层函数的值域 将代入，计算的取值范围（即的所有可能值）； 3.步骤3：确定外层函数的定义域 因是外层的自变量，故的取值范围即为的定义域。 示例：已知定义域，求定义域 步骤1：； 步骤2：计算的范围：当时，；当时，，故； 步骤3：的定义域为。 三、常考易错点（关键提醒） 1.忽略内层函数自身定义域：如求的定义域（已知定义域），需同时满足和，最终取交集； 2.混淆“的范围”与“的范围”：如已知定义域，错将当成的范围，实际需先算在时的值域； 3.多层复合失误：如，需从内到外逐层分析：先确定对的限制，再确定对的限制，最后确定对外层的限制。 【题型五：同一函数的判断】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 【例题2】【多选题】（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【相似题2】（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题策略】 一、同一函数的核心判断原则 两函数与为“同一函数”，需同时满足以下两个条件： 1.定义域完全相同：两函数自变量的取值集合（区间）完全一致（范围、端点均无差异）； 2.对应法则完全一致：对定义域内的任意一个，两函数的函数值恒相等（与表达式形式无关，仅看“输入输出”的映射关系）。 注：值域由定义域和对应法则决定，若前两者相同，值域必相同，无需单独判断。 二、具体解题步骤（共2步，先后递进） 步骤1：判断两函数的“定义域是否完全相同”（优先判断，定义域不同则直接排除） 1.操作流程： ①分别按“具体函数定义域求解步骤”（分式、根式、对数等限制条件），求出和的定义域，用“集合”或“区间”规范表示； ②对比两个定义域集合：看范围（如与）、端点（如闭区间与开区间）是否完全重合。 2.判断标准： 若定义域集合不相等（如定义域，定义域），则与不是同一函数，无需进入下一步； 若定义域集合完全相等，则进入“步骤2”判断对应法则。 示例：判断与： 定义域：（集合）； 定义域：； 定义域不相等，故不是同一函数。 步骤2：判断两函数的“对应法则是否完全一致”（定义域相同后再判断） 1.操作流程： ①化简两函数的表达式（化简时严禁改变定义域，如分式约分前需保留分母不为0的限制，避免定义域扩大）； ②取定义域内的任意一个（优先选特殊值，如整数、端点，需覆盖定义域不同区间），分别计算和的函数值，验证是否相等； ③若存在一个使函数值不相等，则对应法则不同；若所有的函数值均相等，则对应法则相同。 2.判断标准： 若对应法则不同（如与，时，），则与不是同一函数； 若对应法则相同，则与是同一函数。 示例：判断与： 定义域均为（相同）； 化简：，对任意，（如时均为，时均为）； 对应法则相同，故是同一函数。 三、常考易错点（关键提醒） 1.只看表达式形式，忽略定义域：如（定义域）与（定义域），表达式相同但定义域不同，不是同一函数； 2.化简表达式时改变定义域：如与，定义域（分母且根号下非负），定义域，化简后表达式同但定义域不同，不是同一函数； 3.误判“对应法则”：认为“表达式形式不同则对应法则不同”，如与，形式不同但对任意函数值相等，对应法则相同，是同一函数。 规范后统一了符号书写（如替代“”、表示实数集），优化了分式（）、根号（）、区间（）的格式， 【题型六：常见的函数“一次函数”“二次函数”“反比例函数”“对勾函数”的值域】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【例题2】（21-22高一上·广东广州·期中）函数的值域是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【相似题2】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【解题策略】 一、一次函数（） 核心性质：定义域内单调（递增，递减） 解题步骤（共3步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有实际意义或限定条件时（如），明确区间范围。 2.步骤2：根据单调性求值域 若定义域为： 时，可取任意实数，值域为； 时，同理值域为。 若定义域为区间： 时，单调递增，值域为； 时，单调递减，值域为。 3.步骤3：规范表示值域 用区间（如、）或集合表示，避免直接写不等式。 易错点：忽略定义域为“半开区间”（如）时，端点值是否可取（如时，值域为）。 二、二次函数（） 核心性质：图像为抛物线，可通过“配方法”找顶点（最值点），结合定义域判断单调性 解题步骤（共4步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有限定条件时（如），明确区间范围。 2.步骤2：配方求顶点式 化为顶点式：，其中顶点横坐标为，纵坐标（最值）为。 3.步骤3：结合定义域与开口方向求值域 若定义域为： （开口向上），值域为； （开口向下），值域为。 若定义域为区间： ①判断顶点横坐标是否在内： 若：时，值域为；时，值域为； 若：函数在上单调（时，则递增，则递减），代入端点求值域。 4.步骤4：规范表示值域 用区间表示，注意“闭区间含最值，开区间不含”（如且时，值域为）。 易错点：未判断顶点是否在区间内，直接用端点值求值域（如，，顶点，需按递增求）。 三、反比例函数（） 核心性质：定义域，图像为双曲线，时在和分别递减；时分别递增 解题步骤（共3步）： 1.步骤1：确定定义域 ①无额外限制时，定义域为； ②有限定条件时（如且或），明确区间是否含0（含0则定义域无效）。 2.步骤2：根据的符号与定义域求值域 若定义域为： 无论或，，值域为。 若定义域为单区间（不含0，如，）： 时，单调递减，值域为； 时，单调递增，值域为。 若定义域为跨0区间（如）： 分两段求值域后取并集（如时，左段值域，右段，总值域）。 3.步骤3：规范表示值域 用“区间并集”（跨0时）或单一区间（单区间时）表示，避免遗漏“”。 易错点：定义域含0时未排除（如，需先剔除，再分两段求值域）。 四、对勾函数（，，核心形式） 核心性质：定义域，图像有两条渐近线（、），时最小值为，时最大值为（用基本不等式或单调性推导） 解题步骤（共4步）： 1.步骤1：确定定义域 定义域为；若有额外限制（如，），明确区间正负性。 2.步骤2：分区间讨论（与） 当时： 用基本不等式（一正二定三相等）：，当且仅当即时取等号； 若定义域为（）： 若，值域为； 若，函数单调递增（因，时，递增），值域为。 当时： 令，则，当且仅当即时取等号； 区间情况与对称，按单调性或极值点位置求值域。 3.步骤3：合并值域（若定义域含正负） 若定义域为，值域为；若仅含正/负区间，取对应单段值域。 4.步骤4：规范表示值域 用区间并集（含正负时）或单一区间（单区间时）表示，注明等号成立条件（可选，用于验证）。 易错点：忽略基本不等式“等号成立条件”（如是否在定义域内），或未分与直接套用公式。 【题型七：“换元法”求值域】 例题精选 【例题1】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 . 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数（），求函数的值域． 【相似题2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、换元法核心思路 通过引入新变量，将原函数中复杂的代数式（如根号、分式、三角函数嵌套等）替换为，转化为关于的“简单函数”（如一次函数、二次函数、对勾函数等），再利用已知方法求值域，最终结果即为原函数的值域。 适用场景：含根号（如）、重复代数式（如）、三角/指数嵌套（如）的函数。 二、具体解题步骤（共5步，附示例） 示例背景：求函数的值域 步骤1：观察结构，确定“换元对象” 操作：找出原函数中复杂且重复出现的代数式，设其为新变量； 关键：换元对象需满足“能简化函数”（如将根号、高次项转化为一次/二次项）； 示例：原函数中是复杂项，设。 步骤2：求新变量的取值范围（核心！决定后续值域准确性） 操作：根据原函数的定义域，推导的取值范围（即的定义域）； 依据：换元对象的自身性质（如根号下非负、分母不为0、三角函数有界性等）； 示例：因，故（的范围为）。 步骤3：用表示原变量，代入原函数 操作：从换元式中解出（用的代数式表示），替换原函数中的，得到关于的新函数； 关键：代数运算需准确，确保替换后函数等价； 示例：由，两边平方得，代入原函数： （新函数为二次函数，）。 步骤4：求新函数的值域 操作：根据新函数的类型（一次、二次、对勾等），用对应方法求值域（结合此前学过的“二次函数值域”“单调性法”等）； 示例：新函数（）是二次函数，配方得： ， 因，函数在上单调递增，当时，，故值域为。 步骤5：确定原函数的值域 操作：新函数的值域与原函数的值域完全相同，直接沿用即可； 规范表示：用区间或集合表示，避免写不等式； 示例：原函数的值域为。 三、常见换元类型与示例拓展 换元类型 原函数示例 换元设式 的范围 新函数类型 根号型（一次） 二次函数 重复代数式型 二次函数 三角嵌套型 二次函数 分式根号型 分式函数 四、常考易错点（关键提醒） 1.漏求的范围：如求时，设，错取，实际且（），导致值域错误； 2.换元后函数转化失误：如设，错写为（正确），但误算（实际）； 3.忽略原函数定义域对的限制：如（），仅考虑，未排除（虽时不成立，但需养成检查习惯）。 【题型八：分式型“一次比一次”“一次比二次”“二次比二次”的值域问题】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【解题策略】 一、分式型函数分类与核心方法总览 函数类型 一般形式（系数限制） 核心求解方法 适用场景 一次比一次 （） 分离常数法 分子分母均为一次多项式 一次比二次 （） 判别式法/配方法+基本不等式 分子一次、分母二次多项式 二次比二次 （不同时为0） 分离常数法（系数成比例）/判别式法（系数不成比例） 分子分母均为二次多项式 二、分类型解题步骤（附示例） 类型1：一次比一次分式（） 核心逻辑：分离常数后，利用分母取值范围排除“常数项”，得值域 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母不为0：，定义域为。 2.步骤2：分离常数（关键操作） 对分子变形，凑出与分母相同的一次项： 分离后形式：（，）。 3.步骤3：分析分式项的取值范围 因，故。 4.步骤4：推导值域 由，得，故值域为（区间表示：）。 类型2：一次比二次分式（） 核心逻辑：法1（判别式法）→整理为二次方程，利用“x有实根则Δ≥0”求y范围；法2（配方法）→分母配方后用基本不等式 示例：求的值域（用判别式法） 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：整理为关于x的二次方程 两边同乘分母（分母恒正，不改变不等号方向）： 3.步骤3：分情况讨论方程有实根的条件 当时：方程变为（在定义域内，故是有效值）。 当时：方程为二次方程，需满足“判别式”： 结合，得且。 4.步骤4：合并值域 综合两种情况，值域为。 类型3：二次比二次分式（不同时为0） 分两种子情况：系数成比例（可分离常数）、系数不成比例（用判别式法） 子情况1：系数成比例（）→分离常数法 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：分离常数（因，凑分母系数） 3.步骤3：分析分式项的取值范围 因。 4.步骤4：推导值域 叠加常数项：，值域为。 子情况2：系数不成比例（）→判别式法 示例：求的值域 1.步骤1：确定定义域 分母，定义域为。 2.步骤2：整理为关于x的二次方程 两边同乘分母：。 3.步骤3：分情况讨论Δ≥0 当时：方程变为（在定义域内，有效）。 当时：二次方程需。 4.步骤4：合并值域 综合得。 三、常考易错点（关键提醒） 1.一次比一次：漏定义域导致值域错误 如，分离后为，错认为故（正确），但忽略定义域（虽不影响值域，但需先写定义域）。 2.一次比二次：判别式法漏“y=0”的情况 如，整理为，若直接用得（含，因时方程有解，此处可合并，但需养成分类习惯）。 3.二次比二次：未先判断系数是否成比例 如，因，应优先用分离常数法，而非直接用判别式法（虽结果一致，但分离常数更简便）。 4.所有类型：忽略分母为0的隐含限制 如，先化简为（需注明），故定义域，值域（错漏，因时原函数无意义，对应需排除）。 【题型九：判别式法求值域】 例题精选 【例题1】（21-22高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【解题策略】 一、判别式法核心原理与适用场景 1.核心原理： 若函数可整理为关于的一元二次方程（或含参数的二次方程），则原函数有意义的，需满足“方程对有实根”（即判别式，需结合二次项系数是否为0分类讨论），由此解出的范围即为值域。 2.适用场景： 分式型函数：一次比二次（）、二次比二次（不同时为0且系数不成比例）； 可转化为二次方程的函数：如（平方后转化为二次方程，需验证定义域）。 二、判别式法解题步骤（附示例） 示例背景：求函数的值域（二次比二次，系数不成比例） 步骤1：先确定原函数的定义域（前提！避免后续值域扩大） 操作：分析分母或根号等限制条件，明确的取值范围； 示例：分母，定义域为（无额外限制）。 步骤2：将函数整理为关于的“含参数的整式方程” 操作：两边同乘分母（确保分母不为0，若分母有零点需先排除），移项合并同类项，整理为的形式（此处含）； 关键：确保变形等价（无增根/失根），若分母可能为0，需单独标注排除； 示例： 两边同乘：， 移项合并：（记为方程①，其中，，）。 步骤3：分类讨论方程①有实根的条件（核心！分“一次方程”和“二次方程”） 情况1：二次项系数为0（）→方程为一次方程 操作：令，解出，判断一次方程是否有实根（且实根在原函数定义域内）； 示例：令，代入方程①得：， 因（定义域内），故是有效值。 情况2：二次项系数不为0（）→方程为二次方程 操作：需同时满足两个条件： ①二次项系数（即）； ②方程有实根→判别式； 计算判别式： 示例中， 解不等式： 结合，得或。 步骤4：合并所有有效的范围，确定值域 操作：将“情况1”和“情况2”的有效取并集，若有定义域额外限制（如分母零点），需剔除无效； 示例：合并得，故值域为。 三、判别式法关键注意事项（避坑指南） 1.先判适用场景，勿盲目套用 错误场景：一次函数（）、对勾函数（）等无需用判别式法，强行使用会增加复杂度； 示例：求的值域，直接用单调性得，无需转化为二次方程。 2.必讨论“二次项系数为0”的情况 易错点：直接默认方程为二次方程，忽略时的一次方程（可能遗漏有效）； 反例：求，整理为，若忽略时方程为（但使原分母为0，故无效，需剔除）。 3.定义域对的限制不可漏 易错点：仅用求范围，未验证是否有对应原定义域； 示例：求（分母），整理为： 当时，方程为定义域（有效）； 当时，； 但需剔除对应的：若，代入方程得（无解），故无额外剔除，最终值域。 4.变形需等价，避免增根 易错点：两边同乘含的式子（如分母）时，未保证分母不为0，或平方变形时未限制根号下非负； 示例：求，若平方得，用得，但原函数，需验证：当时，（无效），故实际值域需结合用换元法得（此处判别式法因平方增根需额外验证）。 5.二次比二次函数先看系数是否成比例 易错点：对系数成比例的二次比二次函数（如）用判别式法，虽结果正确，但分离常数法更简便； 建议：先判断是否成立，成比例则优先用分离常数法，不成比例再用判别式法 【题型十：定义域为R求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】【多选】（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心背景与适用场景 1.核心问题：已知函数（含参数，如、等）的定义域为，求参数的取值范围。 2.本质逻辑：“定义域为”等价于“对所有，函数表达式有意义”，即“使函数无意义的不存在”，需转化为“关于的不等式恒成立”问题（如分母恒不为零、根号下表达式恒非负、对数真数恒正等）。 二、通用解题步骤（分函数类型，附示例） 步骤1：识别函数结构，明确“定义域为的等价条件” 根据函数表达式的核心限制（分母、根号、对数等），列出“对所有，限制条件恒成立”的数学表述（关键：区分“恒成立”与“存在成立”）。 步骤2：分情况讨论（优先处理含参数的“二次项/一次项”系数） 重点讨论“参数是否影响函数次数”（如二次项系数是否为零，决定是一次函数还是二次函数），避免漏解。 步骤3：解关于参数的不等式（组） 利用“一次函数恒成立”“二次函数恒成立”的结论（如二次函数对恒成立需且），求解参数范围。 步骤4：验证边界值（可选，确保无遗漏/多余） 将参数的边界值代入原函数，验证定义域是否仍为，排除无效解。 三、分类型示例与详细步骤 类型1：分式函数（分母恒不为零，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数、的取值范围。 1.等价条件：对所有，分母恒成立。 2.分类讨论： 情况1：（分母为一次函数）： 一次函数对恒成立，需满足“一次项系数为0且常数项≠0”（否则存在使分母为0），即且（成立）。 情况2：（分母为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口方向固定+无零点”（即判别式）： ①开口向上（）或向下（）均可（只要无零点）； ②判别式。 3.合并参数范围： 当时，； 当时，； 当时，无解（因左正右负）。 最终范围：且，或且。 类型2：偶次根式函数（被开方数恒非负，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数的取值范围。 1.等价条件：对所有，被开方数恒成立。 2.分类讨论： 情况1：（被开方数为一次函数）： 一次函数对不恒成立（如时为），故无效。 情况2：（被开方数为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口向上+无负零点”（即且）： ①开口向上：； ②判别式或。 3.合并参数范围： 结合与或，得。 类型3：对数函数（真数恒正，定义域为） 示例：已知的定义域为，求实数的取值范围。 1.等价条件：对所有，真数恒成立（对数底数且，不影响真数限制）。 2.分类讨论： 情况1：（真数为一次函数）： 一次函数对不恒成立（如时为），故无效。 情况2：（真数为二次函数）： 二次函数对恒成立，需满足“开口向上+无零点”（且）： ①开口向上：； ②判别式或。 3.合并参数范围： 结合与或，得。 四、常考易错点（避坑指南） 1.漏讨论“二次项系数为0”的情况： 如分式函数分母为，直接按二次函数求，忽略时的一次函数情况（可能导致漏解，如类型1中且的有效解）。 2.混淆“恒正”与“恒非负”： 偶次根式要求被开方数“恒非负”（），判别式可等于0；对数真数要求“恒正”（），判别式需小于0（如类型2中，类型3中）。 3.忽略参数的隐含限制： 如对数函数的底数且，虽不影响真数恒正，但需确保底数合法（若参数含底数，需额外加限制，如，需先满足且）。 4.误将“定义域为”等同于“值域为”： 如，定义域为需真数恒正，而值域为需真数取遍所有正数（此时二次函数需且），二者条件完全不同，需严格区分。 【题型十一：根据值域的范围求参数（分段函数的值域问题）】 例题精选 【例题1】（22-23高一上·湖北武汉·期中）设函数和函数，若对任意，都有使得，则实数的取值范围为 ． 【例题2】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】【多选】（21-22高一上·江西景德镇·期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是 . 【解题策略】 一、核心思路 分段求值域→合并总值域→关联已知值域列条件→解参数+验证 二、通用解题步骤（以两段函数为例：，已知值域为） 步骤1：分段求各段值域（用对应函数方法，公式规范） 对（如一次/二次函数）： ①一次函数： 若，值域；若，值域。 ②二次函数： 配方为，结合顶点是否在，求值域。 同理求的值域。 步骤2：合并总值域 用区间表示合并结果（如、，则）。 步骤3：关联已知值域列参数条件 根据（或），建立参数不等式/方程： 例：若、，已知，则列。 步骤4：解参数+验证 解不等式/方程得参数范围，代入原函数验证： ①确保各段定义域无矛盾（如分段点不重叠）； ②验证合并后的值域与已知完全一致。 三、示例（规范公式） 已知的值域为，求。 1.分段求值域： ：递增，； ：递增，。 2.合并值域：。 3.列条件：因，故（确保）。 4.解参数：，验证成立。 四、易错点 1.漏分段点取值（如需明确归属哪段）； 2.合并值域时忽略“衔接”（如上限需≥下限才无空缺）； 3.未验证参数是否使各段函数定义域有效。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·贵州黔西·期末）函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（    ）. A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高一上·重庆万州·期中）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 10．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 11．（24-25高一上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、解答题 12．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 13．（20-21高一上·湖北随州·阶段练习）求值域： （1）； （2）； （3）. 14．（2022高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 15．（2022高三上·江苏镇江·专题练习）已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)设，求的最大值； (3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $