5.4.2 二项式系数的性质课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，课堂导入通过复习二项式定理、通项公式及二项式系数概念，结合问题探究中计算填表分析系数规律，衔接杨辉三角展示，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和直观呈现（杨辉三角、离散点函数图像）引导学生用数学眼光观察规律，通过性质推导（对称性公式、增减性比值分析）和赋值法应用（典例求系数和）培养数学思维，结合课堂思维导图总结知识。助力学生发展探究能力与逻辑思维，为教师提供清晰教学脉络与实用案例。

第五章 计数原理 5.4.2 二项式系数的性质 32999 1.掌握二项式系数的性质，会进行简单的应用. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和. 学习目标 32999 复习回顾： 1.二项式定理： 2.二项展开式的通项： 3.二项式系数： 情景导入 32999 n (a + b) n 展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 4 1 1 6 15 20 10 5 1 提示：(a + b) n 的展开式的二项式系数 问题1：用计算工具计算 (a + b) n 的展开式的二项式系数，并填入下表： 思考：通过计算、填表、说说发现了什么规律？ 问题探究 32999 每一行中的系数具有对称性 问题探究 32999 从函数角度分析： 可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，其定义域是{0，1，2，…，n}， 对于确定的 n，还可以画出图象；如，当 n = 6 时，函数 的图象是 7 个离散点，如图所示. 对于 (a + b) n 的展开式的二项式系数 知识梳理 32999 n = 7 n = 8 n = 9 知识梳理 32999 1. 对称性： 由此我们可得二项式系数的以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 事实上，这一性质可直接由公式 得到. 直线 将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 知识梳理 32999 2. 增减性与最大值： 知识梳理 32999 3.各二项式系数的和： 已知 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于. 知识梳理 32999 分析：奇数项的二项式的系数和为 偶数项的二项式的系数和为 由于 中的 a，b； 可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当赋值来得到上述两个系数和. 例1：求证：在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 典例分析 32999 思考： 即 因此 即在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式 中， 令 a = 1，b = -1，则得 典例分析 32999 例2：已知 求： （1）a1 + a2 + … + a7；（2）a1 + a3 + a5 + a7；（3）|a0| + |a1| + … + |a7|. 解：（1）令 x = 1，得： (1 - 2)7 = a0 + a1 + a2 + … + a7； ∴ a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1； 令 x = 0，得：a0 = 1，∴a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1 - a0 = -1-1 = -2； （2）令 x = 1，得： a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = -1 ①； 令 x = -1，得： a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37 ②； 由① - ②得： 2(a1 + a3 + a5 + a7) = -1 - 37； ∴ a1 + a3 + a5 + a7 = -1094. 典例分析 32999 例2：已知 求：（3）|a0| + |a1| + … + |a7|. （3）由展开式知 a1、a3、a5、a7 均为负数，a0、a2、a4、a6 均为正数； ∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7； 由（2）可知，a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37； ∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = 37 = 2187. 典例分析 32999 解：(2 - 3x)15 的展开式中共有 16 项，中间的两项为第 8 项和第 9 项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ，故选 B. 例3：在 (2 - 3x)15 的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） B 典例分析 32999 回顾：根据二项式定理的性质，构建思维导图. 课堂总结 32999 $