精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

牡二中2025—2026学年度第一学期高三第一次阶段性测试试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集关系得的取值范围. 【详解】因为， 又， 所以当时，可得. 故选：C. 2. 抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为，则该学生这10次成绩的分位数为（ ） A. 86.5 B. 87.5 C. 91 D. 89 【答案】A 【解析】 【分析】将该学生的10次数学成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的分位数. 【详解】该学生10次的数学成绩从小到大分别为. 又，这10次成绩的分位数为. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由 所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，在结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案. 【详解】由图象可知：，. 由，又，所以. 所以. 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②正确； 由，，， 所以函数的单调递减区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误. 故选：C 6. 已知在上单调递增，若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数得到关于对称，即有，最后根据在上单调递增比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，则， 所以关于对称，所以， 因为，且， 由上可得，且在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：A． 7. 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 8. 已知函数若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出的图象，不妨令，数形结合可知且，即可求出的取值范围. 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象中的最值求得然后根据最小正周期求出，，根据特殊点求得，即可得，判断AB，代入正弦函数对称中心结论求解对称中心判断C，代入正弦函数单调递增区间求解递增区间判断D. 【详解】由函数的图象可知解得 设函数的最小正周期为，由函数的图象可知，， 所以，所以. 由，得，又，所以， 所以.故选项A正确，选项B错误. 令，解得，当时，， 所以函数的图象关于点对称.故C正确. 令 ，得， 所以的单调递增区间为. 因为，所以函数在区间上不单调.故选项D错误. 故选：AC. 10. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式及图象平移规则易知右平移个单位长度可得的图象，再根据周期为即可得出正确选项. 【详解】由， 可知将函数的图象向右平移个单位长度， 可得，即可得函数的图象， 又由函数的最小正周期为，可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BC正确. 若向左平移个单位长度，可得，故A错误； 若向右平移个单位长度，可得，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法. 【答案】12 【解析】 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 13. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含项的系数. 【详解】因为的展开式中各项系数的和为， 所以令，得，解得， 所以， 因为的二项展开通项公式为，， 则展开式中含的项为， 故该展开式中的系数为， 故答案为：. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据恒成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果. 【详解】， 即为， 整理得到， 即，使得恒成立， （当且仅当，即时取等号）， ， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决恒成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过基本不等式求解函数最值得到结果. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，， （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式两边平方可求得，进而利用同角的正余弦的平方关系可求得，进而求得； （2）利用已知求得，可求得，进而求得，利用二倍角的余弦公式可求得，可求的值. 【小问1详解】 由，可得，即， 所以，又，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，所以， 又，所以，， 所以， 又，又，所以，所以， 所以. 16. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 010 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1）列联表见解析，0.35； （2）有； （3）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问3详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】 易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 【小问2详解】 因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 18. 已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. （1）求; （2）若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可； （2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解. 【小问1详解】 因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. 小问2详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：，； （3）若在上有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可 （2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证. （3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可. 【小问1详解】 因在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即的取值范围为. 【小问2详解】 证明：若，则. 设，则，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，不等式得证. 【小问3详解】 . 当时，，则在上单调递减，无极值点. 当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令， 令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 由（2）知，则， 所以恰有两个零点，， 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡二中2025—2026学年度第一学期高三第一次阶段性测试试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A B. C. D. 2. 抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为，则该学生这10次成绩的分位数为（ ） A. 86.5 B. 87.5 C. 91 D. 89 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知在上单调递增，若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 10. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同停放方法. 13. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为______. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，， （1）求和的值； （2）求的值． 16. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 010 0.01 0.001 2.706 6.635 10828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 17 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 18. 已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. （1）求; （2）若，为的中点，求中线的取值范围. 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：，； （3）若在上有两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $