1.2一定是直角三角形吗 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一定是直角三角形吗 学习目标 1. 理解勾股定理的逆定理的具体内容。 2. 能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3. 掌握勾股数的概念，并能识别常见的勾股数。 4. 学会综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 知识点讲解 1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 (c) 所对的角是直角。 几何语言描述：在中，若，则是直角三角形，。 注意： · 该逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法。 · 在运用时，需要先确定三角形三边中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方。 2. 勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有： · 3，4，5 及其倍数（如 6，8，10；9，12，15 等） · 5，12，13 及其倍数 · 7，24，25 · 8，15，17 · 9，40，41 等 注意： · 勾股数必须是正整数。 · 一组勾股数的倍数（整数倍）仍然是勾股数。 例题解析 例题1 判断以线段 ，， 为边的三角形是不是直角三角形。 解答： 因为 ，，。 计算： 计算： 所以。 解析：根据勾股定理的逆定理，由于，所以这个三角形是直角三角形，且边长为 (c) 的边所对的角是直角。 例题2 已知一个三角形的三边长分别为，(2mn)，（其中 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)），判断这个三角形的形状。 解答： 设，，。 计算： 计算： 所以。 解析：通过代数运算，我们发现该三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方。根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且边长为的边所对的角是直角。这也是生成勾股数的一种方法。 例题3 判断下列各组数是否为勾股数： （1）6，8，10 （2）5，7，9 （3），， 解答： （1）计算 所以。 且 6，8，10 均为正整数。 因此，6，8，10 是勾股数。 （2）计算 因为，即。 所以，5，7，9 不是勾股数。 （3）虽然，，。 即使假设存在平方和等于第三边平方的情况，但，，不都是正整数（和是无理数）。 所以，，，不是勾股数。 解析：勾股数必须同时满足两个条件：一是三个数都是正整数；二是其中两个数的平方和等于第三个数的平方。（1）中6，8，10是3，4，5的倍数，满足条件；（2）不满足平方和条件；（3）不满足正整数条件。 例题4 若一个三角形的三边长分别为 15，20，25，求这个三角形的面积。 解答： 首先判断这个三角形是否为直角三角形。 因为 所以。 因此，这个三角形是直角三角形，且两条直角边的长度分别为 15 和 20。 则该三角形的面积为： 解析：要求三角形的面积，若能判断它是直角三角形，则可以利用直角边乘积的一半来计算。通过勾股定理的逆定理验证，15，20，25 满足，故为直角三角形，直角边为15和20，进而求出面积。 巩固练习 一、选择题 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2. 下列各组数中，不是勾股数的是 A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 9，12，15 D. 10，11，12 3. 若三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 4. 下列命题中，假命题是 A. 三个角的度数之比为 1:2:3 的三角形是直角三角形 B. 三条边的长度之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形 C. 如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 D. 如果三角形的一个角等于另外两个角的和，那么这个三角形不是直角三角形 二、填空题 1. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，x，且这个三角形是直角三角形，则 x的值为______。 2. 已知 (a)，(b)，(c) 是的三边长，且满足，若 ，则的值为______。 3. 若 12，16，x 是一组勾股数，则 x的值为______。 4. 一个三角形的三边长为连续偶数，且面积为 24，则该三角形的边长分别为______。 三、解答题 1. 已知一个三角形的三边长分别为，，，判断这个三角形是不是直角三角形。 2. 已知 a，b，c 是的三边长，且，，（(m > 1)，且 m 为整数）。 （1）求证：是直角三角形。 （2）若 ，求的面积。 巩固练习答案 一、选择题 1. B 解析：选项A：，，，不是直角三角形。 选项B：，，，是直角三角形。 选项C：，，，不是直角三角形。 选项D：，，，不是直角三角形。 故选B。 2. D 解析：选项A：，是勾股数。 选项B：，是勾股数。 选项C：，是勾股数。 选项D：，，，不是勾股数。 故选D。 3. B 解析：因为，，，且它们的和为0，所以 ，，。 解得 ，，。 因为，所以该三角形是直角三角形。 故选B。 4. D 解析：选项A：设三个角分别为 (x)，(2x)，(3x)，则，解得，，是直角三角形，真命题。 选项B：设三边分别为 (3k)，(4k)，(5k)，则，是直角三角形，真命题。 选项C：这是勾股定理逆定理的内容，真命题。 选项D：设三角形的三个角为，，，且，因为，所以，，是直角三角形，故该命题为假命题。 故选D。 二、填空题 1. 10 或 解析：当 (x) 为斜边时，，解得 （负值舍去）。 当 (x) 为直角边时，斜边为8，则，，解得（负值舍去）。 所以 (x) 的值为10或。 2. 5 解析：因为，，，所以，解得 （负值舍去）。 3. 20 或 解析：当 (x) 为斜边时，，解得 （负值舍去），20是正整数，所以12，16，20是勾股数。 当 (x) 为直角边时，斜边为16，则，，解得（负值舍去），但不是整数，所以不是勾股数。 因此，(x) 的值为20。 4. 6，8，10 解析：设这三个连续偶数为 (n - 2)，(n)，(n + 2)（(n) 为偶数，且 (n > 2)）。 因为是直角三角形（连续偶数构成的直角三角形常见为6，8，10，可先假设或通过勾股定理验证），不妨设最长边为 (n + 2)。 则。 展开得。 化简得。 解得 或 （舍去）。 所以三边长为6，8，10。 验证面积：，符合题意。 三、解答题 1. 解答： 三角形的三边长分别为，，。 确定最大边为。 计算两条较短边的平方和： 计算最长边的平方： 因为，所以这个三角形是直角三角形。 2. 解答： 连接 AC。 因为 AB 垂直于 BC，所以是直角三角形。 在中，，，所以，即 。 在中，，，。 因为，即，所以是直角三角形，且。 所以四边形 ABCD 的面积 3. （1）证明： 已知，，。 计算： 计算： 所以。 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形。 （2）解答： 当 时， 由（1）知是直角三角形，且 (a)，(b) 为直角边。 所以的面积为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 一定是直角三角形吗 学习目标 1. 理解勾股定理的逆定理的具体内容。 2. 能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3. 掌握勾股数的概念，并能识别常见的勾股数。 4. 学会综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 知识点讲解 1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 (c) 所对的角是直角。 几何语言描述：在中，若，则是直角三角形，。 注意： · 该逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法。 · 在运用时，需要先确定三角形三边中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方。 2. 勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有： · 3，4，5 及其倍数（如 6，8，10；9，12，15 等） · 5，12，13 及其倍数 · 7，24，25 · 8，15，17 · 9，40，41 等 注意： · 勾股数必须是正整数。 · 一组勾股数的倍数（整数倍）仍然是勾股数。 例题解析 例题1 判断以线段 ，， 为边的三角形是不是直角三角形。 例题2 已知一个三角形的三边长分别为，(2mn)，（其中 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)），判断这个三角形的形状。 例题3 判断下列各组数是否为勾股数： （1）6，8，10 （2）5，7，9 （3），， 例题4 若一个三角形的三边长分别为 15，20，25，求这个三角形的面积。 巩固练习 一、选择题 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2. 下列各组数中，不是勾股数的是 A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 9，12，15 D. 10，11，12 3. 若三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 4. 下列命题中，假命题是 A. 三个角的度数之比为 1:2:3 的三角形是直角三角形 B. 三条边的长度之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形 C. 如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 D. 如果三角形的一个角等于另外两个角的和，那么这个三角形不是直角三角形 二、填空题 1. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，x，且这个三角形是直角三角形，则 x的值为______。 2. 已知 (a)，(b)，(c) 是的三边长，且满足，若 ，则的值为______。 3. 若 12，16，x 是一组勾股数，则 x的值为______。 4. 一个三角形的三边长为连续偶数，且面积为 24，则该三角形的边长分别为______。 三、解答题 1. 已知一个三角形的三边长分别为，，，判断这个三角形是不是直角三角形。 2. 已知 a，b，c 是的三边长，且，，（(m > 1)，且 m 为整数）。 （1）求证：是直角三角形。 （2）若 ，求的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $