精品解析：贵州省凯里市第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

凯里市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 过作，垂足为，连接， 由于，所以三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以， 所以抛物线方程为. 故选：B 2. 若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】设这个等差数列为，则， 由题意可得，解得. 故选：D. 3. 已知圆：，：，则两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 因为，， 所以的周长为，则， 又，所以，，则. 又， 所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：A 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点在抛物线上，可设，利用，可得，通过计算可得的值，进一步求出点横坐标，利用抛物线的定义求，从而得到答案. 【详解】∵点在抛物线：上，故设. 又抛物线的焦点为，准线为，所以. ∵，∴. 而，， ∴，解得：. ∴点的横坐标为. 根据抛物线的定义，得，所以. 故选：A. 7. 已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的分解及数量积的定义得到，在中，由余弦定理得，由垂径定理得，设直线，由点到直线的距离解出的值. 【详解】 ， 因为，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 过点作的垂线，垂足为，由垂径定理得点到直线的距离， 设直线，则，解得， 所以直线的方程为：. 故选：A. 8. 已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图象直接判断即可. 【详解】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知双曲线E：的右焦点为，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ） A. B. C. 四边形ABCD的面积为 D. 双曲线E的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线以及圆的对称性可判断A；利用对称性可得，结合二倍角公式可判断B；利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积，判断C；求出点A的纵坐标，利用三角函数值推出之间的关系，即可求得离心率，判断D. 【详解】对于A，由双曲线以及圆的对称性可知AC和BD是圆O的两条直径，且， 所以，故A正确； 对于B，由条件得， 而与互补，所以，故B错误； 对于C，由已知得， 所以四边形ABCD的面积为 ，故C正确； 对于D，记双曲线的半焦距为c（），联立，解得， 故A点纵坐标为，则， 再由已知可得为锐角，故， 所以，所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D，求双曲线的离心率，解答时要注意利用角的三角函数值建立之间的等量关系，从而求得关于的关系，即可求解. 10. 数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 不可能为常数列 C. 若为递增数列，则 D. 若为递增数列，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 11. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 正方体的内切球半径为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断. 【详解】 对于A，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 所以，所以， 由于平面，所以平面，A正确； 对于B，由A可知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，B正确； 对于C，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长， 所以正方体的内切球半径为，C错误； 对于D，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则，D错误. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 函数在处切线的斜率是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义，求出在曲线上一点的切线的斜率. 【详解】由题意得，则， 在处切线的斜率， 故答案为：3. 13. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，由余弦定理得，再结合即可求解. 【详解】设，焦点，. 因为为钝角，所以， 即. 整理得：. 因为点在椭圆上， 代入得解得 又因为，所以点纵坐标的取值范围. 故答案为：. 14. 已知数列 满足，且，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】由与递推关系逐项求出，得到周期规律，再利用周期求解即可. 【详解】因为，且，则， ， ， 所以是以6为周期的数列. 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知数列满足 （1）记，写出，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前2022项和. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论； （2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算． 【小问1详解】 ， 又 【小问2详解】 ，则 16. 如图所示，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，． （1）当时，求证：平面； （2）若平面与平面所成锐角二面角的余弦值为时，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、， 当时，为的中点，又是的中点，且， 且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可得出平面； （2）证明平面，且，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】（1）略 （2）由于四边形为正方形，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示： 则、、、，， ，则， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，可得，， 所以，平面的一个法向量为， 易知，为平面的一个法向量， 由题意可得，， 即， ，解得. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 17. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{an}的公比为q, 由＝9a2a6得＝9, 所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 故. 所以数列的前n项和为 18. 已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求得，代入点的坐标即可求得椭圆方程； （2）分别写出直线的方程，求得的坐标，表示三角形的面积，根据三角形的面积即可求得直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 轴，， 又点在曲线上， ， 椭圆E的方程为 【小问2详解】 根据题意画如下图： ①当直线l的斜率不存在时，不符合题意 ②设直线l的方程为，， 直线I方程与椭圆方程联立得， ，，得或， ， 直线BA所在的直线方程为：，得 直线CA所在的直线方程为：，得 ， 或舍去 直线l的方程为 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为； 当时,在上单调递增,无单调递减区间； 当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求导数,可得切线斜率,从而可得切线方程. （2）求导数,分类讨论,利用导数的正负与函数单调性的关系,可得函数单调区间. 【小问1详解】 由题得,则 在点处的切线与直线平行, 即 又 曲线在点处的切线为即. 【小问2详解】 令得或 （i）当即时, 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 （ii）当即时,恒成立, 在上单调递增,无单调递减区间. （iii）当即时, 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为； 当时,在上单调递增,无单调递减区间； 当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆：，：，则两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知双曲线E：的右焦点为，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ） A. B. C. 四边形ABCD的面积为 D. 双曲线E的离心率为 10. 数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 不可能为常数列 C. 若为递增数列，则 D. 若为递增数列，则 11. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 正方体的内切球半径为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题） 12. 函数在处切线的斜率是_____． 13. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________ 14. 已知数列 满足，且，则________ 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知数列满足 （1）记，写出，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前2022项和. 16. 如图所示，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，． （1）当时，求证：平面； （2）若平面与平面所成锐角二面角的余弦值为时，求的值． 17. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 18. 已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $