5.1二次函数导学案 2024-2025学年苏科版（2012）九年级数学下册

该初中数学导学案围绕二次函数展开，引导学生探索变量关系、确定二次函数关系式、感受函数三要素及自变量取值范围。通过正方形周长、长方形面积等情境问题回顾一次函数、反比例函数，观察新函数特征，搭建从旧知到新知的学习支架。 以情境问题驱动探究，通过实例抽象二次函数定义，培养数学眼光。设计基础判断、实际应用、能力提升等分层练习，训练数学思维，结合生活实例列关系式强化数学语言表达，帮助学生自主建构知识，提升学习效率，便于教师教学评估。

学案37 —— 二次函数 【学习目标】1、经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系； 2、 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义； 3、 通过实例分析，进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定． 【教学重点 难点】二次函数的概念及对函数概念的理解． 学生活动/教学内容 1、 创设情境，了解目标 情境：1、已知正方形的边长是，周长为，则与之间的函数表达式 ．这是 函数，它的一般式是 ，当 时，它是 函数． 2、 已知长方形的长为，宽为，其面积为20,则与之间的函数表达式 ．这 是 函数，它的一般式是 . 回忆：函数的定义是什么？ 3、 按要求书写下列关系式，并判断它们是否为函数. （1） 、水滴激起的波纹不断地向外扩展，所形成的圆面积与半径的关系式是____________. （2） 、把一张长30、宽20的矩形纸片的一角剪去一个正方形，写出矩形纸片的剩余面积（）与所 剪正方形边长（）之间的函数表达式________________________. （3）、用16米长的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔，设其中长为米，则矩形面积 与长之间的函数表达式为_____________________. （4）、一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用（元）与镜面宽（米）之间的函数表达式为_________________________. 观察上面函数关系式，并思考：这些函数有哪些共同特征？ 二、构建模型，展示成果 【探究一】二次函数的定义 1、 定义： 注：① ② ③ 例1、 下列函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ y＝ax2+bx+c ⑧ ⑨ ⑩，其中是关于的二次函数的有 .（填序号） 总结：判断二次函数的依据： 练习：1、已知函数y＝（2—a）是二次函数，则a的值是 ，其表达式为 ， 二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2、 如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是 . 3、把y＝(3—2)(＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 能力提升：已知函数． （1）当为何值时，函数是关于的一次函数；（2）当为何值时，函数是关于的二次函数． 【探究二】列二次函数关系式 例2、 某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．分别写出y与x，z与x满足的函数关系式，并判断它们的类型. 总结： 练习：1、如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 2、在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为 ． 3、图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是 ． 【探究三】二次函数关系式中自变量的取值范围 例3、如图，园艺工人利用长24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，用以种植红玫瑰和蓝玫瑰. 设花圃的边AB长为 m，面积为S m2.求S与x之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围. 总结：自变量取值范围要求： 练习：1、写出下列问题中y与x之间的函数的表达式 , 并写出自变量的取值范围: (1)如图，在长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为 x(m)，绿地面积为y(m2)； (2)某化肥厂10月份生产某种化肥200t，设该厂11月、12月的月平均增长率为x，第四季度化肥的产量为y(t)； 2、写出情境3中各函数自变量的取值范围. 【探究四】二次函数关系式中的函数值 例4、在例3中，若所围的花圃面积是45 m2，求花圃的长和宽分别为多少米？ 总结：函数值 练习：1、标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为 ． 2、在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米. 能力提升： 如图，直角边为10m等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线MN向边长为10m的正方形移动，直到AB与CD重合时停止，设运动x s时，正三角形与正方形重叠部分的面积为ym2. （1）写出y与x 的关系表达式； （2）当0≤x≤5，y的取值范围是什么？ （3）当x=2、3.5时，y分别是多少？ （4）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 三、检测反馈，落实目标 1、下面的三个问题中都有两个变量：①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x；③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是 . 2、下列各式中，（1）y=2x2—4x+3；（2）y=4x3—3x+7；（3）y=(2x—3)(3x—2)—6； （4）y=x2—3x+5；（5）y=x2+bx+c(、b、c为常数)；（6）y=(m2—1)x2—2x—3(m为常数)； （7）y=m2+4x(m为常数)；（8）y=(m2+1)x2(m为常数)；一定是二次函数为 .（填序号） 3、若函数y=(2m+2)x|m−1| + 4x—3是二次函数，则m= ． 4、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，设矩形的宽为x(m)，菜园的面积为y (m2)，则y 与x的函数表达式为 ，其中x的取值范围是 . 5、某种水产品，如果以每千克50元的售价销售，一个月能售出500千克，若销售单价每涨价0.5元，月销售量就减少5千克，试写出当每千克的售价为x元时，该商店销售该水产品的月销售额y(元)与x之间的函数表达式为 ，其中x的取值范围是 .当=60时，月销售额是 元；当月销售额是21000元时，每千克的售价为x= 元. 6、若函数是二次函数，则的取值范围为 . 思考：关于的函数,甲说：“此函数不一定是二次函数.”乙说：“此函数一定是二次函数”谁的说法正确?为什么? 1 学科网（北京）股份有限公司 $