5.1 二次函数 导学案 2025-2026学年 苏科版九年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“二次函数”核心知识点，通过抛小球高度、矩形菜园面积等生活实例导入，对比一次函数、反比例函数旧知，搭建从已有函数知识到二次函数的学习支架，引导学生建立知识脉络。 以新课标核心素养为导向，设计“观察-思考-表达”现实世界的学习环节，培养数学眼光、数学思维与数学语言。课前预习铺垫旧知，课堂合作探究（定义、判断、列表达式）促进主动思考，习题分层（达标检测与拓展提升）兼顾基础与拔高，助力学生掌握二次函数定义、表达式及应用，提升自主学习与问题解决能力。

《5.1 二次函数》导学案 【教学内容分析】 同学们，在之前的学习中，我们已经认识了一次函数和反比例函数，知道了不同的函数可以用来描述不同的数量关系，帮助我们解决生活中的很多问题。这节课我们要学习的二次函数，是函数家族里的又一个重要成员。 在实际生活中，很多变化的量之间都存在着二次函数的关系。比如，把一个小球抛向空中，小球的高度随着时间的变化就可以用二次函数来表示；再比如，用一定长度的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积和其中一边的长度之间的关系，也是二次函数关系。 这节课我们会从生活中的具体例子出发，先认识什么样的函数是二次函数，然后掌握二次函数的一般形式，学会判断一个函数是不是二次函数，还能根据实际问题列出二次函数的表达式。通过这节课的学习，我们能进一步理解函数是描述变量之间关系的数学模型，为之后学习二次函数的图像和性质打下基础，也能学会用二次函数的眼光去观察和解决生活中的问题。 【学习目标】 1. 观察现实世界：能从生活实例中识别出两个变量之间的二次函数关系，体会二次函数在描述现实问题中的作用。 1. 思考现实世界：通过对比一次函数、反比例函数，理解二次函数的定义，能准确判断一个函数是否为二次函数。 1. 表达现实世界：掌握二次函数的一般形式，能根据实际问题中的数量关系列出二次函数表达式，并用规范的数学语言进行表达。 1. 能确定二次函数表达式中各项的系数，理解二次项系数不为0的重要性。 【学习重点】 1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式 （ 、 、 是常数， ）。 1. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数的表达式。 1. 能准确判断一个函数是否为二次函数。 【学习难点】 1. 从实际问题中抽象出二次函数的模型，准确分析变量之间的数量关系并列出二次函数表达式。 1. 理解二次函数定义中“ ”的条件，能根据这个条件解决相关的参数问题。 【课前自主预习】 1. 回忆一次函数和反比例函数的定义： 1. 一次函数的一般形式是__（其中 、 是常数，____）。 1. 反比例函数的一般形式是__（其中 是常数，____）。 1. 阅读教材中的实例，思考下列问题： 1. 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，设矩形的一边长为 m，面积为 m²，那么 与 之间的关系式是______。 1. 某正方形的边长为 ，面积为 ，则 与 的关系式是______。 1. 某物体从高处自由下落，下落的距离 （米）与下落时间 （秒）的关系是 ，在这个式子中，变量是__，常量是____。 1. 观察上面写出的几个函数表达式，它们有什么共同特征？请写下来： ____________________________________________________________________ 【课堂合作探究】 探究一：二次函数的定义 1. 结合课前预习的几个函数表达式，小组讨论：什么样的函数叫做二次函数？ · 尝试给二次函数下一个定义：___________ 1. 二次函数的一般形式是 （ 、 、 是常数， ），请分析这个形式中各部分的名称： 是__， 是____； 是__， 是____； 是______。 1. 思考：为什么在二次函数的一般形式中要规定 ？如果 ，函数会变成什么形 式？ __________________________________________________________________ 探究二：判断一个函数是否为二次函数 判断下列函数是否为二次函数，若是，指出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。 1. 答：__，二次项系数是_，一次项系数是，常数项是。 2. 答：，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 3. 答：，理由：________ 4. 答：__，理由：_______ 5. 答：__，理由：_______ 探究三：根据实际问题列二次函数表达式 1. 某商场销售一种进价为每件20元的商品，售价为每件30元时，每天可卖出500件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件。设每件商品的售价上涨 元（ 为正整数），每天的销售利润为 元，求 与 的函数关系式。 · 解：______________ 1. 用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为 的扇形，扇形的面积为 ，求 与 的函数关系式，并指出 的取值范围。 · 解：______________ 【课堂达标检测】 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） · A. B. C. D. 1. 二次函数 的二次项系数是__，一次项系数是_，常数项是___。 1. 若函数 是二次函数，则 的值为______。 1. 一个长方形的长是宽的2倍，设宽为 ，面积为 ，则 与 的函数关系式是______。 1. 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽都是 m，高是0.5m，已知每平方米需用油漆0.2kg，油漆这批产品所需油漆的质量为 kg，求 与 的函数关系式。 【课后拓展提升】 1. 已知二次函数 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，求这个二次函数的表达式。 1. 某农户要建造一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长12m，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为25m。设养鸡场与墙垂直的一边长为 m，养鸡场的面积为 m²，求 与 的函数关系式，并指出 的取值范围。 1. 思考：二次函数和一次函数、反比例函数在形式上有什么不同？它们各自可以描述哪些类型的实际问题？和同学交流你的想法。 【参考答案】 【课前自主预习】 1. ； ； ； 2. ； ； 和 ； 3. 都含有一个变量，且变量的最高次数是2，都是整式函数（答案合理即可） 【课堂合作探究】 探究一 1. 一般地，形如 （ 、 、 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 1. 二次项；二次项系数；一次项；一次项系数；常数项 1. 如果 ，那么 ，函数就变成了 ，这是一次函数（当 时）或常数函数（当 时），不再是二次函数，所以要规定 。 探究二 1. 是；3；2；-1 1. 是；-1；0；0 1. 不是；它是一次函数，变量的最高次数是1 1. 不是；它不是整式函数，含有分式 1. 不是；化简后为 ，是一次函数 探究三 1. 每件商品的利润为 元，每天的销售量为 件，所以 （ 为正整数） 1. 扇形的弧长为 cm，扇形面积 弧长 半径，所以 ， 的取值范围是 【课堂达标检测】 1. A 1. -3；2；-1 1. -2 1. 1. 长方体的表面积为 ，所以 【课后拓展提升】 1. 将 ， ； ， ； ， 代入 ，得到方程组： · · 解得 ，所以二次函数表达式为 1. 养鸡场与墙平行的一边长为 m，因为墙长12m，所以 ，解得 ，又因为 ，解得 ，所以 ， 的取值范围是 1. （答案合理即可）二次函数变量的最高次数是2，一次函数变量的最高次数是1，反比例函数变量在分母上，次数是-1；二次函数可以描述面积、利润、抛体运动等问题，一次函数可以描述匀速运动、单价固定的销售问题等，反比例函数可以描述路程一定时速度与时间的关系、面积一定时长与宽的关系等。 学科网（北京）股份有限公司 $